Rumus untuk menentukan volume kerucut. Contoh solusi masalah

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2023-12-17 05:30

Setiap siswa dalam studi stereometri di sekolah menengah menemukan kerucut. Dua karakteristik penting dari gambar spasial ini adalah luas permukaan dan volume. Pada artikel ini, kami akan menunjukkan cara mencari volume kerucut bulat.

Kerucut bulat sebagai gambar rotasi segitiga siku-siku

Sebelum langsung ke topik artikel, perlu untuk menggambarkan kerucut dari sudut pandang geometris.

Biarkan ada segitiga siku-siku. Jika Anda memutarnya di sekitar salah satu kaki, maka hasil dari tindakan ini akan menjadi gambar yang diinginkan, ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Di sini, kaki AB adalah bagian dari sumbu kerucut, dan panjangnya sesuai dengan tinggi gambar. Kaki kedua (segmen CA) akan menjadi jari-jari kerucut. Selama rotasi, itu akan menggambarkan lingkaran yang membatasi dasar gambar. Sisi miring BC disebut generatrix dari gambar, atau generatrix-nya. Titik B adalah satu-satunya titik puncak kerucut.

Mengingat sifat-sifat segitiga ABC, kita dapat menulis hubungan antara generatrix g, jari-jari r dan tinggi h sebagai berikutpersamaan:

g²=h²+ r²

Rumus ini berguna untuk menyelesaikan banyak masalah geometri dengan bangun yang dimaksud.

Rumus volume kerucut

Volume bangun ruang apa pun adalah luas ruang, yang dibatasi oleh permukaan gambar ini. Ada dua permukaan seperti itu untuk kerucut:

1. Lateral, atau kerucut. Itu dibentuk oleh semua generasi.
2. Yayasan. Dalam hal ini, ini adalah lingkaran.

Dapatkan rumus untuk menentukan volume kerucut. Untuk melakukan ini, kami secara mental memotongnya menjadi banyak lapisan yang sejajar dengan alasnya. Masing-masing lapisan memiliki ketebalan dx, yang cenderung nol. Luas S_xlapisan pada jarak x dari atas gambar sama dengan persamaan berikut:

S_x=pir²x²/h ²

Keabsahan ekspresi ini dapat diverifikasi secara intuitif dengan mengganti nilai x=0 dan x=h. Pada kasus pertama kita akan mendapatkan luas sama dengan nol, pada kasus kedua akan sama dengan luas alas bulat.

Untuk menentukan volume kerucut, Anda perlu menjumlahkan "volume" kecil dari setiap lapisan, yaitu, Anda harus menggunakan kalkulus integral:

V=₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

Menghitung integral ini, kita sampai pada rumus akhir untuk kerucut bulat:

V=1/3pir²h

Menarik untuk dicatat bahwa rumus ini sangat mirip dengan yang digunakan untuk menghitung volume piramida arbitrer. Kebetulan ini bukan kebetulan, karena setiap piramida menjadi kerucut ketika jumlah tepinya bertambah hingga tak terhingga.

Soal Perhitungan Volume

Berguna untuk memberikan contoh penyelesaian masalah, yang akan menunjukkan penggunaan rumus turunan untuk volume V.

Diberikan sebuah kerucut bulat yang luas alasnya 37 cm², dan generator dari gambar tersebut adalah tiga kali jari-jarinya. Berapa volume kerucut?

Kita berhak menggunakan rumus volume jika kita mengetahui dua besaran: tinggi h dan jari-jari r. Mari kita cari rumus yang menentukannya sesuai dengan kondisi soal.

Radius r dapat dihitung dengan mengetahui luas lingkaran S_o, kita mendapatkan:

S_o=pir²=>

r=(S_o/pi)

Menggunakan kondisi masalah, kami menulis persamaan untuk generator g:

g=3r=3√(S_o/pi)

Mengetahui rumus r dan g, hitung tinggi h:

h=(g²- r²)=(9S_o /pi - S_o/pi)=(8S_o/pi)

Kami menemukan semua parameter yang diperlukan. Sekarang saatnya untuk memasukkannya ke dalam rumus untuk V:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Tetap menggantikanluas alas S_o dan hitung nilai volumenya: V=119,75 cm³.