Geometri itu indah karena, berbeda dengan aljabar, di mana tidak selalu jelas apa yang Anda pikirkan dan mengapa, ia memberikan visibilitas ke objek. Dunia indah dari berbagai tubuh ini dihiasi dengan polihedra biasa.
Informasi umum tentang polihedra biasa
Menurut banyak orang, polihedra biasa, atau disebut juga padatan Platonis, memiliki sifat unik. Beberapa hipotesis ilmiah dikaitkan dengan objek-objek ini. Ketika Anda mulai mempelajari benda-benda geometris ini, Anda memahami bahwa Anda praktis tidak tahu apa-apa tentang konsep seperti polihedra biasa. Penyajian benda-benda tersebut di sekolah tidak selalu menarik, bahkan banyak yang lupa apa namanya. Kebanyakan orang hanya mengingat kubus. Tidak ada benda dalam geometri yang sesempurna polihedra biasa. Semua nama benda geometris ini berasal dari Yunani Kuno. Mereka berarti jumlah wajah: tetrahedron - empat sisi, hexahedron - enam sisi, oktahedron - oktahedral, dodecahedron - dua belas sisi, icosahedron - dua puluh sisi. Semua benda geometris inimenempati tempat penting dalam konsep Plato tentang alam semesta. Empat dari mereka mempersonifikasikan elemen atau entitas: tetrahedron - api, icosahedron - air, kubus - bumi, oktahedron - udara. Dodecahedron mewujudkan segala sesuatu yang ada. Itu dianggap yang utama, karena itu adalah simbol alam semesta.
Generalisasi konsep polihedron
Polihedron adalah kumpulan poligon yang jumlahnya berhingga sehingga:
- setiap sisi dari salah satu poligon pada saat yang sama hanya sisi dari satu poligon lain pada sisi yang sama;
- dari masing-masing poligon Anda bisa mendapatkan yang lain dengan melewati poligon yang berdekatan dengannya.
Poligon yang membentuk polihedron adalah wajahnya, dan sisi-sisinya adalah tepi. Simpul dari polihedra adalah simpul dari poligon. Jika konsep poligon dipahami sebagai garis putus-putus tertutup yang datar, maka seseorang sampai pada satu definisi polihedron. Dalam kasus ketika konsep ini berarti bagian dari bidang yang dibatasi oleh garis putus-putus, maka permukaan yang terdiri dari potongan poligonal harus dipahami. Polihedron cembung adalah benda yang terletak di satu sisi bidang yang berdekatan dengan wajahnya.
Definisi lain dari polihedron dan elemennya
Polihedron adalah permukaan yang terdiri dari poligon yang membatasi tubuh geometris. Mereka adalah:
- tidak cembung;
- cembung (benar dan salah).
Polihedron beraturan adalah polihedron cembung dengan simetri maksimum. Elemen polihedra beraturan:
- tetrahedron: 6 tepi, 4 wajah, 5 simpul;
- heksahedron (kubus): 12, 6, 8;
- dodecahedron: 30, 12, 20;
- oktahedron: 12, 8, 6;
- icosahedron: 30, 20, 12.
Teorema Euler
Ini menetapkan hubungan antara jumlah tepi, simpul dan wajah yang secara topologi setara dengan bola. Dengan menjumlahkan jumlah vertex dan face (B + D) dari berbagai polyhedra beraturan dan membandingkannya dengan jumlah edge, satu pola dapat dibentuk: jumlah dari jumlah face dan vertex sama dengan jumlah edge (P) meningkat oleh 2. Anda dapat memperoleh rumus sederhana:
B + D=R + 2
Rumus ini berlaku untuk semua polihedra cembung.
Definisi dasar
Konsep polihedron beraturan tidak dapat dijelaskan dalam satu kalimat. Itu lebih bermakna dan produktif. Agar tubuh dapat diakui seperti itu, ia harus memenuhi sejumlah definisi. Jadi, benda geometris akan menjadi polihedron beraturan jika kondisi berikut terpenuhi:
- itu cembung;
- jumlah sisi yang sama konvergen pada setiap simpulnya;
- semua wajahnya adalah poligon beraturan, sama satu sama lain;
- semua sudut dihedralnya sama.
Sifat polihedra beraturan
Ada 5 jenis polihedra biasa:
- Kubus (segi enam) - memiliki sudut datar di bagian atas 90°. Memiliki sudut 3 sisi. Jumlah sudut datar di atas adalah 270°.
- Tetrahedron - sudut datar di bagian atas - 60°. Memiliki sudut 3 sisi. Jumlah sudut datar di atas adalah 180°.
- Octahedron - sudut sudut datar - 60°. Ini memiliki sudut 4 sisi. Jumlah sudut datar di atas adalah 240°.
- Dodecahedron - sudut datar pada titik sudut 108°. Memiliki sudut 3 sisi. Jumlah sudut datar di atas adalah 324°.
- Icosahedron - memiliki sudut datar di bagian atas - 60°. Ini memiliki sudut 5 sisi. Jumlah sudut datar di atas adalah 300 °.
Luas polihedra beraturan
Luas permukaan benda geometris (S) ini dihitung sebagai luas poligon beraturan dikalikan dengan jumlah wajahnya (G):
S=(a: 2) x 2G ctg /p
Volume polihedron beraturan
Nilai ini dihitung dengan mengalikan volume piramida biasa, yang dasarnya ada poligon beraturan, dengan jumlah wajah, dan tingginya adalah jari-jari bola tertulis (r):
V=1: 3rS
Volume polihedra beraturan
Seperti benda geometris lainnya, polihedra beraturan memiliki volume yang berbeda. Di bawah ini adalah rumus untuk menghitungnya:
- tetrahedron: x 3√2: 12;
- oktahedron: x 3√2: 3;
- ikosahedron; x 3;
- heksahedron (kubus): 5 x x 3 x (3 + 5): 12;
- dodecahedron: x 3 (15 + 7√5): 4.
Elemen polihedra beraturan
Heksahedron dan oktahedron adalah benda geometris ganda. Dengan kata lain, mereka dapat diperoleh dari satu sama lain jika pusat gravitasi dari wajah yang satu diambil sebagai simpul dari yang lain, dan sebaliknya. Icosahedron dan dodecahedron juga ganda. Hanya tetrahedron yang mendua dengan dirinya sendiri. Menurut metode Euclid, Anda bisa mendapatkan dodecahedron dari segi enam dengan membangun "atap" di permukaan kubus. Titik-titik sebuah tetrahedron adalah setiap 4 titik dari sebuah kubus yang tidak berdekatan berpasangan di sepanjang tepi. Dari segi enam (kubus) Anda bisa mendapatkan polihedra biasa lainnya. Terlepas dari kenyataan bahwa ada banyak poligon beraturan, hanya ada 5 polihedra beraturan.
Radius poligon beraturan
Ada 3 bola konsentris yang terkait dengan masing-masing benda geometris ini:
- dijelaskan, melewati puncaknya;
- tertulis, menyentuh setiap wajah di tengahnya;
- median, menyentuh semua tepi di tengah.
Jari-jari bola yang dijelaskan dihitung dengan rumus berikut:
R=a: 2 x tg /g x tg: 2
Jari-jari bola bertulis dihitung dengan rumus:
R=a: 2 x ctg /p x tg: 2,
di mana adalah sudut dihedral antara wajah yang berdekatan.
Jari-jari bola median dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut:
ρ=a cos /p: 2 sin /h,
di mana nilai h=4, 6, 6, 10 atau 10. Rasio jari-jari terbatas dan jari-jari tertulis adalah simetris terhadap p dan q. Diadihitung dengan rumus:
R/r=tg /p x tg /q
simetri polihedra
Simetri polihedra beraturan menyebabkan minat utama pada benda-benda geometris ini. Ini dipahami sebagai gerakan tubuh di ruang angkasa, yang meninggalkan jumlah simpul, wajah, dan tepi yang sama. Dengan kata lain, di bawah pengaruh transformasi simetri, sebuah sisi, simpul, wajah tetap pada posisi aslinya atau berpindah ke posisi awal dari sisi, simpul, atau wajah lain.
Elemen simetri polihedra beraturan adalah karakteristik dari semua jenis benda geometris tersebut. Di sini kita berbicara tentang transformasi identik yang meninggalkan salah satu titik di posisi aslinya. Jadi, ketika Anda memutar prisma poligonal, Anda bisa mendapatkan beberapa simetri. Salah satu dari mereka dapat direpresentasikan sebagai produk refleksi. Simetri yang merupakan hasil kali pemantulan genap disebut garis lurus. Jika itu adalah produk dari sejumlah refleksi ganjil, maka itu disebut terbalik. Jadi, semua rotasi pada suatu garis adalah simetri langsung. Setiap refleksi dari polihedron adalah simetri terbalik.
Untuk lebih memahami elemen simetri polihedra beraturan, kita dapat mengambil contoh tetrahedron. Setiap garis lurus yang akan melewati salah satu simpul dan pusat bangun geometri ini juga akan melewati pusat wajah yang berlawanan dengannya. Masing-masing putaran 120° dan 240° di sekitar garis adalah jamak.simetri tetrahedron. Karena memiliki 4 simpul dan 4 wajah, hanya ada delapan simetri langsung. Setiap garis yang melewati bagian tengah tepi dan bagian tengah badan ini melewati bagian tengah tepi yang berlawanan. Setiap putaran 180 °, yang disebut setengah putaran, di sekitar garis lurus adalah simetri. Karena tetrahedron memiliki tiga pasang sisi, ada tiga simetri langsung lagi. Berdasarkan uraian di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa jumlah total simetri langsung, termasuk transformasi identik, akan mencapai dua belas. Tetrahedron tidak memiliki simetri langsung lainnya, tetapi memiliki 12 simetri terbalik. Oleh karena itu, tetrahedron dicirikan oleh total 24 simetri. Untuk kejelasan, Anda dapat membuat model tetrahedron biasa dari karton dan memastikan bahwa tubuh geometris ini benar-benar hanya memiliki 24 simetri.
Dodecahedron dan icosahedron paling dekat dengan bidang tubuh. Icosahedron memiliki jumlah wajah terbesar, sudut dihedral terbesar, dan dapat ditekan paling kuat pada bola bertulisan. Dodecahedron memiliki cacat sudut terkecil, sudut padat terbesar di titik. Dia dapat mengisi bola yang dijelaskannya secara maksimal.
Sapu polihedra
Polihedra biasa yang tidak terbungkus, yang kita semua rekatkan di masa kanak-kanak, memiliki banyak konsep. Jika terdapat kumpulan poligon, yang masing-masing sisinya diidentifikasi hanya dengan satu sisi polihedron, maka identifikasi sisi-sisinya harus memenuhi dua syarat:
- dari setiap poligon, Anda dapat melewati poligon yang memilikisisi yang teridentifikasi;
- sisi yang diketahui harus sama panjang.
Ini adalah himpunan poligon yang memenuhi kondisi ini yang disebut pengembangan polihedron. Masing-masing badan ini memiliki beberapa dari mereka. Jadi, misalnya, sebuah kubus memiliki 11 buah.
