Apa itu variabel? Variabel dalam matematika

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2024-01-02 17:49

Pentingnya variabel dalam matematika sangat besar, karena selama keberadaannya, para ilmuwan berhasil membuat banyak penemuan di bidang ini, dan untuk menyatakan secara singkat dan jelas teorema ini atau itu, kami menggunakan variabel untuk menulis rumus yang sesuai. Misalnya, teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku: a² =b² + c^{2. Cara menulis setiap kali memecahkan masalah: menurut teorema Pythagoras, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki - kami menuliskannya dengan rumus, dan semuanya segera menjadi jelas.}

Jadi, artikel ini akan membahas apa itu variabel, jenis dan sifat-sifatnya. Berbagai ekspresi matematika juga akan dipertimbangkan: pertidaksamaan, rumus, sistem, dan algoritma untuk penyelesaiannya.

Konsep variabel

Pertama-tama, apa itu variabel? Ini adalah nilai numerik yang dapat mengambil banyak nilai. Itu tidak bisa konstan, karena dalam masalah dan persamaan yang berbeda, untuk kenyamanan, kami mengambil solusi sebagaivariabel angka yang berbeda, yaitu, misalnya, z adalah sebutan umum untuk setiap besaran yang diambilnya. Biasanya dilambangkan dengan huruf latin atau alfabet Yunani (x, y, a, b, dan seterusnya).

Ada berbagai jenis variabel. Mereka menetapkan beberapa kuantitas fisik - jalur (S), waktu (t), dan nilai yang tidak diketahui dalam persamaan, fungsi, dan ekspresi lainnya.

Misalnya ada rumus: S=Vt. Di sini, variabel menunjukkan jumlah tertentu yang terkait dengan dunia nyata - jalur, kecepatan, dan waktu.

Dan ada persamaan bentuk: 3x - 16=12x. Di sini, x sudah diambil sebagai angka abstrak yang masuk akal dalam notasi ini.

Jenis besaran

Jumlah berarti sesuatu yang menyatakan sifat-sifat suatu benda, zat, atau fenomena tertentu. Misalnya, suhu udara, berat hewan, persentase vitamin dalam tablet - ini semua adalah jumlah yang nilai numeriknya dapat dihitung.

Setiap besaran memiliki satuan pengukurannya sendiri, yang bersama-sama membentuk suatu sistem. Disebut sistem bilangan (SI).

Apa itu variabel dan konstanta? Pertimbangkan mereka dengan contoh spesifik.

Mari kita lakukan gerakan lurus beraturan. Sebuah titik di ruang angkasa bergerak dengan kecepatan yang sama setiap waktu. Artinya, waktu dan jarak berubah, tetapi kecepatannya tetap sama. Dalam contoh ini, waktu dan jarak adalah variabel, dan kecepatan adalah konstan.

Atau, misalnya, "pi". Ini adalah bilangan irasional yang berlanjut tanpa pengulanganurutan angka dan tidak dapat ditulis secara lengkap, sehingga dalam matematika dinyatakan dengan simbol yang diterima secara umum yang hanya mengambil nilai pecahan tak terbatas yang diberikan. Artinya, “pi” adalah nilai konstan.

Sejarah

Sejarah notasi variabel dimulai pada abad ketujuh belas oleh ilmuwan René Descartes.

Dia menunjuk nilai yang diketahui dengan huruf pertama dari alfabet: a, b dan seterusnya, dan untuk yang tidak diketahui dia menyarankan menggunakan huruf terakhir: x, y, z. Patut dicatat bahwa Descartes menganggap variabel seperti itu sebagai bilangan non-negatif, dan ketika dihadapkan dengan parameter negatif, ia meletakkan tanda minus di depan variabel atau, jika tidak diketahui apa tanda bilangan itu, elipsis. Namun seiring waktu, nama-nama variabel mulai menunjukkan angka dari tanda apa pun, dan ini dimulai oleh ahli matematika Johann Hudde.

Dengan variabel, perhitungan dalam matematika lebih mudah diselesaikan, karena, misalnya, bagaimana kita menyelesaikan persamaan biquadratic sekarang? Kami memasukkan variabel. Misalnya:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

Untuk x2 kita ambil beberapa k, dan persamaannya menjadi jelas:

x2=k, untuk k 0

k2 + 15k + 7=0

Itulah yang dibawa oleh pengenalan variabel ke dalam matematika.

Pertidaksamaan, contoh penyelesaian

Pertidaksamaan adalah catatan di mana dua ekspresi matematika atau dua angka dihubungkan dengan tanda perbandingan:,,. Mereka ketat dan ditandai dengan tanda atau tidak ketat dengan tanda,.

Untuk pertama kalinya tanda-tanda ini diperkenalkanThomas Harriot. Setelah kematian Thomas, bukunya dengan notasi ini diterbitkan, matematikawan menyukainya, dan seiring waktu notasi tersebut menjadi banyak digunakan dalam perhitungan matematika.

Ada beberapa aturan yang harus diikuti saat menyelesaikan pertidaksamaan variabel tunggal:

Saat memindahkan bilangan dari satu bagian pertidaksamaan ke bagian lain, ubah tandanya menjadi kebalikannya.
Saat mengalikan atau membagi bagian pertidaksamaan dengan bilangan negatif, tandanya dibalik.
Jika Anda mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan angka positif, Anda mendapatkan pertidaksamaan yang sama dengan yang asli.

Memecahkan pertidaksamaan berarti menemukan semua nilai yang valid untuk suatu variabel.

Contoh variabel tunggal:

10x - 50 > 150

Kami menyelesaikannya seperti persamaan linier normal - kami memindahkan suku dengan variabel ke kiri, tanpa variabel - ke kanan dan memberikan suku yang serupa:

10x > 200

Kami membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan 10 dan mendapatkan:

x > 20

Untuk lebih jelasnya, dalam contoh penyelesaian pertidaksamaan dengan satu variabel, gambarlah garis bilangan, tandai titik yang dilubangi 20 di atasnya, karena pertidaksamaan itu tegas, dan bilangan ini tidak termasuk dalam himpunan penyelesaiannya.

Solusi dari pertidaksamaan ini adalah interval (20; +∞).

Penyelesaian pertidaksamaan tak-ketat dilakukan dengan cara yang sama seperti pertidaksamaan tegas:

6x - 12 18

6x 30

x 5

Tapi ada satu pengecualian. Suatu record dengan bentuk x 5 harus dipahami sebagai berikut: x lebih besar dari atau sama dengan lima, yang berartiangka lima termasuk dalam himpunan semua solusi pertidaksamaan, yaitu ketika menulis jawaban, kita meletakkan tanda kurung siku di depan angka lima.

x [5; +∞)

Pertidaksamaan persegi

Jika kita mengambil persamaan kuadrat berbentuk ax2 + bx +c=0 dan mengubah tanda sama dengan tanda pertidaksamaan di dalamnya, maka kita akan memperoleh a pertidaksamaan kuadrat.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, Anda harus bisa menyelesaikan persamaan kuadrat.

y=ax2 + bx + c adalah fungsi kuadrat. Kita dapat menyelesaikannya dengan menggunakan diskriminan, atau menggunakan teorema Vieta. Ingat bagaimana persamaan ini diselesaikan:

1) y=x2 + 12x + 11 - fungsinya adalah parabola. Cabang-cabangnya mengarah ke atas, karena tanda koefisien "a" adalah positif.

2) x2 + 12x + 11=0 - samakan dengan nol dan selesaikan menggunakan diskriminan.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 akar

Menurut rumus akar persamaan kuadrat, kita mendapatkan:

x₁ =-1, x_2=-11

Atau Anda dapat menyelesaikan persamaan ini menggunakan teorema Vieta:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Menggunakan metode seleksi, kita memperoleh akar persamaan yang sama.

Parabola

Jadi, cara pertama untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah parabola. Algoritma untuk menyelesaikannya adalah sebagai berikut:

1. Tentukan arah cabang parabola.

2. Samakan fungsinya dengan nol dan temukan akar persamaannya.

3. Kami membuat garis bilangan, menandai akarnya, menggambar parabola dan menemukan celah yang kami butuhkan, tergantung pada tanda pertidaksamaan.

Pecahkan pertidaksamaan x2 + x - 12 > 0

Tuliskan sebagai fungsi:

1) y=x2 + x - 12 - parabola, bercabang ke atas.

Setel ke nol.

2) x2 + x -12=0

Selanjutnya, kita selesaikan sebagai persamaan kuadrat dan temukan nol dari fungsinya:

x₁ =3, x_2=-4

3) Gambarlah garis bilangan dengan titik 3 dan -4 di atasnya. Parabola akan melewatinya, bercabang dan jawaban pertidaksamaan adalah himpunan nilai positif, yaitu (-∞; -4), (3; +∞).

Metode interval

Cara kedua adalah metode spasi. Algoritma untuk menyelesaikannya:

1. Temukan akar persamaan yang pertidaksamaannya sama dengan nol.

2. Kami menandai mereka di garis nomor. Jadi, dibagi menjadi beberapa interval.

3. Tentukan tanda dari sembarang interval.

4. Kami menempatkan tanda pada interval yang tersisa, mengubahnya setelah satu.

Selesaikan pertidaksamaan (x - 4)(x - 5)(x + 7) 0

1) Pertidaksamaan nol: 4, 5 dan -7.

2) Gambarlah pada garis bilangan.

3) Tentukan tanda-tanda interval.

Jawaban: (-∞; -7]; [4; 5].

Pecahkan satu pertidaksamaan lagi: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Pertidaksamaan nol: 0, 2, -2 dan 1.

2. Tandai pada garis bilangan.

3. Tentukan tanda interval.

Garis dibagi menjadi beberapa interval - dari -2 hingga 0, dari 0 hingga 1, dari 1 hingga 2.

Ambil nilai pada interval pertama - (-1). Substitusi dalam ketidaksetaraan. Dengan nilai ini, pertidaksamaan menjadi positif, yang berarti tanda pada interval ini adalah +.

Selanjutnya, mulai dari celah pertama, kami mengatur tanda-tanda, mengubahnya setelah satu.

Pertidaksamaan lebih besar dari nol, yaitu, Anda perlu menemukan himpunan nilai positif pada garis.

Jawaban: (-2; 0), (1; 2).

Sistem persamaan

Sistem persamaan dengan dua variabel adalah dua persamaan yang dihubungkan oleh kurung kurawal yang perlu dicari penyelesaiannya.

Sistem dapat ekuivalen jika solusi umum salah satunya adalah solusi yang lain, atau keduanya tidak memiliki solusi.

Kita akan mempelajari solusi sistem persamaan dengan dua variabel. Ada dua cara untuk menyelesaikannya - metode substitusi atau metode aljabar.

Metode aljabar

Untuk menyelesaikan sistem yang ditunjukkan pada gambar dengan menggunakan metode ini, Anda harus terlebih dahulu mengalikan salah satu bagiannya dengan angka seperti itu, sehingga nanti Anda dapat saling membatalkan satu variabel dari kedua bagian persamaan. Di sini kita mengalikan dengan tiga, menggambar garis di bawah sistem dan menjumlahkan bagian-bagiannya. Akibatnya, x menjadi identik dalam modulus, tetapi berlawanan tanda, dan kami mereduksinya. Selanjutnya, kita mendapatkan persamaan linier dengan satu variabel dan menyelesaikannya.

Kami menemukan Y, tetapi kami tidak dapat berhenti di situ, karena kami belum menemukan X. PenggantiY ke bagian dari mana akan lebih mudah untuk menarik X, misalnya:

-x + 5y=8, dengan y=1

-x + 5=8

Pecahkan persamaan yang dihasilkan dan temukan x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Hal utama dalam penyelesaian sistem adalah menuliskan jawaban dengan benar. Banyak siswa yang salah menulis:

Jawaban: -3, 1.

Tapi ini entri yang salah. Lagi pula, seperti yang telah disebutkan di atas, ketika memecahkan sistem persamaan, kami mencari solusi umum untuk bagian-bagiannya. Jawaban yang benar adalah:

(-3; 1)