Prisma miring dan volumenya. Contoh solusi masalah

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2023-12-17 05:30

Kemampuan untuk menentukan volume bangun ruang penting untuk memecahkan masalah geometris dan praktis. Salah satunya adalah prisma. Kami akan mempertimbangkan dalam artikel apa itu dan menunjukkan cara menghitung volume prisma miring.

Apa yang dimaksud dengan prisma dalam geometri?

Ini adalah polihedron biasa (polihedron), yang dibentuk oleh dua alas identik yang terletak di bidang paralel, dan beberapa jajaran genjang yang menghubungkan alas bertanda.

Dasar prisma dapat berupa poligon sembarang, seperti segitiga, segiempat, segi enam, dan sebagainya. Selain itu, jumlah sudut (sisi) poligon menentukan nama gambar.

Sebarang prisma dengan alas n-gon (n adalah jumlah sisi) terdiri dari n+2 sisi, 2 × n titik, dan 3 × n sisi. Dari angka-angka yang diberikan dapat dilihat bahwa jumlah elemen prisma sesuai dengan teorema Euler:

3 × n=2 × n + n + 2 - 2

Gambar di bawah ini menunjukkan seperti apa bentuk prisma segitiga dan segi empat yang terbuat dari kaca.

Jenis gambar. Prisma miring

Telah dikatakan di atas bahwa nama prisma ditentukan oleh jumlah sisi poligon pada alasnya. Namun, ada fitur lain dalam strukturnya yang menentukan sifat-sifat gambar. Jadi, jika semua jajaran genjang yang membentuk permukaan lateral prisma diwakili oleh persegi panjang atau bujur sangkar, maka gambar seperti itu disebut garis lurus. Untuk prisma lurus, jarak antara alasnya sama dengan panjang rusuk persegi panjang.

Jika beberapa atau semua sisinya jajar genjang, maka kita berbicara tentang prisma miring. Tingginya sudah kurang dari panjang rusuk samping.

Kriteria lain yang digunakan untuk mengklasifikasikan bangun-bangun yang sedang dipertimbangkan adalah panjang sisi-sisinya dan sudut-sudut poligon pada alasnya. Jika mereka sama satu sama lain, maka poligon akan benar. Sosok lurus dengan poligon beraturan di alasnya disebut beraturan. Lebih mudah untuk bekerja dengannya saat menentukan luas permukaan dan volume. Prisma miring dalam hal ini menghadirkan beberapa kesulitan.

Gambar di bawah menunjukkan dua prisma dengan alas persegi. Sudut 90° menunjukkan perbedaan mendasar antara prisma lurus dan prisma miring.

Rumus untuk menentukan volume suatu bangun

Bagian ruang yang dibatasi oleh permukaan prisma disebut volumenya. Untuk angka yang dipertimbangkan dari jenis apa pun, nilai ini dapat ditentukan dengan rumus berikut:

V=h × S_o

Di sini, simbol h menunjukkan ketinggian prisma,yang merupakan ukuran jarak antara dua alas. Simbol S_o- satu bujur sangkar.

Area dasar mudah ditemukan. Mengingat fakta apakah poligon beraturan atau tidak, dan mengetahui jumlah sisinya, Anda harus menerapkan rumus yang sesuai dan mendapatkan S_o. Misalnya, untuk n-gon beraturan dengan panjang sisi a, luasnya adalah:

S=n / 4 × a^{2 ×} ctg (pi / n)

Sekarang mari kita beralih ke ketinggian h. Untuk prisma lurus, menentukan ketinggian tidak sulit, tetapi untuk prisma miring, ini bukan tugas yang mudah. Ini dapat diselesaikan dengan berbagai metode geometris, mulai dari kondisi awal tertentu. Namun, ada cara universal untuk menentukan ketinggian sosok. Mari kita uraikan secara singkat.

Idenya adalah mencari jarak dari suatu titik di ruang angkasa ke bidang. Asumsikan bahwa bidang diberikan oleh persamaan:

A × x+ B × y + C × z + D=0

Maka pesawat akan berada pada jarak:

h=|A × x₁ + B × y₁+ C × z₁ +D| / (A² + B²+ C²)

Jika sumbu-sumbu koordinat disusun sedemikian rupa sehingga titik (0; 0; 0) terletak pada bidang alas bawah prisma, maka persamaan bidang alas dapat ditulis sebagai berikut:

z=0

Artinya rumus untuk tinggi badan akan ditulisjadi:

h=z₁

Cukup mencari koordinat z dari sembarang titik di alas atas untuk menentukan tinggi gambar.

Contoh penyelesaian masalah

Gambar di bawah menunjukkan prisma segi empat. Alas prisma miring adalah persegi dengan sisi 10 cm, perlu untuk menghitung volumenya jika diketahui bahwa panjang sisi samping adalah 15 cm, dan sudut lancip dari jajaran genjang depan adalah 70 °.

Karena tinggi h dari gambar juga merupakan tinggi jajar genjang, kami menggunakan rumus untuk menentukan luasnya untuk menemukan h. Mari kita tunjukkan sisi jajar genjang sebagai berikut:

a=10cm;

b=15cm

Kemudian Anda dapat menulis rumus berikut untuk menentukan luas S_p:

S_p=a × b × sin (α);

S_p=a × h

Dari mana kita mendapatkan:

h=b × sin (α)

Di sini adalah sudut lancip dari jajaran genjang. Karena alasnya persegi, rumus volume prisma miring akan berbentuk:

V=a² × b × sin (α)

Kita substitusikan data dari kondisi ke dalam rumus dan dapatkan jawaban: V 1410 cm³.