Matematika berasal dari Zaman Kuno. Berkat dia, arsitektur, konstruksi, dan ilmu militer memberikan babak baru perkembangan, pencapaian yang diperoleh dengan bantuan matematika mengarah pada pergerakan kemajuan. Sampai hari ini, matematika tetap menjadi ilmu utama yang ditemukan di semua cabang lainnya.
Agar terdidik, anak-anak dari kelas satu mulai secara bertahap bergabung ke dalam lingkungan ini. Sangat penting untuk memahami matematika, karena, pada tingkat tertentu, terjadi pada setiap orang sepanjang hidupnya. Artikel ini akan menganalisis salah satu elemen kunci - menemukan dan menerapkan turunan. Tidak semua orang bisa membayangkan seberapa luas konsep ini digunakan. Pertimbangkan lebih dari 10 aplikasi turunan dalam bidang atau ilmu tertentu.
Penerapan turunan pada studi fungsi
Turunannya adalah batasnyarasio kenaikan fungsi dengan kenaikan argumennya ketika eksponen argumen cenderung nol. Turunan merupakan hal yang sangat diperlukan dalam mempelajari suatu fungsi. Misalnya, dapat digunakan untuk menentukan kenaikan dan penurunan yang terakhir, ekstrem, cembung dan cekung. Kalkulus diferensial termasuk dalam kurikulum wajib untuk mahasiswa tahun pertama dan kedua universitas matematika.
Cakupan dan fungsi nol
Tahap pertama dari setiap studi grafik dimulai dengan menemukan domain definisi, dalam kasus yang lebih jarang - nilainya. Domain definisi diatur di sepanjang sumbu absis, dengan kata lain, ini adalah nilai numerik pada sumbu OX. Seringkali ruang lingkup sudah ditetapkan, tetapi jika tidak, maka nilai argumen x harus dievaluasi. Misalkan, jika untuk beberapa nilai argumen fungsi tidak masuk akal, maka argumen ini dikeluarkan dari ruang lingkup.
Nol fungsi ditemukan dengan cara yang sederhana: fungsi f(x) harus disamakan dengan nol dan persamaan yang dihasilkan harus diselesaikan sehubungan dengan satu variabel x. Akar persamaan yang diperoleh adalah nol dari fungsi, yaitu, dalam x ini fungsinya adalah 0.
Meningkat dan mengurangi
Penggunaan turunan untuk mempelajari fungsi monotonisitas dapat dipertimbangkan dari dua posisi. Fungsi monotonik adalah kategori yang hanya memiliki nilai positif dari turunannya, atau hanya bernilai negatif. Dengan kata sederhana, fungsi hanya bertambah atau hanya berkurang selama seluruh interval yang dipelajari:
- Tingkatkan parameter. Fungsif(x) akan meningkat jika turunan dari f`(x) lebih besar dari nol.
- Parameter turun. Fungsi f(x) akan berkurang jika turunan dari f`(x) lebih kecil dari nol.
Singgung dan Kemiringan
Penerapan turunan pada studi fungsi juga ditentukan oleh garis singgung (garis lurus yang membentuk sudut) ke grafik fungsi pada titik tertentu. Garis singgung pada suatu titik (x0) - garis yang melalui suatu titik dan termasuk dalam fungsi yang koordinatnya adalah (x0, f(x 0 )) dan memiliki kemiringan f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - persamaan garis singgung ke titik tertentu dari grafik fungsi.
Makna geometris turunan: turunan fungsi f(x) sama dengan kemiringan garis singgung yang dibentuk ke grafik fungsi ini di titik x tertentu. Koefisien sudut, pada gilirannya, sama dengan garis singgung sudut kemiringan garis singgung sumbu OX (absis) dalam arah positif. Akibat wajar ini merupakan dasar penerapan turunan pada grafik suatu fungsi.
Poin ekstrim
Menerapkan turunan ke studi melibatkan menemukan poin tinggi dan rendah.
Untuk mencari dan menentukan poin minimum dan maksimum, Anda harus:
- Temukan turunan dari fungsi f(x).
- Tetapkan persamaan yang dihasilkan ke nol.
- Temukan akar persamaan.
- Temukan poin tertinggi dan terendah.
Untuk menemukan ekstremfitur:
- Temukan poin minimum dan maksimum dengan cara di atas.
- Substitusikan titik-titik ini ke dalam persamaan asli dan hitung ymax dan ymin
Titik maksimum fungsi adalah nilai terbesar dari fungsi f(x) pada interval, dengan kata lain xmax.
Titik minimum fungsi adalah nilai terkecil dari fungsi f(x) pada interval, dengan kata lain xnama
Titik ekstrem sama dengan poin maksimum dan minimum, dan ekstrem dari fungsi (ymaks. dan yminimum) - nilai fungsi yang sesuai dengan titik ekstrem.
Konveksitas dan cekung
Anda dapat menentukan kecembungan dan kecekungan dengan menggunakan turunan untuk plot:
- A fungsi f(x) yang diperiksa pada interval (a, b) cekung jika fungsi tersebut terletak di bawah semua garis singgungnya dalam interval ini.
- Fungsi f(x) yang dipelajari pada interval (a, b) adalah cembung jika fungsi tersebut terletak di atas semua garis singgungnya di dalam interval ini.
Titik yang memisahkan kecembungan dan kecekungan disebut titik belok fungsi.
Untuk mencari titik belok:
- Temukan titik kritis jenis kedua (turunan kedua).
- Titik belok adalah titik kritis yang memisahkan dua tanda yang berlawanan.
- Menghitung nilai fungsi pada titik belok fungsi.
Turunan parsial
Aplikasiada turunan dari jenis ini dalam masalah di mana lebih dari satu variabel yang tidak diketahui digunakan. Paling sering, turunan seperti itu ditemui ketika memplot grafik fungsi, lebih tepatnya, permukaan dalam ruang, di mana alih-alih dua sumbu ada tiga, oleh karena itu, tiga kuantitas (dua variabel dan satu konstanta).
Aturan dasar saat menghitung turunan parsial adalah memilih satu variabel dan memperlakukan sisanya sebagai konstanta. Oleh karena itu, ketika menghitung turunan parsial, konstanta menjadi seolah-olah nilai numerik (dalam banyak tabel turunan, mereka dilambangkan sebagai C=const). Arti dari turunan tersebut adalah laju perubahan fungsi z=f(x, y) sepanjang sumbu OX dan OY, yaitu mencirikan kecuraman lekukan dan tonjolan permukaan yang dibangun.
Turunan dalam fisika
Penggunaan turunan dalam fisika tersebar luas dan penting. Arti fisis: turunan lintasan terhadap waktu adalah kecepatan, dan percepatan adalah turunan kecepatan terhadap waktu. Dari arti fisika, banyak cabang yang dapat ditarik ke berbagai cabang fisika, dengan tetap mempertahankan arti turunannya.
Dengan bantuan turunan, nilai-nilai berikut ditemukan:
- Kecepatan dalam kinematika, di mana turunan dari jarak yang ditempuh dihitung. Jika turunan kedua dari lintasan atau turunan pertama dari kecepatan ditemukan, maka percepatan tubuh ditemukan. Selain itu, adalah mungkin untuk menemukan kecepatan sesaat dari suatu titik material, tetapi untuk ini perlu diketahui kenaikan t dan r.
- Dalam elektrodinamika:perhitungan kekuatan sesaat dari arus bolak-balik, serta EMF induksi elektromagnetik. Dengan menghitung turunan, Anda dapat menemukan daya maksimum. Turunan dari jumlah muatan listrik adalah kuat arus pada penghantar.
Turunan dalam kimia dan biologi
Kimia: Turunan digunakan untuk menentukan laju reaksi kimia. Arti kimia dari turunan: fungsi p=p(t), dalam hal ini p adalah jumlah zat yang masuk ke dalam reaksi kimia dalam waktu t. t - pertambahan waktu, p - pertambahan kuantitas zat. Batas rasio p terhadap t, di mana t cenderung nol, disebut laju reaksi kimia. Nilai rata-rata suatu reaksi kimia adalah rasio p/∆t. Saat menentukan kecepatan, perlu untuk mengetahui dengan tepat semua parameter, kondisi yang diperlukan, untuk mengetahui keadaan agregat zat dan media aliran. Ini adalah aspek yang cukup besar dalam kimia, yang banyak digunakan di berbagai industri dan aktivitas manusia.
Biologi: konsep turunan digunakan untuk menghitung laju reproduksi rata-rata. Makna biologis: kita memiliki fungsi y=x(t). t - pertambahan waktu. Kemudian, dengan bantuan beberapa transformasi, kita memperoleh fungsi y`=P(t)=x`(t) - aktivitas vital populasi waktu t (laju reproduksi rata-rata). Penggunaan turunan ini memungkinkan Anda untuk menyimpan statistik, melacak laju reproduksi, dan sebagainya.
Turunan dalam geografi dan ekonomi
Turunan memungkinkan ahli geografi untuk memutuskantugas-tugas seperti mencari populasi, menghitung nilai dalam seismografi, menghitung radioaktivitas indikator geofisika nuklir, menghitung interpolasi.
Dalam ilmu ekonomi, bagian penting dari perhitungan adalah kalkulus diferensial dan perhitungan turunan. Pertama-tama, ini memungkinkan kita untuk menentukan batas nilai ekonomi yang diperlukan. Misalnya, produktivitas tenaga kerja, biaya, keuntungan tertinggi dan terendah. Pada dasarnya, nilai-nilai ini dihitung dari grafik fungsi, di mana mereka menemukan ekstrem, menentukan kemonotonan fungsi di area yang diinginkan.
Kesimpulan
Peran kalkulus diferensial ini terlibat, seperti disebutkan dalam artikel, dalam berbagai struktur ilmiah. Penggunaan fungsi turunan merupakan elemen penting dalam bagian praktis sains dan produksi. Bukan tanpa alasan kami diajarkan di sekolah menengah dan universitas untuk membuat grafik yang kompleks, menjelajahi, dan mengerjakan fungsi. Seperti yang Anda lihat, tanpa perhitungan turunan dan diferensial, tidak mungkin menghitung indikator dan kuantitas vital. Umat manusia telah belajar untuk memodelkan berbagai proses dan menjelajahinya, untuk memecahkan masalah matematika yang kompleks. Memang, matematika adalah ratu dari semua ilmu, karena ilmu ini mendasari semua disiplin ilmu alam dan teknis lainnya.
