Luas permukaan lateral dan volume piramida terpotong: rumus dan contoh penyelesaian masalah tipikal

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2024-01-02 17:49

Saat mempelajari sifat-sifat bangun ruang tiga dimensi dalam kerangka stereometri, kita sering kali harus memecahkan masalah untuk menentukan volume dan luas permukaan. Pada artikel ini, kami akan menunjukkan cara menghitung volume dan luas permukaan lateral untuk piramida terpotong menggunakan rumus terkenal.

Piramida dalam geometri

Dalam geometri, piramida biasa adalah sosok di luar angkasa, yang dibangun di atas n-gon datar. Semua simpulnya terhubung ke satu titik yang terletak di luar bidang poligon. Sebagai contoh, ini adalah foto yang menunjukkan piramida segi lima.

Angka ini dibentuk oleh wajah, simpul dan tepi. Wajah segi lima disebut alas. Wajah segitiga yang tersisa membentuk permukaan samping. Titik persimpangan semua segitiga adalah titik utama piramida. Jika tegak lurus diturunkan darinya ke alas, maka dua opsi untuk posisi titik persimpangan dimungkinkan:

• di pusat geometris, maka piramida disebut garis lurus;
• tidak masukpusat geometri, maka bangun tersebut akan miring.

Selanjutnya kita hanya akan mempertimbangkan angka lurus dengan basis n-gonal reguler.

Angka apa ini - piramida terpotong?

Untuk menentukan volume piramida terpotong, perlu dipahami dengan jelas gambar mana yang dimaksud. Mari kita perjelas masalah ini.

Misalkan kita mengambil bidang potong yang sejajar dengan dasar piramida biasa dan memotong sebagian permukaan sampingnya. Jika operasi ini dilakukan dengan piramida segi lima yang ditunjukkan di atas, Anda akan mendapatkan gambar seperti pada gambar di bawah ini.

Dari foto terlihat bahwa piramida ini sudah memiliki dua alas, dan yang paling atas mirip dengan yang paling bawah, tetapi ukurannya lebih kecil. Permukaan lateral tidak lagi diwakili oleh segitiga, tetapi oleh trapesium. Mereka adalah sama kaki, dan jumlahnya sesuai dengan jumlah sisi alasnya. Gambar terpotong tidak memiliki simpul utama, seperti piramida biasa, dan tingginya ditentukan oleh jarak antara alas sejajar.

Dalam kasus umum, jika gambar yang ditinjau dibentuk oleh n-gonal basis, ia memiliki n+2 wajah atau sisi, 2n simpul dan 3n tepi. Artinya, piramida terpotong adalah polihedron.

Rumus volume piramida terpotong

Ingatlah bahwa volume piramida biasa adalah 1/3 hasil kali tinggi dan luas alasnya. Rumus ini tidak cocok untuk piramida terpotong, karena memiliki dua alas. Dan volumenyaakan selalu kurang dari nilai yang sama untuk angka biasa dari mana ia diturunkan.

Tanpa masuk ke detail matematika untuk mendapatkan ekspresi, kami menyajikan rumus akhir untuk volume piramida terpotong. Ditulis sebagai berikut:

V=1/3h(S₁+ S₂+ (S_{1 S}2₎₎

Di sini S₁ dan S_{2 masing-masing adalah luas alas bawah dan alas atas, h adalah tinggi gambar. Ungkapan tertulis berlaku tidak hanya untuk piramida terpotong lurus beraturan, tetapi juga untuk gambar apa pun dari kelas ini. Selain itu, terlepas dari jenis poligon dasar. Satu-satunya kondisi yang membatasi penggunaan ekspresi untuk V adalah perlunya alas piramida sejajar satu sama lain.}

Beberapa kesimpulan penting dapat ditarik dengan mempelajari sifat-sifat rumus ini. Jadi, jika luas alas atas adalah nol, maka kita sampai pada rumus untuk V piramida biasa. Jika luas alasnya sama satu sama lain, maka kita mendapatkan rumus volume prisma.

Bagaimana menentukan luas permukaan lateral?

Mengetahui karakteristik piramida terpotong tidak hanya membutuhkan kemampuan menghitung volumenya, tetapi juga mengetahui cara menentukan luas permukaan samping.

Piramida terpotong terdiri dari dua jenis wajah:

• trapesium sama kaki;
• basis poligonal.

Jika pada alasnya terdapat poligon beraturan, maka perhitungan luasnya tidak mewakili besarkesulitan. Untuk melakukannya, Anda hanya perlu mengetahui panjang sisi a dan jumlah n.

Dalam kasus permukaan lateral, perhitungan luasnya melibatkan penentuan nilai ini untuk masing-masing n trapesium. Jika n-gon benar, maka rumus luas permukaan lateral menjadi:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Di sini h_b adalah tinggi trapesium, yang disebut puncak bangun. Besaran a₁ dan a_{2adalah panjang sisi-sisi basa n-gonal beraturan.}

Untuk setiap piramida terpotong n-gonal reguler, apotema h_b dapat didefinisikan secara unik melalui parameter a₁ dan a _{2dan tinggi h bentuk.}

Tugas menghitung volume dan luas suatu bangun

Diberikan piramida terpotong segitiga biasa. Diketahui tingginya h adalah 10 cm, dan panjang sisi alasnya adalah 5 cm dan 3 cm. Berapa volume piramida terpotong dan luas permukaan sisinya?

Pertama, mari kita hitung nilai V. Untuk melakukannya, cari luas segitiga sama sisi yang terletak di dasar gambar. Kami memiliki:

S₁=3/4a₁²=3/4 5²=10.825cm^2;

S₂=3/4a₂²=3/4 3²=3,897 cm²

Substitusikan data ke dalam rumus untuk V, kita mendapatkan volume yang diinginkan:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + (10, 825 3, 897)) 70,72 cm3

Untuk menentukan permukaan samping, Anda harus tahupanjang apotema h_{b. Mengingat segitiga siku-siku yang sesuai di dalam piramida, kita dapat menulis kesetaraan untuk itu:}

h_b=((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) 10.017 cm}

Nilai apotema dan sisi-sisi alas segitiga disubstitusikan ke dalam persamaan S_{b dan kita mendapatkan jawabannya:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10.0173(5+3)/2 120.2cm²

Dengan demikian, kami menjawab semua pertanyaan dari masalah: V 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.