Teori probabilitas adalah cabang khusus matematika, yang hanya dipelajari oleh siswa dari institusi pendidikan tinggi. Apakah Anda menyukai perhitungan dan rumus? Apakah Anda tidak takut dengan prospek kenalan dengan distribusi normal, entropi ansambel, ekspektasi matematis, dan varians dari variabel acak diskrit? Maka subjek ini akan sangat menarik bagi Anda. Mari berkenalan dengan beberapa konsep dasar terpenting dari bagian sains ini.
Ingat dasar-dasarnya
Bahkan jika Anda mengingat konsep teori probabilitas yang paling sederhana, jangan abaikan paragraf pertama artikel tersebut. Faktanya adalah bahwa tanpa pemahaman yang jelas tentang dasar-dasarnya, Anda tidak akan dapat bekerja dengan rumus-rumus yang dibahas di bawah ini.
Jadi, ada beberapa peristiwa acak, beberapa eksperimen. Sebagai hasil dari tindakan yang dilakukan, kita bisa mendapatkan beberapa hasil - beberapa di antaranya lebih umum, yang lain kurang umum. Probabilitas suatu peristiwa adalah rasio jumlah hasil yang benar-benar diterima dari satu jenis dengan jumlah total yang mungkin. Hanya mengetahui definisi klasik dari konsep ini, Anda dapat mulai mempelajari ekspektasi matematis dan varians dari kontinuvariabel acak.
Rata-rata aritmatika
Bahkan di sekolah, dalam pelajaran matematika, Anda mulai bekerja dengan mean aritmatika. Konsep ini banyak digunakan dalam teori probabilitas, dan oleh karena itu tidak dapat diabaikan. Hal utama bagi kita saat ini adalah bahwa kita akan menemukannya dalam rumus untuk ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak.
Kami memiliki urutan angka dan ingin mencari mean aritmatika. Yang diperlukan dari kita hanyalah menjumlahkan semua yang tersedia dan membaginya dengan jumlah elemen dalam urutan. Misalkan kita memiliki angka dari 1 hingga 9. Jumlah elemennya adalah 45, dan nilainya akan kita bagi dengan 9. Jawaban: - 5.
Dispersi
Secara ilmiah, varians adalah kuadrat rata-rata dari deviasi nilai fitur yang diperoleh dari mean aritmatika. Satu dilambangkan dengan huruf Latin kapital D. Apa yang dibutuhkan untuk menghitungnya? Untuk setiap elemen barisan, kami menghitung selisih antara angka yang tersedia dan rata-rata aritmatika dan kuadratkan. Akan ada nilai yang sama persis dengan hasil yang ada untuk acara yang sedang kita pertimbangkan. Selanjutnya, kami merangkum semua yang diterima dan membaginya dengan jumlah elemen dalam urutan. Jika kita memiliki lima kemungkinan hasil, maka bagilah dengan lima.
Dispersi juga memiliki sifat yang perlu Anda ingat untuk menerapkannya saat menyelesaikan masalah. Misalnya, jika variabel acak dinaikkan X kali, varians meningkat X kali kuadrat (yaitu, XX). Tidak pernah kurang dari nol dan tidak bergantung padamenggeser nilai dengan nilai yang sama ke atas atau ke bawah. Juga, untuk percobaan independen, varians jumlah sama dengan jumlah varians.
Sekarang kita pasti perlu mempertimbangkan contoh varians dari variabel acak diskrit dan ekspektasi matematis.
Misalkan kita menjalankan 21 eksperimen dan mendapatkan 7 hasil yang berbeda. Kami mengamati masing-masing, masing-masing, 1, 2, 2, 3, 4, 4 dan 5 kali. Apa yang akan menjadi varians?
Pertama, mari kita hitung rata-rata aritmatika: jumlah elemennya, tentu saja, adalah 21. Bagi dengan 7, dapatkan 3. Sekarang kurangi 3 dari setiap angka dalam urutan asli, kuadratkan setiap nilainya, dan tambahkan hasilnya bersama-sama. Ternyata 12. Sekarang tinggal kita membagi angka dengan jumlah elemen, dan, tampaknya, itu saja. Tapi ada tangkapan! Mari kita bahas.
Ketergantungan pada jumlah percobaan
Ternyata saat menghitung varian, penyebutnya bisa salah satu dari dua angka: N atau N-1. Di sini N adalah jumlah percobaan yang dilakukan atau jumlah elemen dalam urutan (yang sebenarnya sama). Tergantung pada apa?
Jika banyaknya soal diukur dalam ratusan, maka penyebutnya harus N. Jika dalam satuan, maka N-1. Para ilmuwan memutuskan untuk menggambar perbatasan secara simbolis: hari ini garis itu berjalan di sepanjang angka 30. Jika kita melakukan kurang dari 30 percobaan, maka kita akan membagi jumlahnya dengan N-1, dan jika lebih, maka dengan N.
Tugas
Mari kembali ke contoh penyelesaian soal varians dan ekspektasi. Kamimenerima angka antara 12, yang harus dibagi dengan N atau N-1. Karena kami melakukan 21 percobaan, yang kurang dari 30, kami akan memilih opsi kedua. Jadi jawabannya adalah: variansnya adalah 12/2=2.
Harapan
Mari kita beralih ke konsep kedua, yang harus kita pertimbangkan dalam artikel ini. Ekspektasi matematis adalah hasil penjumlahan semua hasil yang mungkin dikalikan dengan probabilitas yang sesuai. Penting untuk dipahami bahwa nilai yang dihasilkan, serta hasil penghitungan varians, diperoleh hanya sekali untuk seluruh tugas, tidak peduli berapa banyak hasil yang dipertimbangkan.
Rumus harapan cukup sederhana: kita mengambil hasil, mengalikannya dengan probabilitasnya, menambahkan yang sama untuk hasil kedua, ketiga, dll. Segala sesuatu yang berhubungan dengan konsep ini mudah dihitung. Misalnya, jumlah ekspektasi matematis sama dengan ekspektasi matematis dari jumlah tersebut. Hal yang sama berlaku untuk pekerjaan. Tidak setiap kuantitas dalam teori probabilitas memungkinkan operasi sederhana seperti itu dilakukan. Mari kita mengambil tugas dan menghitung nilai dari dua konsep yang telah kita pelajari sekaligus. Selain itu, kami disuguhi teori - saatnya berlatih.
Contoh lain
Kami menjalankan 50 percobaan dan mendapatkan 10 jenis hasil - angka dari 0 hingga 9 - muncul dalam persentase yang berbeda. Ini adalah, masing-masing: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Ingatlah bahwa untuk mendapatkan probabilitas, Anda perlu membagi nilai persentase dengan 100. Jadi, kami mendapatkan 0,02; 0, 1, dst. Mari kita mewakili untuk varians dari acakcontoh nilai dan ekspektasi matematis dalam menyelesaikan masalah.
Hitung mean aritmatika menggunakan rumus yang kita ingat dari sekolah dasar: 50/10=5.
Sekarang mari kita terjemahkan probabilitas ke dalam jumlah hasil "berkeping-keping" agar lebih mudah untuk menghitung. Kami mendapatkan 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 dan 9. Kurangi rata-rata aritmatika dari setiap nilai yang diperoleh, setelah itu kami kuadratkan setiap hasil yang diperoleh. Lihat bagaimana melakukannya dengan menggunakan elemen pertama sebagai contoh: 1 - 5=(-4). Selanjutnya: (-4)(-4)=16. Untuk nilai lain, lakukan operasi ini sendiri. Jika Anda melakukan semuanya dengan benar, maka setelah menambahkan semua hasil antara Anda akan mendapatkan 90.
Lanjutkan menghitung varians dan mean dengan membagi 90 dengan N. Mengapa kita memilih N dan bukan N-1? Itu benar, karena jumlah percobaan yang dilakukan melebihi 30. Jadi: 90/10=9. Kami mendapat dispersi. Jika Anda mendapatkan nomor yang berbeda, jangan putus asa. Kemungkinan besar, Anda membuat kesalahan dangkal dalam perhitungan. Periksa kembali apa yang Anda tulis, dan semuanya pasti akan beres.
Akhirnya, mari kita ingat rumus ekspektasi. Kami tidak akan memberikan semua perhitungan, kami hanya akan menulis jawaban yang dapat Anda periksa setelah menyelesaikan semua prosedur yang diperlukan. Harapannya akan sama dengan 5, 48. Kami hanya mengingat bagaimana melakukan operasi, menggunakan contoh elemen pertama: 00, 02 + 10, 1… dan seterusnya. Seperti yang Anda lihat, kita cukup mengalikan nilai hasil dengan probabilitasnya.
Penyimpangan
Konsep lain yang terkait erat dengan varians dan nilai yang diharapkan adalahstandar deviasi. Ini dilambangkan dengan huruf Latin sd, atau dengan huruf kecil Yunani "sigma". Konsep ini menunjukkan bagaimana, rata-rata, nilai-nilai menyimpang dari fitur utama. Untuk menemukan nilainya, Anda perlu menghitung akar kuadrat dari varians.
Jika Anda membuat grafik distribusi normal dan ingin melihat nilai simpangan bakunya secara langsung, ini dapat dilakukan dalam beberapa tahap. Ambil setengah dari gambar ke kiri atau kanan mode (nilai pusat), gambar tegak lurus terhadap sumbu horizontal sehingga area gambar yang dihasilkan sama. Nilai segmen antara tengah distribusi dan proyeksi yang dihasilkan ke sumbu horizontal akan menjadi standar deviasi.
Perangkat Lunak
Seperti yang Anda lihat dari deskripsi rumus dan contoh yang disajikan, menghitung varians dan ekspektasi matematis bukanlah prosedur termudah dari sudut pandang aritmatika. Agar tidak membuang waktu, masuk akal untuk menggunakan program yang digunakan di pendidikan tinggi - ini disebut "R". Ini memiliki fungsi yang memungkinkan Anda menghitung nilai untuk banyak konsep dari statistik dan teori probabilitas.
Misalnya, Anda mendefinisikan vektor nilai. Ini dilakukan sebagai berikut: vektor <-c(1, 5, 2…). Sekarang, ketika Anda perlu menghitung beberapa nilai untuk vektor ini, Anda menulis sebuah fungsi dan memberikannya sebagai argumen. Untuk menemukan varians, Anda harus menggunakan var. Contoh diapenggunaan: var(vektor). Kemudian Anda tinggal tekan "enter" dan dapatkan hasilnya.
Kesimpulan
Varians dan ekspektasi matematis adalah konsep dasar teori probabilitas, yang tanpanya sulit untuk menghitung apa pun di masa depan. Dalam kursus utama kuliah di universitas, mereka dianggap sudah dalam bulan-bulan pertama mempelajari subjek. Justru karena kurangnya pemahaman tentang konsep-konsep sederhana ini dan ketidakmampuan untuk menghitungnya, banyak siswa segera mulai tertinggal dalam program dan kemudian menerima nilai buruk di akhir sesi, yang membuat mereka kehilangan beasiswa.
Latihan setidaknya satu minggu selama setengah jam sehari, selesaikan masalah yang serupa dengan yang disajikan dalam artikel ini. Kemudian pada tes teori probabilitas apa pun Anda akan mengatasi contoh-contoh tanpa tips dan lembar contekan yang asing.
