Segitiga, persegi, segi enam - angka-angka ini diketahui hampir semua orang. Tetapi tidak semua orang tahu apa itu poligon biasa. Tapi ini semua adalah bentuk geometris yang sama. Poligon beraturan adalah poligon yang memiliki sudut dan sisi yang sama. Ada banyak angka seperti itu, tetapi semuanya memiliki sifat yang sama, dan rumus yang sama berlaku untuk mereka.
Sifat poligon beraturan
Poligon beraturan apa pun, baik persegi atau segi delapan, dapat ditulisi dalam lingkaran. Properti dasar ini sering digunakan ketika membangun sebuah gambar. Selain itu, lingkaran juga dapat dituliskan dalam poligon. Dalam hal ini, jumlah titik kontak akan sama dengan jumlah sisinya. Adalah penting bahwa lingkaran yang tertulis dalam poligon beraturan akan memiliki pusat yang sama dengannya. Angka-angka geometris ini tunduk pada teorema yang sama. Sisi manapunn-gon beraturan berhubungan dengan jari-jari R lingkaran yang mengelilinginya, sehingga dapat dihitung menggunakan rumus berikut: a=2R sin180°. Melalui jari-jari lingkaran, Anda tidak hanya dapat menemukan sisi, tetapi juga keliling poligon.
Cara mencari jumlah sisi poligon beraturan
Setiap n-gon beraturan terdiri dari sejumlah segmen yang sama satu sama lain, yang, jika dihubungkan, membentuk garis tertutup. Dalam hal ini, semua sudut gambar yang terbentuk memiliki nilai yang sama. Poligon dibagi menjadi sederhana dan kompleks. Kelompok pertama termasuk segitiga dan persegi. Poligon kompleks memiliki lebih banyak sisi. Mereka juga termasuk sosok berbentuk bintang. Untuk poligon beraturan kompleks, sisi-sisinya ditemukan dengan menuliskannya dalam lingkaran. Mari kita beri bukti. Gambarlah poligon beraturan dengan jumlah sisi sembarang n. Gambarkan lingkaran di sekelilingnya. Tentukan radius R. Sekarang bayangkan bahwa beberapa n-gon diberikan. Jika titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran dan sama besar, maka sisi-sisinya dapat dicari dengan rumus: a=2R sinα: 2.
Mencari jumlah sisi segitiga beraturan
Segitiga sama sisi adalah poligon beraturan. Rumus yang sama berlaku untuk persegi dan n-gon. Sebuah segitiga akan dianggap benar jika memiliki panjang sisi yang sama. Dalam hal ini, sudutnya adalah 60⁰. Bangun segitiga dengan panjang sisi tertentu a. Mengetahui median dan tinggi,Anda dapat menemukan nilai sisi-sisinya. Untuk melakukan ini, kita akan menggunakan metode mencari melalui rumus a \u003d x: cosα, di mana x adalah median atau tinggi. Karena semua sisi segitiga adalah sama, kita mendapatkan a=b=c. Maka pernyataan berikut akan benar a=b=c=x: cosα. Demikian pula, Anda dapat menemukan nilai sisi dalam segitiga sama kaki, tetapi x akan menjadi tinggi yang diberikan. Pada saat yang sama, itu harus diproyeksikan secara ketat di dasar gambar. Jadi, mengetahui tinggi x, kami menemukan sisi a dari segitiga sama kaki menggunakan rumus a \u003d b \u003d x: cosα. Setelah menemukan nilai a, Anda dapat menghitung panjang alas c. Mari kita terapkan teorema Pythagoras. Kita akan mencari nilai setengah alas c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x tgα. Maka c=2xtanα. Berikut adalah cara sederhana untuk menemukan jumlah sisi dari setiap poligon bertulisan.
Menghitung sisi persegi yang ditulis dalam lingkaran
Seperti poligon biasa bertulisan lainnya, persegi memiliki sisi dan sudut yang sama. Rumus yang sama berlaku untuk segitiga. Anda dapat menghitung sisi persegi menggunakan nilai diagonal. Mari kita pertimbangkan metode ini secara lebih rinci. Diketahui bahwa diagonal membagi dua sudut. Awalnya, nilainya adalah 90 derajat. Jadi, setelah pembagian, dua segitiga siku-siku terbentuk. Sudut dasar mereka akan menjadi 45 derajat. Dengan demikian, setiap sisi bujur sangkar akan sama, yaitu: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e cosα \u003d e 2: 2, di mana e adalah diagonal bujur sangkar, atau alas dari segitiga siku-siku yang terbentuk setelah pembagian. Ini bukan satu-satunya caramencari sisi persegi. Mari kita tuliskan angka ini dalam lingkaran. Mengetahui jari-jari lingkaran ini R, kita menemukan sisi persegi. Kami akan menghitungnya sebagai berikut a4=R√2. Jari-jari poligon beraturan dihitung dengan rumus R=a: 2tg (360o: 2n), di mana a adalah panjang sisinya.
Cara menghitung keliling n-gon
Keliling n-gon adalah jumlah semua sisinya. Sangat mudah untuk menghitungnya. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengetahui nilai semua sisi. Untuk beberapa jenis poligon, ada rumus khusus. Mereka memungkinkan Anda untuk menemukan perimeter lebih cepat. Diketahui bahwa setiap poligon beraturan memiliki sisi yang sama. Oleh karena itu, untuk menghitung kelilingnya, cukup mengetahui setidaknya satu dari mereka. Rumus akan tergantung pada jumlah sisi gambar. Secara umum, terlihat seperti ini: P \u003d an, di mana a adalah nilai sisi, dan n adalah jumlah sudut. Misalnya, untuk menemukan keliling segi delapan biasa dengan sisi 3 cm, Anda perlu mengalikannya dengan 8, yaitu, P=3 8=24 cm. Untuk segi enam dengan sisi 5 cm, kami menghitung sebagai berikut: P=5 6=30 cm Dan untuk setiap poligon.
Mencari keliling jajar genjang, persegi dan belah ketupat
Bergantung pada berapa banyak sisi poligon beraturan, kelilingnya dihitung. Ini membuat tugas jauh lebih mudah. Memang, tidak seperti tokoh lainnya, dalam hal ini tidak perlu mencari semua sisinya, cukup satu saja. Dengan prinsip yang sama, kita mencari keliling disegi empat, yaitu persegi dan belah ketupat. Terlepas dari kenyataan bahwa ini adalah angka yang berbeda, rumus untuk mereka adalah sama P=4a, di mana a adalah sisinya. Mari kita ambil contoh. Jika sisi belah ketupat atau bujur sangkar adalah 6 cm, maka kita menemukan keliling sebagai berikut: P \u003d 4 6 \u003d 24 cm Sebuah jajar genjang hanya memiliki sisi yang berhadapan. Oleh karena itu, kelilingnya ditemukan menggunakan metode yang berbeda. Jadi, kita perlu mengetahui panjang a dan lebar b dari gambar tersebut. Kemudian kita terapkan rumus P=(a + c) 2. Jajar genjang yang semua sisi dan sudutnya sama besar disebut belah ketupat.
Mencari keliling segitiga sama sisi dan siku-siku
Keliling segitiga sama sisi beraturan dapat ditemukan dengan rumus P=3a, di mana a adalah panjang sisinya. Jika tidak diketahui, dapat dicari melalui median. Dalam segitiga siku-siku, hanya dua sisi yang sama besar. Dasarnya dapat ditemukan melalui teorema Pythagoras. Setelah nilai ketiga sisi diketahui, kami menghitung keliling. Itu dapat ditemukan dengan menerapkan rumus P \u003d a + b + c, di mana a dan b adalah sisi yang sama, dan c adalah alasnya. Ingatlah bahwa dalam segitiga sama kaki a \u003d b \u003d a, oleh karena itu, a + b \u003d 2a, lalu P \u003d 2a + c. Misal panjang sisi segitiga sama kaki adalah 4 cm, tentukan alas dan kelilingnya. Kami menghitung nilai sisi miring menggunakan teorema Pythagoras c=a2 + v2=16+16=32=5,65 cm. Sekarang kita hitung keliling=2 4 + 5, 65=13,65 cm.
Cara mencari sudut poligon beraturan
Poligon beraturanterjadi dalam kehidupan kita setiap hari, misalnya persegi biasa, segitiga, segi delapan. Tampaknya tidak ada yang lebih mudah daripada membangun angka ini sendiri. Tapi ini hanya pada pandangan pertama. Untuk membangun n-gon apa pun, Anda perlu mengetahui nilai sudutnya. Tapi bagaimana Anda menemukan mereka? Bahkan para ilmuwan zaman kuno mencoba membangun poligon biasa. Mereka menebak untuk memasukkannya ke dalam lingkaran. Dan kemudian titik-titik yang diperlukan ditandai di atasnya, dihubungkan dengan garis lurus. Untuk angka sederhana, masalah konstruksi telah diselesaikan. Rumus dan teorema telah diperoleh. Misalnya, Euclid dalam karyanya yang terkenal "The Beginning" terlibat dalam memecahkan masalah untuk 3, 4-, 5-, 6- dan 15-gon. Dia menemukan cara untuk membangun mereka dan menemukan sudut. Mari kita lihat bagaimana melakukan ini untuk 15-gon. Pertama, Anda perlu menghitung jumlah sudut internalnya. Hal ini diperlukan untuk menggunakan rumus S=180⁰(n-2). Jadi, kita diberi 15-gon, yang berarti bilangan n adalah 15. Kita substitusikan data yang kita ketahui ke dalam rumus dan dapatkan S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Kami telah menemukan jumlah semua sudut interior 15-gon. Sekarang kita perlu mendapatkan nilai masing-masing. Ada total 15 sudut. Kami melakukan perhitungan 2340⁰: 15=156⁰. Ini berarti bahwa setiap sudut internal adalah 156⁰, sekarang menggunakan penggaris dan kompas, Anda dapat membuat 15-gon biasa. Tapi bagaimana dengan n-gon yang lebih kompleks? Selama berabad-abad, para ilmuwan telah berjuang untuk memecahkan masalah ini. Itu hanya ditemukan pada abad ke-18 oleh Carl Friedrich Gauss. Dia mampu membangun 65537-gon. Sejak itu, masalah tersebut secara resmi dianggap selesai.
Perhitungan sudut n-gondalam radian
Tentu saja, ada beberapa cara untuk menemukan sudut poligon. Paling sering mereka dihitung dalam derajat. Tetapi Anda juga dapat mengekspresikannya dalam radian. Bagaimana cara melakukannya? Hal ini diperlukan untuk melanjutkan sebagai berikut. Pertama, kita mencari jumlah sisi poligon beraturan, kemudian dikurangi 2. Jadi, kita mendapatkan nilai: n - 2. Kalikan perbedaan yang ditemukan dengan angka n (“pi”=3, 14). Sekarang tinggal membagi produk yang dihasilkan dengan jumlah sudut dalam n-gon. Pertimbangkan perhitungan ini menggunakan contoh sisi lima belas yang sama. Jadi, bilangan n adalah 15. Terapkan rumus S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 13: 15=2, 72. Ini, tentu saja, bukan satu-satunya cara untuk menghitung sudut dalam radian. Anda cukup membagi ukuran sudut dalam derajat dengan angka 57, 3. Lagi pula, banyak derajat itu setara dengan satu radian.
Menghitung nilai sudut dalam derajat
Selain derajat dan radian, Anda dapat mencoba mencari nilai sudut poligon beraturan dalam grad. Ini dilakukan dengan cara berikut. Kurangi 2 dari jumlah total sudut, bagi selisih yang dihasilkan dengan jumlah sisi poligon beraturan. Kami mengalikan hasil yang ditemukan dengan 200. Omong-omong, unit pengukuran sudut seperti batu es praktis tidak digunakan.
Perhitungan sudut luar n-gon
Untuk poligon beraturan apa pun, kecuali poligon internal, Anda juga dapat menghitung sudut eksternal. Nilainya ditemukan dengan cara yang sama seperti untuk angka-angka lainnya. Jadi, untuk mencari sudut luar poligon beraturan, Anda perlumengetahui arti batin. Selanjutnya, kita tahu bahwa jumlah kedua sudut ini selalu 180 derajat. Oleh karena itu, kami melakukan perhitungan sebagai berikut: 180⁰ dikurangi nilai sudut internal. Kami menemukan perbedaannya. Ini akan sama dengan nilai sudut yang berdekatan dengannya. Misalnya, sudut dalam sebuah persegi adalah 90 derajat, jadi sudut luarnya adalah 180⁰ - 90⁰=90⁰. Seperti yang kita lihat, tidak sulit untuk menemukannya. Sudut eksternal dapat mengambil nilai dari +180⁰ hingga -180⁰, masing-masing.
