Luas permukaan samping piramida segi empat beraturan: rumus dan contoh soal

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2024-01-02 17:49

Masalah geometris yang khas pada bidang dan ruang tiga dimensi adalah masalah menentukan luas permukaan berbagai bentuk. Pada artikel ini, kami menyajikan rumus untuk luas permukaan lateral piramida segi empat beraturan.

Apa itu piramida?

Mari kita berikan definisi geometris yang ketat dari sebuah piramida. Misalkan ada beberapa poligon dengan n sisi dan n sudut. Kami memilih titik arbitrer dalam ruang yang tidak akan berada di bidang n-gon yang ditentukan, dan menghubungkannya ke setiap simpul poligon. Kita akan mendapatkan gambar yang memiliki volume tertentu, yang disebut piramida n-gonal. Sebagai contoh, mari kita tunjukkan pada gambar di bawah seperti apa bentuk piramida segi lima.

Dua elemen penting dari setiap piramida adalah alasnya (n-gon) dan atasnya. Elemen-elemen ini dihubungkan satu sama lain oleh n segitiga, yang pada umumnya tidak sama satu sama lain. Tegak lurus dijatuhkan daridari atas ke bawah disebut tinggi badan. Jika memotong alas di pusat geometris (bertepatan dengan pusat massa poligon), maka piramida seperti itu disebut garis lurus. Jika, selain kondisi ini, alasnya adalah poligon beraturan, maka seluruh piramida disebut beraturan. Gambar di bawah menunjukkan seperti apa bentuk piramida biasa dengan alas segitiga, segi empat, pentagonal, dan heksagonal.

Permukaan piramida

Sebelum beralih ke pertanyaan tentang luas permukaan lateral piramida segi empat biasa, kita harus memikirkan konsep permukaan itu sendiri.

Seperti disebutkan di atas dan ditunjukkan pada gambar, setiap piramida dibentuk oleh serangkaian wajah atau sisi. Satu sisi adalah alas dan n sisi adalah segitiga. Permukaan seluruh bangun adalah jumlah dari luas setiap sisinya.

Lebih mudah untuk mempelajari permukaan pada contoh sosok yang sedang berlangsung. Pemindaian untuk piramida segi empat biasa ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Kita melihat bahwa luas permukaannya sama dengan jumlah empat luas segitiga sama kaki yang identik dan luas persegi.

Luas total semua segitiga yang membentuk sisi-sisi pada gambar disebut luas permukaan sisi. Selanjutnya, kami akan menunjukkan cara menghitungnya untuk piramida segi empat biasa.

Luas permukaan lateral piramida beraturan segi empat

Untuk menghitung luas lateralpermukaan gambar yang ditentukan, kami kembali beralih ke pemindaian di atas. Misalkan kita mengetahui sisi alas persegi. Mari kita tunjukkan dengan simbol a. Dapat dilihat bahwa masing-masing dari empat segitiga identik memiliki alas dengan panjang a. Untuk menghitung luas totalnya, Anda perlu mengetahui nilai ini untuk satu segitiga. Diketahui dari mata kuliah geometri bahwa luas segitiga S_{t sama dengan hasil kali alas dan tinggi, yang harus dibagi dua. Yaitu:}

S_t=1/2h_ba.

Di mana h_b adalah tinggi segitiga sama kaki yang ditarik ke alas a. Untuk piramida, ketinggian ini adalah apotema. Sekarang tinggal mengalikan ekspresi yang dihasilkan dengan 4 untuk mendapatkan luas S_{bpermukaan lateral piramida yang dimaksud:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Rumus ini berisi dua parameter: apotema dan sisi alas. Jika yang terakhir diketahui di sebagian besar kondisi masalah, maka yang pertama harus dihitung dengan mengetahui jumlah lainnya. Berikut adalah rumus untuk menghitung apotema h_{b untuk dua kasus:}

• bila panjang rusuk diketahui;
• ketika ketinggian piramida diketahui.

Jika panjang rusuk sisi (sisi segitiga sama kaki) dilambangkan dengan L, maka apotema h_{b ditentukan dengan rumus:}

h_b=(L² - a^2/4).

Ungkapan ini adalah hasil penerapan teorema Pythagoras untuk segitiga permukaan lateral.

Jika diketahuitinggi h piramida, maka apotema h_{b dapat dihitung sebagai berikut:}

h_b=(h² + a^2/4).

Mendapatkan ungkapan ini juga tidak sulit jika kita perhatikan di dalam piramida segitiga siku-siku yang dibentuk oleh kaki h dan a/2 dan sisi miring h_b.

Mari kita tunjukkan bagaimana menerapkan rumus-rumus ini dengan memecahkan dua masalah yang menarik.

Masalah dengan luas permukaan yang diketahui

Diketahui luas permukaan lateral piramida segi empat beraturan adalah 108 cm². Perlu untuk menghitung nilai panjang apotema h_{b, jika tinggi piramida adalah 7 cm.}

Mari kita tuliskan rumus luas S_{bpermukaan samping melalui ketinggian. Kami memiliki:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Di sini kita hanya mengganti rumus apotema yang sesuai ke dalam ekspresi untuk S_{b. Mari kita kuadratkan kedua sisi persamaan:}

S_b²=4a²h^{2 + a}4^.

Untuk mencari nilai a, mari kita mengubah variabel:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Kami sekarang mengganti nilai yang diketahui dan menyelesaikan persamaan kuadrat:

t2+ 196t - 11664=0.

t 47, 8355.

Kami hanya menuliskan akar positif dari persamaan ini. Maka sisi alas piramida akan menjadi:

a=t=47.8355 6.916 cm.

Untuk mendapatkan panjang apotema,gunakan saja rumus:

h_b=(h² + a²/4)=(7 ²+ 6, 916^{2/4) 7, 808 lihat}

Permukaan sisi piramida Cheops

Tentukan nilai luas permukaan lateral piramida Mesir terbesar. Diketahui pada alasnya terdapat sebuah bujur sangkar dengan panjang sisi 230,363 meter. Ketinggian struktur awalnya 146,5 meter. Substitusikan angka-angka ini ke dalam rumus yang sesuai untuk S_{b, kita peroleh:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 85860 m^2.

Nilai yang ditemukan sedikit lebih besar dari luas 17 lapangan sepak bola.