Fungsi kalkulus diferensial dari satu dan beberapa variabel

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2024-01-02 17:49

Kalkulus adalah cabang dari kalkulus yang mempelajari turunan, diferensial dan penggunaannya dalam mempelajari suatu fungsi.

Riwayat Penampilan

Kalkulus Diferensial muncul sebagai disiplin independen pada paruh kedua abad ke-17, berkat karya Newton dan Leibniz, yang merumuskan ketentuan dasar dalam kalkulus diferensial dan memperhatikan hubungan antara integrasi dan diferensiasi. Sejak saat itu, disiplin ilmu telah berkembang seiring dengan kalkulus integral, sehingga membentuk dasar analisis matematis. Kemunculan kalkulus ini membuka periode modern baru dalam dunia matematika dan menyebabkan munculnya disiplin ilmu baru dalam sains. Hal ini juga memperluas kemungkinan penerapan ilmu matematika dalam ilmu pengetahuan alam dan teknologi.

Konsep dasar

Kalkulus diferensial didasarkan pada konsep dasar matematika. Mereka adalah: bilangan real, kontinuitas, fungsi dan limit. Seiring waktu, mereka mengambil tampilan modern, berkat kalkulus integral dan diferensial.

Proses pembuatan

Pembentukan kalkulus diferensial dalam bentuk terapan, dan kemudian metode ilmiah terjadi sebelum munculnya teori filosofis, yang diciptakan oleh Nicholas dari Cusa. Karya-karyanya dianggap sebagai perkembangan evolusioner dari penilaian sains kuno. Terlepas dari kenyataan bahwa filsuf itu sendiri bukan ahli matematika, kontribusinya terhadap pengembangan ilmu matematika tidak dapat disangkal. Kuzansky adalah salah satu orang pertama yang beralih dari menganggap aritmatika sebagai bidang sains yang paling akurat, sehingga matematika pada waktu itu diragukan.

Para matematikawan kuno menggunakan satuan sebagai kriteria universal, sedangkan filsuf mengusulkan tak terhingga sebagai ukuran baru alih-alih angka pasti. Dalam hal ini, representasi presisi dalam ilmu matematika terbalik. Pengetahuan ilmiah, menurutnya, terbagi menjadi rasional dan intelektual. Yang kedua lebih akurat, menurut ilmuwan, karena yang pertama hanya memberikan hasil perkiraan.

Ide

Gagasan dan konsep utama dalam kalkulus diferensial terkait dengan suatu fungsi dalam lingkungan kecil dari titik-titik tertentu. Untuk melakukan ini, perlu untuk membuat peralatan matematika untuk mempelajari fungsi yang perilakunya di lingkungan kecil dari titik-titik yang ditetapkan dekat dengan perilaku polinomial atau fungsi linier. Ini didasarkan pada definisi turunan dan diferensial.

Kemunculan konsep turunan disebabkan oleh banyaknya permasalahan dari ilmu alam dan matematika,yang mengarah untuk menemukan nilai batas dari jenis yang sama.

Salah satu masalah utama yang diberikan sebagai contoh mulai dari sekolah menengah adalah menentukan kecepatan suatu titik yang bergerak sepanjang garis lurus dan membuat garis singgung pada kurva ini. Diferensial terkait dengan ini, karena dimungkinkan untuk mendekati fungsi di lingkungan kecil dari titik yang dipertimbangkan dari fungsi linier.

Dibandingkan dengan konsep turunan dari suatu fungsi dari suatu variabel nyata, definisi diferensial hanya beralih ke fungsi yang bersifat umum, khususnya, ke gambar satu ruang Euclidean pada yang lain.

Turunan

Biarkan titik bergerak searah sumbu Oy, untuk waktu yang kita ambil x, yang dihitung dari awal momen tertentu. Pergerakan seperti itu dapat dijelaskan oleh fungsi y=f(x), yang ditetapkan untuk setiap momen waktu x dari koordinat titik yang dipindahkan. Dalam mekanika, fungsi ini disebut hukum gerak. Karakteristik utama gerak, terutama yang tidak rata, adalah kecepatan sesaat. Ketika sebuah titik bergerak sepanjang sumbu Oy menurut hukum mekanika, maka pada momen waktu acak x, ia memperoleh koordinat f (x). Pada momen waktu x + x, di mana x menunjukkan pertambahan waktu, koordinatnya adalah f(x + x). Ini adalah bagaimana rumus Δy \u003d f (x + x) - f (x) terbentuk, yang disebut kenaikan fungsi. Ini mewakili jalur yang ditempuh oleh titik waktu dari x ke x + x.

Karena munculnya inikecepatan pada waktu, turunan diperkenalkan. Dalam fungsi arbitrer, turunan pada suatu titik tetap disebut limit (dengan asumsi itu ada). Itu dapat ditunjuk dengan simbol-simbol tertentu:

f’(x), y’,, df/dx, dy/dx, Df(x).

Proses menghitung turunan disebut diferensiasi.

kalkulus diferensial dari suatu fungsi dari beberapa variabel

Metode kalkulus ini digunakan saat memeriksa suatu fungsi dengan beberapa variabel. Dengan adanya dua variabel x dan y, turunan parsial terhadap x di titik A disebut turunan dari fungsi ini terhadap x dengan y tetap.

Dapat diwakili oleh karakter berikut:

f’(x)(x, y), u’(x), u/∂x atau f(x, y)’/∂x.

Keterampilan yang Diperlukan

Keterampilan dalam integrasi dan diferensiasi diperlukan untuk berhasil belajar dan mampu memecahkan difusi. Untuk mempermudah memahami persamaan diferensial, Anda harus memiliki pemahaman yang baik tentang topik turunan dan integral tak tentu. Juga tidak ada salahnya untuk mempelajari cara menemukan turunan dari fungsi yang diberikan secara implisit. Hal ini dikarenakan dalam proses mempelajari integral dan diferensiasi seringkali harus digunakan.

Jenis persamaan diferensial

Di hampir semua makalah tes yang berkaitan dengan persamaan diferensial orde satu, terdapat 3 jenis persamaan: homogen, dengan variabel yang dapat dipisahkan, linier tidak homogen.

Ada juga jenis persamaan yang lebih jarang: dengan diferensial total, persamaan Bernoulli, dan lainnya.

Dasar-dasar keputusan

Pertama, Anda harus mengingat persamaan aljabar dari kursus sekolah. Mereka berisi variabel dan angka. Untuk menyelesaikan persamaan biasa, Anda perlu menemukan sekumpulan bilangan yang memenuhi kondisi tertentu. Sebagai aturan, persamaan tersebut memiliki satu akar, dan untuk memeriksa kebenarannya, seseorang hanya perlu mengganti nilai ini dengan yang tidak diketahui.

Persamaan diferensial mirip dengan ini. Secara umum, persamaan orde pertama tersebut meliputi:

• Variabel bebas.
• Turunan dari fungsi pertama.
• Fungsi atau variabel terikat.

Dalam beberapa kasus, salah satu yang tidak diketahui, x atau y, mungkin hilang, tetapi ini tidak begitu penting, karena keberadaan turunan pertama, tanpa turunan orde yang lebih tinggi, diperlukan untuk solusi dan diferensial kalkulus menjadi benar.

Memecahkan persamaan diferensial berarti menemukan himpunan semua fungsi yang cocok dengan ekspresi yang diberikan. Himpunan fungsi seperti ini sering disebut solusi umum DE.

kalkulus integral

Kalkulus integral adalah salah satu bagian dari analisis matematika yang mempelajari konsep integral, sifat-sifat dan metode perhitungannya.

Seringkali, penghitungan integral terjadi saat menghitung luas bangun lengkung. Area ini berarti batas di mana area poligon yang tertulis pada gambar tertentu cenderung dengan peningkatan bertahap di sisinya, sementara sisi-sisi ini dapat dibuat lebih kecil dari sembarang yang ditentukan sebelumnya.nilai kecil.

Gagasan utama dalam menghitung luas bangun geometri arbitrer adalah menghitung luas persegi panjang, yaitu, untuk membuktikan bahwa luasnya sama dengan produk panjang dan lebar. Dalam hal geometri, semua konstruksi dibuat menggunakan penggaris dan kompas, dan kemudian rasio panjang dan lebar adalah nilai rasional. Saat menghitung luas segitiga siku-siku, Anda dapat menentukan bahwa jika Anda meletakkan segitiga yang sama di sebelahnya, maka persegi panjang akan terbentuk. Dalam jajaran genjang, luas dihitung dengan metode yang serupa, tetapi sedikit lebih rumit, melalui persegi panjang dan segitiga. Dalam poligon, luas dihitung melalui segitiga yang termasuk di dalamnya.

Saat menentukan penyisihan kurva arbitrer, metode ini tidak akan berfungsi. Jika Anda memecahnya menjadi kotak tunggal, maka akan ada tempat yang tidak terisi. Dalam hal ini, seseorang mencoba menggunakan dua penutup, dengan persegi panjang di atas dan di bawah, sebagai hasilnya, itu termasuk grafik fungsi dan tidak. Metode partisi ke dalam persegi panjang ini tetap penting di sini. Juga, jika kita mengambil partisi yang semakin kecil, maka area di atas dan di bawah harus konvergen pada nilai tertentu.

Ini harus kembali ke metode pembagian menjadi persegi panjang. Ada dua metode populer.

Riemann memformalkan definisi integral yang dibuat oleh Leibniz dan Newton sebagai luas subgraf. Dalam hal ini, angka dipertimbangkan, terdiri dari sejumlah persegi panjang vertikal dan diperoleh dengan membagisegmen. Ketika, ketika partisi berkurang, ada batas yang mengurangi luas gambar yang sama, batas ini disebut integral Riemann dari suatu fungsi pada interval tertentu.

Metode kedua adalah konstruksi integral Lebesgue, yang terdiri dari fakta bahwa untuk tempat membagi area yang ditentukan menjadi bagian-bagian integral dan kemudian mengumpulkan jumlah integral dari nilai-nilai yang diperoleh di bagian-bagian ini, rentang nilainya dibagi menjadi interval, dan kemudian dijumlahkan dengan ukuran yang sesuai dari pragambar integral ini.

Manfaat modern

Salah satu panduan utama untuk mempelajari kalkulus diferensial dan integral ditulis oleh Fikhtengolts - "Kursus kalkulus diferensial dan integral". Buku teksnya adalah panduan mendasar untuk studi analisis matematika, yang telah melalui banyak edisi dan terjemahan ke dalam bahasa lain. Dibuat untuk mahasiswa dan telah lama digunakan di banyak institusi pendidikan sebagai salah satu alat bantu belajar utama. Memberikan data teoritis dan keterampilan praktis. Pertama kali diterbitkan pada tahun 1948.

Algoritme penelitian fungsi

Untuk menyelidiki suatu fungsi menggunakan metode kalkulus diferensial, Anda harus mengikuti algoritma yang telah diberikan:

1. Temukan ruang lingkup suatu fungsi.
2. Temukan akar persamaan yang diberikan.
3. Hitung ekstrem. Untuk melakukannya, hitung turunan dan titik-titik yang sama dengan nol.
4. Substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan.

Varietas persamaan diferensial

kontrol orde pertama (jika tidak, diferensialkalkulus variabel tunggal) dan jenisnya:

• Persamaan yang dapat dipisahkan: f(y)dy=g(x)dx.
• Persamaan atau kalkulus diferensial paling sederhana dari suatu fungsi satu variabel, dengan rumus: y'=f(x).
• DE orde pertama tak homogen linier: y'+P(x)y=Q(x).
• Persamaan diferensial Bernoulli: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Persamaan dengan diferensial total: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Persamaan diferensial orde dua dan jenisnya:

• Persamaan diferensial homogen linier orde dua dengan nilai koefisien konstan: y +py'+qy=0 p, q milik R.
• Persamaan diferensial orde dua tak homogen linier dengan koefisien konstan: y +py'+qy=f(x).
• Persamaan diferensial homogen linier: y +p(x)y'+q(x)y=0, dan persamaan orde dua tak homogen: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Persamaan diferensial orde tinggi dan jenisnya:

• Persamaan diferensial yang dapat diturunkan secara berurutan: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Persamaan homogen orde tinggi linier: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0, dan tidak homogen: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Langkah-langkah dalam menyelesaikan masalah dengan persamaan diferensial

Dengan bantuan remote control, tidak hanya soal matematika atau fisika yang bisa diselesaikan, tetapi juga berbagai masalah daribiologi, ekonomi, sosiologi, dll. Terlepas dari beragam topik, seseorang harus mematuhi satu urutan logis ketika menyelesaikan masalah seperti itu:

1. Kompilasi kendali jarak jauh. Salah satu langkah tersulit yang membutuhkan ketelitian maksimum, karena kesalahan apa pun akan menghasilkan hasil yang benar-benar salah. Semua faktor yang mempengaruhi proses harus diperhitungkan dan kondisi awal harus ditentukan. Juga harus berdasarkan fakta dan kesimpulan logis.
2. Solusi dari persamaan yang dirumuskan. Proses ini lebih sederhana dari langkah pertama, karena hanya membutuhkan perhitungan matematis yang ketat.
3. Analisis dan evaluasi hasil. Solusi yang diturunkan harus dievaluasi untuk menetapkan nilai praktis dan teoritis dari hasil tersebut.

Contoh penggunaan persamaan diferensial dalam kedokteran

Penggunaan remote control di bidang kedokteran terjadi saat membangun model matematika epidemiologis. Pada saat yang sama, orang tidak boleh lupa bahwa persamaan ini juga ditemukan dalam biologi dan kimia, yang dekat dengan kedokteran, karena studi tentang berbagai populasi biologis dan proses kimia dalam tubuh manusia memainkan peran penting di dalamnya.

Dalam contoh epidemi di atas, kita dapat mempertimbangkan penyebaran infeksi di masyarakat yang terisolasi. Penduduk dibagi menjadi tiga jenis:

• Terinfeksi, nomor x(t), terdiri dari individu, pembawa infeksi, yang masing-masing menular (masa inkubasi pendek).
• Tipe kedua termasukindividu yang rentan y(t) mampu terinfeksi melalui kontak dengan individu yang terinfeksi.
• Spesies ketiga termasuk individu yang kebal z(t) yang kebal atau mati karena penyakit.

Jumlah individu konstan, tidak memperhitungkan kelahiran, kematian alami, dan migrasi. Akan ada dua hipotesis pada intinya.

Persentase kejadian pada titik waktu tertentu adalah x(t)y(t) (berdasarkan teori bahwa jumlah kasus sebanding dengan jumlah persimpangan antara perwakilan sakit dan rentan, yang pada awalnya aproksimasi akan sebanding dengan x(t)y(t)), sehubungan dengan ini, jumlah kasus meningkat, dan jumlah kerentanan menurun dengan laju yang dihitung dengan rumus ax(t)y(t) (a > 0).

Jumlah individu kebal yang menjadi kebal atau meninggal meningkat dengan kecepatan yang sebanding dengan jumlah kasus, bx(t) (b > 0).

Akibatnya, Anda dapat membuat sistem persamaan dengan mempertimbangkan ketiga indikator dan menarik kesimpulan berdasarkan itu.

Contoh Ekonomi

Kalkulus Diferensial sering digunakan dalam analisis ekonomi. Tugas utama dalam analisis ekonomi adalah mempelajari besaran-besaran dari perekonomian, yang ditulis dalam bentuk fungsi. Ini digunakan ketika memecahkan masalah seperti perubahan pendapatan segera setelah kenaikan pajak, pengenalan bea, perubahan pendapatan perusahaan ketika biaya produksi berubah, dalam proporsi berapa pekerja pensiunan dapat diganti dengan peralatan baru. Untuk mengatasi masalah seperti itu, perlumembangun fungsi koneksi dari variabel input, yang kemudian dipelajari menggunakan kalkulus diferensial.

Dalam bidang ekonomi, seringkali perlu untuk menemukan indikator yang paling optimal: produktivitas tenaga kerja maksimum, pendapatan tertinggi, biaya terendah, dan sebagainya. Setiap indikator tersebut merupakan fungsi dari satu atau lebih argumen. Misalnya, produksi dapat dilihat sebagai fungsi dari input tenaga kerja dan modal. Dalam hal ini, menemukan nilai yang sesuai dapat direduksi menjadi menemukan maksimum atau minimum suatu fungsi dari satu atau lebih variabel.

Masalah semacam ini menciptakan kelas masalah ekstrem di bidang ekonomi, yang penyelesaiannya membutuhkan kalkulus diferensial. Ketika suatu indikator ekonomi perlu diminimalkan atau dimaksimalkan sebagai fungsi dari indikator lain, maka pada titik maksimum, rasio kenaikan fungsi terhadap argumen akan cenderung nol jika kenaikan argumen cenderung nol. Sebaliknya, ketika rasio seperti itu cenderung ke beberapa nilai positif atau negatif, titik yang ditentukan tidak sesuai, karena dengan menambah atau mengurangi argumen, Anda dapat mengubah nilai dependen ke arah yang diperlukan. Dalam terminologi kalkulus diferensial, ini berarti bahwa kondisi yang diperlukan untuk maksimum suatu fungsi adalah nilai nol dari turunannya.

Dalam ilmu ekonomi, seringkali terdapat masalah dalam mencari nilai ekstrem suatu fungsi dengan beberapa variabel, karena indikator ekonomi terdiri dari banyak faktor. Pertanyaan seperti ini bagus.dipelajari dalam teori fungsi beberapa variabel, menerapkan metode perhitungan diferensial. Masalah tersebut tidak hanya mencakup fungsi yang dimaksimalkan dan diminimalkan, tetapi juga kendala. Pertanyaan semacam itu terkait dengan pemrograman matematika, dan diselesaikan dengan bantuan metode yang dikembangkan secara khusus, juga berdasarkan cabang ilmu ini.

Di antara metode kalkulus diferensial yang digunakan dalam ekonomi, bagian penting adalah analisis marjinal. Di bidang ekonomi, istilah ini mengacu pada seperangkat metode untuk mempelajari indikator dan hasil variabel ketika mengubah volume penciptaan, konsumsi, berdasarkan analisis indikator marjinalnya. Indikator pembatasnya adalah turunan atau turunan parsial dengan beberapa variabel.

Kalkulus diferensial beberapa variabel merupakan topik penting dalam bidang analisis matematis. Untuk studi terperinci, Anda dapat menggunakan berbagai buku teks untuk pendidikan tinggi. Salah satu yang paling terkenal diciptakan oleh Fikhtengolts - "Kursus kalkulus diferensial dan integral". Sesuai dengan namanya, keterampilan dalam bekerja dengan integral sangat penting untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Ketika kalkulus diferensial dari suatu fungsi dari satu variabel terjadi, solusinya menjadi lebih sederhana. Meskipun, perlu dicatat, itu tunduk pada aturan dasar yang sama. Untuk mempelajari suatu fungsi dalam praktik dengan kalkulus diferensial, cukup mengikuti algoritma yang sudah ada, yang diberikan di sekolah menengah dan hanya sedikit rumit ketika yang baru diperkenalkan.variabel.