Piramida heksagonal beraturan. Rumus volume dan luas permukaan. Solusi dari masalah geometris

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2024-01-02 17:49

Stereometry, sebagai cabang geometri dalam ruang, mempelajari sifat-sifat prisma, silinder, kerucut, bola, piramida, dan bangun tiga dimensi lainnya. Artikel ini dikhususkan untuk tinjauan rinci tentang karakteristik dan sifat piramida beraturan heksagonal.

Piramida mana yang akan dipelajari

Piramida heksagonal beraturan adalah bangun ruang, yang dibatasi oleh satu segi enam sama sisi dan segitiga sama kaki, dan enam segitiga sama kaki yang identik. Segitiga ini juga bisa sama sisi dalam kondisi tertentu. Piramida ini ditunjukkan di bawah ini.

Angka yang sama ditampilkan di sini, hanya dalam satu kasus itu diputar dengan wajah lateral ke arah pembaca, dan yang lain - dengan tepi lateralnya.

Piramida heksagonal biasa memiliki 7 wajah, yang disebutkan di atas. Ini juga memiliki 7 simpul dan 12 tepi. Tidak seperti prisma, semua piramida memiliki satu simpul khusus, yang dibentuk oleh perpotongan sisisegitiga. Untuk piramida biasa, itu memainkan peran penting, karena tegak lurus yang diturunkan darinya ke dasar gambar adalah tingginya. Selanjutnya, tinggi akan dilambangkan dengan huruf h.

Piramida yang ditampilkan disebut benar karena dua alasan:

• pada dasarnya adalah segi enam dengan panjang sisi yang sama a dan sudut yang sama 120o;
• Tinggi piramida h memotong segi enam tepat di pusatnya (titik perpotongan terletak pada jarak yang sama dari semua sisi dan dari semua simpul segi enam).

Luas permukaan

Sifat-sifat piramida heksagonal beraturan akan dipertimbangkan dari definisi luasnya. Untuk melakukan ini, pertama-tama berguna untuk membuka gambar di pesawat. Representasi skemanya ditunjukkan di bawah ini.

Dapat dilihat bahwa luas sapuan, dan karenanya seluruh permukaan gambar yang ditinjau, sama dengan jumlah luas enam segitiga identik dan satu segi enam.

Untuk menentukan luas segi enam S_{6, gunakan rumus universal untuk n-gon beraturan:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Di mana a adalah panjang sisi segi enam.

Luas segitiga S₃ sisi sisinya dapat dicari jika diketahui nilai tingginya h_b:

S₃=1/2h_ba.

Karena keenamnyasegitiga sama besar, maka kita mendapatkan ekspresi kerja untuk menentukan luas piramida heksagonal dengan alas yang benar:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Volume Piramida

Sama seperti luasnya, volume piramida beraturan heksagonal adalah sifat pentingnya. Volume ini dihitung dengan rumus umum untuk semua piramida dan kerucut. Ayo tuliskan:

V=1/3S_oh.

Di sini, simbol S_o adalah luas alas heksagonal, yaitu S_o=S _6.

Mengganti ekspresi S_{6 di atas ke dalam rumus untuk V, kita sampai pada persamaan akhir untuk menentukan volume piramida heksagonal beraturan:}

V=3/2a2h.

Contoh soal geometri

Dalam piramida heksagonal beraturan, panjang sisi sampingnya dua kali panjang sisi alasnya. Mengetahui bahwa yang terakhir adalah 7 cm, perlu untuk menghitung luas permukaan dan volume gambar ini.

Seperti yang Anda duga, solusi dari masalah ini melibatkan penggunaan ekspresi yang diperoleh di atas untuk S dan V. Namun demikian, tidak mungkin untuk menggunakannya segera, karena kita tidak mengetahui apotema dan ketinggian piramida heksagonal biasa. Mari kita hitung.

Apotema h_b dapat ditentukan dengan memperhatikan segitiga siku-siku yang dibangun pada sisi b, a/2 dan h_{b. Di sini b adalah panjang sisi samping. Menggunakan kondisi masalah, kita mendapatkan:}

h_b=(b²-a²/4)=(14 2^-72^{/4)=13, 555 cm.}

Tinggi h piramida dapat ditentukan dengan cara yang persis sama seperti apotema, tetapi sekarang kita harus mempertimbangkan segitiga dengan sisi h, b dan a, yang terletak di dalam piramida. Tingginya adalah:

h=(b²- a²)=(14²- 7 ^{2)=12, 124 cm.}

Dapat dilihat bahwa nilai tinggi yang dihitung kurang dari nilai apotema, yang berlaku untuk semua piramida.

Sekarang Anda dapat menggunakan ekspresi untuk volume dan luas:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96cm^2;

V=3/2a²h=3/27²12, 124=514, 48cm^3.

Jadi, untuk secara jelas menentukan karakteristik piramida heksagonal biasa, Anda perlu mengetahui dua parameter liniernya.