Masalah matematika digunakan dalam banyak ilmu. Ini termasuk tidak hanya fisika, kimia, teknik dan ekonomi, tetapi juga kedokteran, ekologi dan disiplin ilmu lainnya. Salah satu konsep penting yang harus dikuasai untuk menemukan solusi dari dilema penting adalah turunan dari suatu fungsi. Arti fisiknya sama sekali tidak sulit untuk dijelaskan seperti yang terlihat oleh orang yang belum tahu dalam esensi masalah. Cukup dengan menemukan contoh yang cocok untuk ini dalam kehidupan nyata dan situasi sehari-hari biasa. Faktanya, setiap pengendara menghadapi tugas yang sama setiap hari ketika dia melihat speedometer, menentukan kecepatan mobilnya pada saat tertentu dari waktu yang tetap. Lagi pula, dalam parameter inilah esensi makna fisik dari turunannya terletak.
Cara mencari kecepatan
Menentukan kecepatan seseorang di jalan, mengetahui jarak tempuh dan waktu tempuh, setiap siswa kelas lima dapat dengan mudah. Untuk melakukan ini, yang pertama dari nilai yang diberikan dibagi dengan yang kedua. Tetapitidak setiap matematikawan muda tahu bahwa dia saat ini menemukan rasio peningkatan fungsi dan argumen. Memang, jika kita membayangkan gerakan dalam bentuk grafik, plot jalur sepanjang sumbu y, dan waktu sepanjang absis, akan persis seperti ini.
Namun, kecepatan pejalan kaki atau objek lain yang kami tentukan di sebagian besar jalur, mengingat pergerakannya seragam, mungkin saja berubah. Ada banyak bentuk gerak dalam fisika. Ini dapat dilakukan tidak hanya dengan akselerasi konstan, tetapi juga melambat dan meningkat dengan cara yang sewenang-wenang. Perlu dicatat bahwa dalam hal ini garis yang menggambarkan pergerakan tidak akan lagi menjadi garis lurus. Secara grafis, ini dapat mengambil konfigurasi yang paling kompleks. Tetapi untuk sembarang titik pada grafik, kita selalu dapat menggambar garis singgung yang diwakili oleh fungsi linier.
Untuk memperjelas parameter perubahan perpindahan tergantung pada waktu, perlu untuk mempersingkat segmen yang diukur. Ketika mereka menjadi sangat kecil, kecepatan yang dihitung akan menjadi seketika. Pengalaman ini membantu kita untuk mendefinisikan turunan. Arti fisiknya juga mengikuti secara logis dari alasan seperti itu.
Dalam hal geometri
Diketahui bahwa semakin besar kecepatan tubuh, semakin curam grafik ketergantungan perpindahan terhadap waktu, dan karenanya sudut kemiringan garis singgung grafik pada titik tertentu. Indikator perubahan tersebut dapat berupa garis singgung sudut antara sumbu x dan garis singgung. Itu hanya menentukan nilai turunan dan dihitung dengan rasio panjangberlawanan dengan kaki yang berdekatan dalam segitiga siku-siku yang dibentuk oleh tegak lurus yang dijatuhkan dari beberapa titik ke sumbu x.
Ini adalah arti geometris dari turunan pertama. Yang fisik terungkap dalam kenyataan bahwa nilai kaki yang berlawanan dalam kasus kami adalah jarak yang ditempuh, dan yang berdekatan adalah waktu. Rasio mereka adalah kecepatan. Dan sekali lagi kita sampai pada kesimpulan bahwa kecepatan sesaat, yang ditentukan ketika kedua celah cenderung sangat kecil, adalah inti dari konsep turunan, yang menunjukkan makna fisiknya. Turunan kedua dalam contoh ini adalah percepatan benda, yang selanjutnya menunjukkan laju perubahan kecepatan.
Contoh mencari turunan dalam fisika
Turunan adalah indikator laju perubahan fungsi apa pun, bahkan ketika kita tidak berbicara tentang gerakan dalam arti kata yang sebenarnya. Untuk menunjukkan ini dengan jelas, mari kita ambil beberapa contoh konkret. Misalkan kekuatan saat ini, tergantung pada waktu, berubah sesuai dengan hukum berikut: I=0, 4t2. Diperlukan untuk menemukan nilai laju di mana parameter ini berubah pada akhir detik ke-8 proses. Perhatikan bahwa nilai yang diinginkan itu sendiri, seperti yang dapat dinilai dari persamaan, terus meningkat.
Untuk menyelesaikannya, Anda perlu menemukan turunan pertama, yang arti fisiknya telah dipertimbangkan sebelumnya. Di sini dI / dt=0.8t. Selanjutnya, kami menemukannya di t \u003d 8, kami mendapatkan bahwa laju perubahan kekuatan saat ini adalah 6,4 A / c. Di sini dianggap bahwaarus diukur dalam ampere, dan waktu, masing-masing, dalam detik.
Semuanya berubah
Dunia sekitarnya yang terlihat, terdiri dari materi, terus mengalami perubahan, bergerak dari berbagai proses yang terjadi di dalamnya. Berbagai parameter dapat digunakan untuk menggambarkannya. Jika mereka disatukan oleh ketergantungan, maka mereka secara matematis ditulis sebagai fungsi yang dengan jelas menunjukkan perubahannya. Dan di mana ada gerakan (dalam bentuk apa pun itu diekspresikan), ada juga turunannya, yang makna fisiknya sedang kita pertimbangkan saat ini.
Pada kesempatan kali ini, berikut contohnya. Misalkan suhu tubuh berubah menurut hukum T=0, 2 t 2. Anda harus menemukan laju pemanasannya pada akhir detik ke-10. Masalahnya diselesaikan dengan cara yang mirip dengan yang dijelaskan dalam kasus sebelumnya. Artinya, kami menemukan turunannya dan mengganti nilai t \u003d 10 ke dalamnya, kami mendapatkan T \u003d 0, 4 t \u003d 4. Ini berarti bahwa jawaban akhirnya adalah 4 derajat per detik, yaitu proses pemanasan dan perubahan suhu, diukur dalam derajat, terjadi tepat dengan kecepatan seperti itu.
Memecahkan masalah praktis
Tentu saja, dalam kehidupan nyata semuanya jauh lebih rumit daripada dalam masalah teoretis. Dalam prakteknya, nilai besaran biasanya ditentukan selama percobaan. Dalam hal ini digunakan instrumen yang memberikan pembacaan selama pengukuran dengan kesalahan tertentu. Oleh karena itu, dalam perhitungan, kita harus berurusan dengan nilai perkiraan parameter dan menggunakan pembulatan angka yang tidak nyaman,serta penyederhanaan lainnya. Setelah mempertimbangkan hal ini, kita akan kembali melanjutkan ke masalah makna fisis dari turunan, mengingat bahwa mereka hanyalah sejenis model matematis dari proses paling kompleks yang terjadi di alam.
Letusan Gunung Berapi
Mari kita bayangkan gunung berapi meletus. Seberapa berbahaya dia? Untuk menjawab pertanyaan ini, banyak faktor yang perlu dipertimbangkan. Kami akan mencoba mengakomodasi salah satunya.
Dari mulut "monster api" batu dilempar vertikal ke atas, memiliki kecepatan awal dari saat mereka keluar ke luar 120 m/s. Hal ini diperlukan untuk menghitung apa yang mereka dapat mencapai ketinggian maksimum.
Untuk menemukan nilai yang diinginkan, kami akan membuat persamaan untuk ketergantungan tinggi H, diukur dalam meter, pada nilai lain. Ini termasuk kecepatan awal dan waktu. Nilai percepatan dianggap diketahui dan kira-kira sama dengan 10 m/s2.
Turunan parsial
Sekarang mari kita perhatikan arti fisis turunan suatu fungsi dari sudut yang sedikit berbeda, karena persamaan itu sendiri tidak dapat berisi satu, tetapi beberapa variabel. Sebagai contoh, pada soal sebelumnya, ketergantungan ketinggian batu yang dikeluarkan dari lubang gunung berapi ditentukan tidak hanya oleh perubahan karakteristik waktu, tetapi juga oleh nilai kecepatan awal. Yang terakhir ini dianggap konstan, nilai tetap. Tetapi dalam tugas lain dengan kondisi yang sama sekali berbeda, semuanya bisa berbeda. Jika jumlah di mana kompleksfungsi, beberapa, perhitungan dibuat sesuai dengan rumus di bawah ini.
Arti fisik dari turunan yang sering harus ditentukan seperti dalam kasus biasa. Ini adalah tingkat di mana fungsi berubah pada beberapa titik tertentu ketika parameter variabel meningkat. Itu dihitung sedemikian rupa sehingga semua komponen lain dianggap sebagai konstanta, hanya satu yang dianggap sebagai variabel. Kemudian semuanya terjadi sesuai aturan biasa.
Penasihat yang sangat diperlukan dalam banyak masalah
Memahami arti fisis turunan, tidaklah sulit untuk memberikan contoh pemecahan masalah yang rumit dan kompleks, yang jawabannya dapat ditemukan dengan pengetahuan tersebut. Jika kita memiliki fungsi yang menggambarkan konsumsi bahan bakar tergantung pada kecepatan mobil, kita dapat menghitung pada parameter apa yang terakhir konsumsi bensin akan paling sedikit.
Dalam pengobatan, Anda dapat memprediksi bagaimana tubuh manusia akan bereaksi terhadap obat yang diresepkan oleh dokter. Mengambil obat mempengaruhi berbagai parameter fisiologis. Ini termasuk perubahan tekanan darah, detak jantung, suhu tubuh, dan banyak lagi. Semuanya tergantung dari dosis obat yang diminum. Perhitungan ini membantu untuk memprediksi jalannya pengobatan, baik dalam manifestasi yang menguntungkan maupun dalam kecelakaan yang tidak diinginkan yang secara fatal dapat mempengaruhi perubahan pada tubuh pasien.
Tidak diragukan lagi, penting untuk memahami arti fisik dari turunan secara teknismasalah, khususnya di bidang teknik listrik, elektronik, desain dan konstruksi.
Jarak pengereman
Mari kita pertimbangkan masalah selanjutnya. Bergerak dengan kecepatan konstan, mobil, mendekati jembatan, harus melambat 10 detik sebelum masuk, karena pengemudi melihat tanda jalan yang melarang pergerakan dengan kecepatan lebih dari 36 km/jam. Apakah pengemudi melanggar aturan jika jarak pengereman dapat dijelaskan dengan rumus S=26t - t2?
Menghitung turunan pertama, kami menemukan rumus untuk kecepatan, kami mendapatkan v=28 – 2t. Selanjutnya, substitusikan nilai t=10 ke dalam ekspresi yang ditentukan.
Karena nilai ini dinyatakan dalam detik, kecepatannya adalah 8 m/s, yang berarti 28,8 km/jam. Hal ini memungkinkan untuk memahami bahwa pengemudi mulai memperlambat waktu dan tidak melanggar peraturan lalu lintas, dan karenanya batas yang ditunjukkan pada rambu kecepatan.
Ini membuktikan pentingnya arti fisis dari turunan. Contoh pemecahan masalah ini menunjukkan luasnya penggunaan konsep ini di berbagai bidang kehidupan. Termasuk dalam situasi sehari-hari.
Derivatif dalam ilmu ekonomi
Hingga abad ke-19, sebagian besar ekonom beroperasi secara rata-rata, baik itu produktivitas tenaga kerja atau harga output. Tetapi dari beberapa titik, nilai pembatas menjadi lebih penting untuk membuat ramalan yang efektif di area ini. Ini termasuk utilitas marjinal, pendapatan atau biaya. Memahami hal ini memberi dorongan pada penciptaan alat yang sama sekali baru dalam penelitian ekonomi,yang telah ada dan berkembang selama lebih dari seratus tahun.
Untuk membuat perhitungan seperti itu, di mana konsep-konsep seperti minimum dan maksimum mendominasi, hanya perlu memahami arti geometris dan fisik dari turunan. Di antara pencipta dasar teoretis disiplin ilmu ini, orang dapat menyebut ekonom Inggris dan Austria terkemuka seperti Jevons AS, K. Menger, dan lainnya. Tentu saja, nilai batas dalam perhitungan ekonomi tidak selalu nyaman digunakan. Dan, misalnya, laporan triwulanan tidak selalu sesuai dengan skema yang ada, namun penerapan teori semacam itu dalam banyak kasus berguna dan efektif.
