Konsep prisma. Rumus volume untuk prisma dari berbagai jenis: teratur, lurus dan miring. Solusi dari masalah

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2023-12-17 05:30

Volume adalah karakteristik dari bangun apa pun yang memiliki dimensi bukan nol di ketiga dimensi ruang. Dalam artikel ini, dari sudut pandang stereometri (geometri bangun ruang), kita akan membahas prisma dan menunjukkan bagaimana mencari volume prisma dari berbagai jenis.

Apa itu prisma?

Stereometry memiliki jawaban yang tepat untuk pertanyaan ini. Prisma di dalamnya dipahami sebagai sosok yang dibentuk oleh dua wajah poligonal yang identik dan beberapa jajaran genjang. Gambar di bawah menunjukkan empat prisma yang berbeda.

Masing-masing dapat diperoleh sebagai berikut: Anda perlu mengambil poligon (segitiga, segi empat, dan sebagainya) dan segmen dengan panjang tertentu. Kemudian setiap simpul poligon harus ditransfer menggunakan segmen paralel ke bidang lain. Di bidang baru, yang akan sejajar dengan yang asli, poligon baru akan diperoleh, mirip dengan yang dipilih pada awalnya.

Prisma bisa dari berbagai jenis. Jadi, mereka bisa lurus, miring dan benar. Jika tepi lateral prisma (ruas,menghubungkan simpul alas) tegak lurus dengan alas gambar, maka yang terakhir adalah garis lurus. Dengan demikian, jika kondisi ini tidak terpenuhi, maka kita berbicara tentang prisma miring. Bangun datar adalah prisma siku-siku dengan alas yang sama sisi dan alasnya sama sisi.

Nanti pada artikel ini akan kami tunjukkan cara menghitung volume masing-masing jenis prisma tersebut.

Volume prisma beraturan

Mari kita mulai dengan kasus yang paling sederhana. Kami memberikan rumus untuk volume prisma beraturan dengan alas n-gonal. Rumus volume V untuk sembarang bangun kelas yang ditinjau adalah sebagai berikut:

V=S_oh.

Artinya, untuk menentukan volume, cukup menghitung luas salah satu alas S_o dan mengalikannya dengan tinggi h gambar.

Dalam kasus prisma biasa, mari kita tunjukkan panjang sisi alasnya dengan huruf a, dan tingginya, yang sama dengan panjang sisinya, dengan huruf h. Jika alas n-gon benar, maka cara termudah untuk menghitung luasnya adalah dengan menggunakan rumus universal berikut:

S=n/4a²ctg(pi/n).

Mensubstitusikan nilai jumlah sisi n dan panjang satu sisi a menjadi persamaan, Anda dapat menghitung luas alas n-gonal. Perhatikan bahwa fungsi kotangen di sini dihitung untuk sudut pi/n, yang dinyatakan dalam radian.

Mengingat persamaan yang ditulis untuk S, kita memperoleh rumus akhir untuk volume prisma beraturan:

V=n/4a²hctg(pi/n).

Untuk setiap kasus tertentu, Anda dapat menulis rumus yang sesuai untuk V, tetapi semuanyaunik mengikuti dari ekspresi umum tertulis. Misalnya, untuk prisma segi empat biasa, yang dalam kasus umum adalah paralelepiped persegi panjang, kita mendapatkan:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a^{2 h.}

Jika kita mengambil h=a dalam ekspresi ini, maka kita mendapatkan rumus untuk volume kubus.

Volume prisma lurus

Kami segera mencatat bahwa untuk bangun datar tidak ada rumus umum untuk menghitung volume, yang diberikan di atas untuk prisma biasa. Saat menemukan nilai yang dimaksud, ekspresi asli harus digunakan:

V=S_oh.

Di sini h adalah panjang sisi samping, seperti pada kasus sebelumnya. Untuk area dasar S_o, dapat mengambil berbagai nilai. Tugas menghitung volume prisma lurus diperkecil menjadi mencari luas alasnya.

Penghitungan nilai S_oharus dilakukan berdasarkan karakteristik basis itu sendiri. Misalnya, jika itu adalah segitiga, maka luasnya dapat dihitung seperti ini:

S_o3=1/2ah_a.

Di sini h_a adalah apotema segitiga, yaitu tingginya diturunkan ke alas a.

Jika alasnya adalah segi empat, maka alasnya bisa trapesium, jajar genjang, persegi panjang, atau tipe sembarang. Untuk semua kasus ini, Anda harus menggunakan rumus planimetri yang sesuai untuk menentukan luas. Misalnya, untuk trapesium, rumus ini terlihat seperti:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h a.

Di mana h_a adalah tinggi trapesium, a₁ dan a₂ adalah panjangnya dari sisi sejajarnya.

Untuk menentukan luas poligon berorde lebih tinggi, Anda harus membaginya menjadi bentuk sederhana (segitiga, segi empat) dan menghitung jumlah luas yang terakhir.

Volume Prisma Miring

Ini adalah kasus tersulit dalam menghitung volume prisma. Rumus umum untuk angka tersebut juga berlaku:

V=S_oh.

Namun, pada kerumitan menemukan luas alas yang mewakili jenis poligon yang berubah-ubah, masalah menentukan tinggi bangun ditambahkan. Panjang rusuknya selalu lebih kecil dari panjang sisi prisma miring.

Cara termudah untuk menemukan ketinggian ini adalah jika Anda mengetahui sudut mana pun dari bangun tersebut (datar atau dihedral). Jika sudut tersebut diberikan, maka salah satu harus menggunakannya untuk membangun segitiga siku-siku di dalam prisma, yang akan berisi tinggi h sebagai salah satu sisi dan, dengan menggunakan fungsi trigonometri dan teorema Pythagoras, temukan nilai h.

Masalah volume geometris

Diberikan prisma beraturan dengan alas segitiga, memiliki tinggi 14 cm dan panjang sisi 5 cm. Berapa volume prisma segitiga?

Karena kita berbicara tentang angka yang benar, kita berhak menggunakan rumus yang sudah dikenal. Kami memiliki:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=3/42514=151,55 cm³.

Prisma segitiga adalah sosok yang cukup simetris, dalam bentuk yang sering dibuat berbagai struktur arsitektur. Prisma kaca ini digunakan dalam optik.