Luas kerucut yang terpotong. Rumus dan contoh soal

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2023-12-17 05:30

Angka-angka revolusi dalam geometri mendapat perhatian khusus ketika mempelajari karakteristik dan sifat-sifatnya. Salah satunya adalah kerucut terpotong. Artikel ini bertujuan untuk menjawab pertanyaan tentang rumus apa yang dapat digunakan untuk menghitung luas kerucut yang terpotong.

Angka yang kita bicarakan?

Sebelum menjelaskan luas kerucut terpotong, perlu untuk memberikan definisi geometris yang tepat dari gambar ini. Terpotong adalah kerucut seperti itu, yang diperoleh sebagai hasil dari pemotongan puncak kerucut biasa oleh sebuah pesawat. Dalam definisi ini, sejumlah nuansa harus ditekankan. Pertama, bidang penampang harus sejajar dengan bidang alas kerucut. Kedua, sosok aslinya harus berbentuk kerucut melingkar. Tentu saja, itu bisa berupa figur elips, hiperbolik, dan jenis lainnya, tetapi dalam artikel ini kita akan membatasi diri untuk hanya mempertimbangkan kerucut melingkar. Yang terakhir ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Mudah ditebak bahwa itu dapat diperoleh tidak hanya dengan bantuan bagian oleh pesawat, tetapi juga dengan bantuan operasi rotasi. UntukUntuk melakukan ini, Anda perlu mengambil trapesium yang memiliki dua sudut siku-siku dan memutarnya di sekitar sisi yang berdekatan dengan sudut siku-siku ini. Akibatnya, alas trapesium akan menjadi jari-jari alas kerucut yang terpotong, dan sisi miring lateral trapesium akan menggambarkan permukaan kerucut.

Pengembangan bentuk

Mempertimbangkan luas permukaan kerucut terpotong, berguna untuk membawa perkembangannya, yaitu gambar permukaan bangun datar tiga dimensi. Di bawah ini adalah pemindaian gambar yang dipelajari dengan parameter arbitrer.

Dapat dilihat bahwa luas gambar dibentuk oleh tiga komponen: dua lingkaran dan satu segmen lingkaran terpotong. Jelasnya, untuk menentukan luas yang diperlukan, perlu menjumlahkan luas semua gambar yang disebutkan. Mari kita selesaikan masalah ini di paragraf berikutnya.

Area kerucut terpotong

Untuk memudahkan memahami alasan berikut, kami memperkenalkan notasi berikut:

• r1, r2 - jari-jari masing-masing basis besar dan kecil;
• h - tinggi gambar;
• g - generatrix kerucut (panjang sisi miring trapesium).

Luas alas kerucut yang terpotong mudah dihitung. Mari kita tulis ekspresi yang sesuai:

S_o1=pir₁²;

S_o2=pir₂².

Luas bagian dari segmen lingkaran agak lebih sulit untuk ditentukan. Jika kita membayangkan bahwa pusat sektor melingkar ini tidak dipotong, maka jari-jarinya akan sama dengan nilai G. Tidak sulit untuk menghitungnya jika kita mempertimbangkan yang sesuaisegitiga kerucut siku-siku yang serupa. Sama dengan:

G=r₁g/(r₁-r₂).

Maka luas seluruh sektor lingkaran, yang dibangun pada jari-jari G dan yang bergantung pada busur dengan panjang 2pir₁, akan sama ke:

S₁=pir₁G=pir₁ 2^g/(r1_-r2_).

Sekarang mari kita tentukan luas sektor lingkaran kecil S₂, yang perlu dikurangi dari S₁. Sama dengan:

S₂=pir₂(G - g)=pir_{2 (r}1_g/(r1_-r2_{) - g)=pir}22^g/(r1_-r2 _).

Luas permukaan terpotong berbentuk kerucut S_bsama dengan selisih antara S₁ dan S ₂. Kami mendapatkan:

S_b=S₁- S₂=pir ₁²g/(r₁-r₂) - pi r₂²g/(r₁-r_2)=pig(r1_+r2_).

Meskipun beberapa perhitungan rumit, kami mendapatkan ekspresi yang cukup sederhana untuk luas permukaan samping gambar.

Menambahkan luas alas dan S_b, kita sampai pada rumus luas kerucut terpotong:

S=S_o1+ S_o2+ S_b=pir 12 ^{+ pir}22 ^{+ pig (r}1_+r2_).

Jadi, untuk menghitung nilai S dari gambar yang dipelajari, Anda perlu mengetahui tiga parameter liniernya.

Contoh soal

Kerucut lurus melingkardengan jari-jari 10 cm dan tinggi 15 cm dipotong oleh sebuah bidang sehingga diperoleh kerucut terpotong beraturan. Diketahui jarak antara alas bangun yang terpotong adalah 10 cm, maka perlu dicari luas permukaannya.

Untuk menggunakan rumus luas kerucut terpotong, Anda perlu menemukan tiga parameternya. Yang kita tahu:

r₁=10 cm.

Dua lainnya mudah dihitung jika kita mempertimbangkan segitiga siku-siku yang serupa, yang diperoleh sebagai hasil dari bagian aksial kerucut. Dengan mempertimbangkan kondisi masalah, kita mendapatkan:

r₂=105/15=3,33 cm.

Akhirnya, panduan dari kerucut g yang terpotong adalah:

g=(10²+ (r₁-r₂) 2^{)=12,02 cm.}

Sekarang Anda dapat mengganti nilai r₁, r₂ dan g ke dalam rumus S:

S=pir₁²+ pir₂ 2^{+ pig(r}1_+r2_{)=851,93 cm} 2.

Luas permukaan gambar yang diinginkan adalah sekitar 852 cm².