Studi tentang sifat-sifat bangun ruang memainkan peran penting dalam memecahkan masalah praktis. Ilmu yang mempelajari tentang bangun ruang disebut stereometri. Dalam artikel ini, dari sudut pandang geometri padat, kita akan membahas kerucut dan menunjukkan cara mencari luas kerucut.
Kerucut dengan alas bulat
Dalam kasus umum, kerucut adalah permukaan yang dibangun di atas beberapa kurva bidang, yang semua titiknya dihubungkan oleh segmen dengan satu titik dalam ruang. Yang terakhir disebut puncak kerucut.
Dari definisi di atas, jelas bahwa kurva dapat memiliki bentuk arbitrer, seperti parabola, hiperbolik, elips, dan sebagainya. Namun demikian, dalam praktek maupun dalam permasalahan geometri sering dijumpai kerucut bulat. Hal ini ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
Di sini simbol r menunjukkan jari-jari lingkaran yang terletak di dasar gambar, h adalah tegak lurus terhadap bidang lingkaran, yang ditarik dari atas gambar. Itu disebut ketinggian. Nilai s adalah generatrix kerucut, atau generatrixnya.
Dapat dilihat bahwa ruas-ruas r, h dan smembentuk segitiga siku-siku. Jika diputar di sekitar kaki h, maka sisi miring s akan menggambarkan permukaan kerucut, dan kaki r membentuk alas bundar dari gambar. Untuk alasan ini, kerucut dianggap sebagai sosok revolusi. Tiga parameter linier bernama saling berhubungan dengan persamaan:
s2=r2+ h2
Perhatikan bahwa persamaan yang diberikan hanya berlaku untuk kerucut lurus bulat. Suatu bangun lurus hanya jika tingginya jatuh tepat di tengah lingkaran alas. Jika syarat ini tidak terpenuhi, maka bangun tersebut disebut miring. Perbedaan antara kerucut lurus dan kerucut ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
Pengembangan bentuk
Mempelajari luas permukaan kerucut mudah dilakukan, mengingatnya di pesawat. Cara merepresentasikan permukaan figur dalam ruang ini disebut perkembangannya. Untuk kerucut, pengembangan ini dapat diperoleh sebagai berikut: Anda perlu mengambil gambar yang dibuat, misalnya, dari kertas. Kemudian, dengan gunting, potong alas bundar di sekitar keliling. Setelah itu, di sepanjang generatrix, buat potongan permukaan kerucut dan ubah menjadi bidang. Hasil dari operasi sederhana ini adalah pengembangan kerucut, yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
Seperti yang Anda lihat, permukaan kerucut memang dapat direpresentasikan pada sebuah bidang. Ini terdiri dari dua bagian berikut:
- lingkaran dengan jari-jari r mewakili dasar gambar;
- sektor lingkaran dengan jari-jari g, yang merupakan permukaan kerucut.
Rumus luas kerucut melibatkan pencarian luas kedua permukaan yang tidak dilipat.
Menghitung luas permukaan suatu bangun
Mari kita bagi tugas menjadi dua tahap. Pertama kita cari luas alas kerucut, lalu luas permukaan kerucut.
Bagian pertama dari masalah ini mudah dipecahkan. Karena jari-jari r diberikan, cukup untuk mengingat ekspresi yang sesuai untuk luas lingkaran untuk menghitung luas alas. Ayo tuliskan:
So=pi × r2
Jika jari-jarinya tidak diketahui, maka Anda harus menemukannya terlebih dahulu menggunakan rumus hubungan antara itu, tinggi dan generator.
Bagian kedua dari masalah mencari luas kerucut agak lebih rumit. Perhatikan bahwa sektor lingkaran dibangun di atas jari-jari g generatrix dan dibatasi oleh busur yang panjangnya sama dengan keliling lingkaran. Fakta ini memungkinkan Anda untuk menuliskan proporsi dan menemukan sudut sektor yang dipertimbangkan. Mari kita tunjukkan dengan huruf Yunani. Sudut ini akan sama dengan:
2 × pi=>2 × pi × g;
φ=> 2 × pi × r;
φ=2 × pi × r / g
Mengetahui sudut pusat dari sektor lingkaran, Anda dapat menggunakan proporsi yang sesuai untuk menemukan luasnya. Mari kita tunjukkan dengan simbol Sb. Ini akan sama dengan:
2 × pi=>pi × g2;
φ=> Sb;
Sb=pi × g2 × / (2 × pi)=pi × r × g
Yaitu, luas permukaan kerucut sesuai dengan produk dari generatrix g, jari-jari alas r dan bilangan Pi.
Mengetahui apa bidang keduanyapermukaan yang dipertimbangkan, kita dapat menulis rumus akhir untuk luas kerucut:
S=So+ Sb=pi × r2+ pi × r × g=pi × r × (r + g)
Ekspresi tertulis mengasumsikan pengetahuan tentang dua parameter linier kerucut untuk menghitung S. Jika g atau r tidak diketahui, maka dapat dicari melalui ketinggian h.
Soal menghitung luas kerucut
Diketahui bahwa tinggi kerucut lurus berbentuk bulat sama dengan diameternya. Perlu untuk menghitung luas gambar, mengetahui bahwa luas alasnya adalah 50 cm2.
Mengetahui luas lingkaran, Anda dapat menemukan jari-jari gambar. Kami memiliki:
So=pi × r2=>
r=(So /pi)
Sekarang mari kita cari generator g dalam bentuk h dan r. Berdasarkan syarat, tinggi h pada gambar sama dengan dua jari-jari r, maka:
h=2 × r;
g2=(2 × r)2+ r2=>
g=5 × r=(5 × So / pi)
Rumus yang ditemukan untuk g dan r harus disubstitusikan ke dalam ekspresi untuk seluruh luas kerucut. Kami mendapatkan:
S=So+ pi × (So / pi) × (5 × S o /pi)=So × (1 + 5)
Ke dalam ekspresi yang dihasilkan kita substitusikan luas alas So dan tuliskan jawabannya: S 161,8 cm2.
