Studi kuantitatif tentang dinamika dan kinematika gerak rotasi memerlukan pengetahuan tentang momen inersia suatu titik material dan benda tegar relatif terhadap sumbu rotasi. Kami akan mempertimbangkan dalam artikel parameter apa yang sedang kami bicarakan, dan juga memberikan formula untuk menentukannya.
Informasi umum tentang besaran fisis
Pertama, mari kita tentukan momen inersia suatu titik material dan benda tegar, dan kemudian tunjukkan bagaimana seharusnya digunakan dalam memecahkan masalah praktis.
Berdasarkan karakteristik fisik yang ditunjukkan untuk sebuah titik dengan massa m, yang berputar mengelilingi sumbu pada jarak r, nilai berikut yang dimaksud:
I=mr².
Dengan demikian, satuan pengukuran parameter yang dipelajari adalah kilogram per meter persegi (kgm²).
Jika, alih-alih sebuah titik di sekitar sumbu, sebuah benda dengan bentuk kompleks berputar, yang memiliki distribusi massa yang berubah-ubah di dalamnya, maka momen inersianya ditentukanjadi:
I=m(r²dm)=V(r²dV).
Di mana adalah kepadatan tubuh. Dengan menggunakan rumus integral, Anda dapat menentukan nilai I untuk semua sistem rotasi secara mutlak.
Momen inersia memiliki arti yang persis sama untuk rotasi seperti yang dimiliki massa untuk gerak translasi. Misalnya, semua orang tahu bahwa paling mudah untuk memutar pel lantai di sekitar sumbu yang melewati pegangannya daripada yang tegak lurus. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa momen inersia pada kasus pertama jauh lebih kecil daripada pada kasus kedua.
Saya menghargai benda dengan bentuk berbeda
Saat memecahkan masalah dalam fisika untuk rotasi, sering kali perlu mengetahui momen inersia untuk benda dengan bentuk geometris tertentu, misalnya, untuk silinder, bola, atau batang. Jika kita menerapkan rumus yang ditulis di atas untuk I, maka mudah untuk mendapatkan ekspresi yang sesuai untuk semua badan yang ditandai. Di bawah ini adalah rumus untuk beberapa di antaranya:
batang: I=1 / 12ML²;
silinder: I=1/2MR²;
bola: I=2 / 5MR².
Di sini saya diberikan untuk sumbu rotasi, yang melewati pusat massa tubuh. Dalam kasus silinder, sumbu sejajar dengan generator dari gambar. Momen inersia untuk benda geometris lainnya dan opsi untuk lokasi sumbu rotasi dapat ditemukan di tabel yang sesuai. Perhatikan bahwa untuk menentukan I angka yang berbeda, cukup mengetahui hanya satu parameter geometris dan massa benda.
Teorema dan rumus Steiner
Momen inersia dapat ditentukan jika sumbu rotasi terletak agak jauh dari benda. Untuk melakukan ini, Anda harus mengetahui panjang segmen ini dan nilai IO tubuh relatif terhadap sumbu yang melewati pusat massanya, yang harus sejajar dengan sumbu di bawah pertimbangan. Membangun hubungan antara parameter IO dan nilai I yang tidak diketahui ditetapkan dalam teorema Steiner. Momen inersia suatu titik material dan suatu benda tegar secara matematis ditulis sebagai berikut:
I=IO+ Mh2.
Di sini M adalah massa benda, h adalah jarak dari pusat massa ke sumbu rotasi, relatif terhadap yang diperlukan untuk menghitung I. Ekspresi ini mudah diperoleh sendiri jika Anda gunakan rumus integral untuk I dan perhatikan bahwa semua titik benda berada pada jarak r=r0 + h.
Teorema Steiner sangat menyederhanakan definisi I untuk banyak situasi praktis. Misalnya, jika Anda perlu mencari I untuk batang dengan panjang L dan massa M terhadap sumbu yang melalui ujungnya, maka menerapkan teorema Steiner memungkinkan Anda untuk menulis:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Anda dapat merujuk ke tabel yang sesuai dan melihat bahwa tabel tersebut berisi persis rumus ini untuk batang tipis dengan sumbu rotasi di ujungnya.
Persamaan momen
Dalam fisika rotasi ada rumus yang disebut persamaan momen. Tampilannya seperti ini:
M=saya.
Di sini M adalah momen gaya, adalah percepatan sudut. Seperti yang Anda lihat, momen inersia titik material dan benda tegar dan momen gaya berhubungan secara linier satu sama lain. Nilai M menentukan kemungkinan beberapa gaya F untuk menciptakan gerak rotasi dengan percepatan dalam sistem. Untuk menghitung M, gunakan ekspresi sederhana berikut:
M=Fd.
Di mana d adalah bahu momen, yang sama dengan jarak dari vektor gaya F ke sumbu rotasi. Semakin kecil lengan d, semakin kecil kemampuan gaya untuk membuat rotasi sistem.
Persamaan momen dalam artinya sepenuhnya konsisten dengan hukum kedua Newton. Dalam hal ini, saya berperan sebagai massa inersia.
Contoh penyelesaian masalah
Mari kita bayangkan sebuah sistem berupa silinder yang dipasang pada sumbu vertikal dengan batang horizontal tanpa bobot. Diketahui bahwa sumbu putar dan sumbu utama silinder sejajar satu sama lain, dan jarak antara keduanya adalah 30 cm. Massa silinder adalah 1 kg, dan jari-jarinya adalah 5 cm. Gaya 10 N bersinggungan dengan lintasan rotasi bekerja pada gambar, yang vektornya melewati sumbu utama silinder. Penting untuk menentukan percepatan sudut dari gambar, yang akan menyebabkan gaya ini.
Pertama, mari kita hitung momen inersia silinder I. Untuk melakukan ini, terapkan teorema Steiner, kita memiliki:
I=IO+ M d²=1/2MR² + Md²=1/210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Sebelum menggunakan persamaan momen, Anda perlutentukan momen gaya M. Dalam hal ini, kita memiliki:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Sekarang Anda dapat menentukan percepatannya:
α=M/I=3/0,09125 32,9 rad/s².
Percepatan sudut yang dihitung menunjukkan bahwa setiap detik kecepatan silinder akan meningkat sebesar 5,2 putaran per detik.
