Kemampuan untuk bekerja dengan ekspresi numerik yang mengandung akar kuadrat diperlukan untuk keberhasilan solusi sejumlah masalah dari OGE dan USE. Dalam ujian ini, pemahaman dasar tentang apa itu ekstraksi akar dan bagaimana hal itu dilakukan dalam praktik biasanya sudah cukup.
Definisi
Akar ke-n suatu bilangan X adalah bilangan x yang persamaannya benar: xn =X.
Mencari nilai ekspresi dengan akar berarti menemukan x yang diberikan X dan n.
Akar kuadrat atau, yang sama, akar kedua X - bilangan x yang persamaannya terpenuhi: x2 =X.
Penunjukan:. Di sini 3 adalah derajat akar, X adalah ekspresi akar. Tanda '√' sering disebut radikal.
Jika angka di atas akar tidak menunjukkan derajat, maka defaultnya adalah derajat 2.
Dalam kursus sekolah untuk derajat genap, akar negatif dan ekspresi radikal biasanya tidak dipertimbangkan. Misalnya, tidak ada-2, dan untuk ekspresi 4, jawaban yang benar adalah 2, meskipun faktanya (-2)2 juga sama dengan 4.
Rasionalitas dan irasionalitas akar
Tugas paling sederhana yang mungkin dilakukan dengan akar adalah menemukan nilai ekspresi atau menguji rasionalitasnya.
Misalnya, hitung nilai √25; 8; -125:
- √25=5 karena 52 =25;
- ∛8=2 karena 23 =8;
- ∛ - 125=-5 karena (-5)3 =-125.
Jawaban dalam contoh yang diberikan adalah bilangan rasional.
Saat bekerja dengan ekspresi yang tidak mengandung konstanta dan variabel literal, disarankan untuk selalu melakukan pemeriksaan seperti itu menggunakan operasi kebalikan dari menaikkan ke pangkat alami. Mencari bilangan x pangkat ke-n sama dengan menghitung hasil kali n faktor dari x.
Ada banyak ekspresi dengan akar, yang nilainya irasional, yaitu, ditulis sebagai pecahan non-periodik tak terbatas.
Menurut definisi, rasional adalah yang dapat dinyatakan sebagai pecahan biasa, dan irasional adalah semua bilangan real lainnya.
Ini termasuk 24, 0, 1, 101.
Jika buku soal mengatakan: temukan nilai ekspresi dengan akar 2, 3, 5, 6, 7, dst., yaitu, dari bilangan asli yang tidak terdapat dalam tabel kuadrat, maka jawaban yang benar adalah 2 mungkin ada (kecuali dinyatakan lain).
Menilai
Dalam masalah denganjawaban terbuka, jika tidak mungkin menemukan nilai ekspresi dengan akar dan menuliskannya sebagai bilangan rasional, hasilnya harus dibiarkan sebagai radikal.
Beberapa tugas mungkin memerlukan evaluasi. Misalnya, bandingkan 6 dan 37. Solusinya membutuhkan kuadrat kedua angka dan membandingkan hasilnya. Dari dua bilangan, yang kuadratnya lebih besar lebih besar. Aturan ini berlaku untuk semua bilangan positif:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- berarti 37 > 6.
Dengan cara yang sama, masalah diselesaikan di mana beberapa angka harus diatur dalam urutan menaik atau menurun.
Contoh: Susun 5, 6, 48, 64 dalam urutan menaik.
Setelah mengkuadratkan, kita mendapatkan: 25, 6, 48, 64. Semua bilangan dapat dikuadratkan lagi untuk membandingkannya dengan 64, tetapi itu sama dengan bilangan rasional 8. 6 < 8 < 25 < 48, jadi solusinya adalah: 48.
Menyederhanakan ekspresi
Kebetulan tidak mungkin menemukan nilai ekspresi dengan root, jadi harus disederhanakan. Rumus berikut membantu dengan ini:
√ab=a√b.
Akar perkalian dua bilangan sama dengan perkalian akar-akarnya. Operasi ini juga membutuhkan kemampuan untuk memfaktorkan suatu bilangan.
Pada tahap awal, untuk mempercepat pekerjaan, disarankan untuk memiliki tabel bilangan prima dan kuadrat. Tabel ini dengan seringgunakan di masa depan akan diingat.
Misal 242 adalah bilangan irasional, Anda dapat mengubahnya seperti ini:
- 242=2 × 121;
- √242=(2 × 121);
- √2 × 121=2 × 11.
Biasanya hasilnya ditulis 11√2 (baca: sebelas akar dari dua).
Jika sulit untuk segera melihat dua faktor yang mana suatu bilangan perlu diuraikan sehingga akar alami dapat diekstraksi dari salah satunya, Anda dapat menggunakan penguraian penuh menjadi faktor prima. Jika bilangan prima yang sama muncul dua kali dalam ekspansi, itu dikeluarkan dari tanda akar. Ketika ada banyak faktor, Anda dapat mengekstrak root dalam beberapa langkah.
Contoh: 2400=(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Angka 2 muncul dalam ekspansi 2 kali (sebenarnya, lebih dari dua kali, tetapi kami masih tertarik pada dua kemunculan pertama dalam ekspansi).
Kami mengeluarkannya dari bawah tanda root:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Ulangi tindakan yang sama:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).
Dalam ekspresi radikal yang tersisa, 2 dan 3 muncul satu kali, sehingga tetap menghilangkan faktor 5:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
dan lakukan operasi aritmatika:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Jadi, kita mendapatkan 2400=20√6.
Jika tugas tidak secara eksplisit menyatakan: "menemukan nilai ekspresi dengan akar kuadrat", maka pilihannya,dalam bentuk apa meninggalkan jawaban (apakah untuk mengekstrak akar dari bawah radikal) tetap pada siswa dan mungkin tergantung pada masalah yang dipecahkan.
Pada awalnya, persyaratan tinggi ditempatkan pada desain tugas, perhitungan, termasuk lisan atau tertulis, tanpa menggunakan sarana teknis.
Hanya setelah penguasaan yang baik dari aturan untuk bekerja dengan ekspresi numerik irasional, masuk akal untuk beralih ke ekspresi literal yang lebih sulit dan untuk memecahkan persamaan irasional dan menghitung kisaran nilai yang mungkin dari ekspresi di bawah radikal.
Siswa menghadapi jenis masalah ini di Ujian Negara Bersatu dalam matematika, serta di tahun pertama universitas khusus ketika mempelajari analisis matematika dan disiplin terkait.
