Salah satu bangun yang muncul saat menyelesaikan masalah geometris dalam ruang adalah kerucut. Itu, tidak seperti polyhedra, termasuk dalam kelas figur rotasi. Mari kita pertimbangkan dalam artikel apa yang dimaksud dengan geometri, dan jelajahi karakteristik berbagai bagian kerucut.
Kerucut dalam geometri
Asumsikan bahwa ada beberapa kurva di pesawat. Bisa berbentuk parabola, lingkaran, elips, dan sebagainya. Ambil satu titik yang bukan termasuk bidang yang ditentukan, dan hubungkan semua titik kurva ke sana. Permukaan yang dihasilkan disebut kerucut atau hanya kerucut.
Jika kurva aslinya tertutup, maka permukaan kerucut dapat diisi dengan materi. Sosok yang diperoleh dengan cara ini adalah tubuh tiga dimensi. Itu juga disebut kerucut. Beberapa kerucut kertas ditunjukkan di bawah ini.
Permukaan kerucut ditemukan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, kerucut es krim atau kerucut lalu lintas bergaris memiliki bentuk ini, yang dirancang untuk menarik perhatian pengemudi danpejalan kaki.
Jenis kerucut
Seperti yang Anda duga, angka-angka yang dipertimbangkan berbeda satu sama lain berdasarkan jenis kurva di mana mereka terbentuk. Misalnya, ada kerucut bulat atau elips. Kurva ini disebut alas gambar. Namun, bentuk alas bukanlah satu-satunya fitur yang memungkinkan klasifikasi kerucut.
Karakteristik penting kedua adalah posisi ketinggian relatif terhadap alas. Ketinggian kerucut adalah segmen garis lurus, yang diturunkan dari atas gambar ke bidang alas dan tegak lurus terhadap bidang ini. Jika ketinggian memotong alas di pusat geometris (misalnya, di tengah lingkaran), maka kerucut akan lurus, jika segmen tegak lurus jatuh ke titik lain dari alas atau di luarnya, maka gambar akan menjadi miring.
Selanjutnya dalam artikel kami hanya akan mempertimbangkan kerucut lurus bulat sebagai perwakilan terang dari kelas gambar yang dipertimbangkan.
Nama geometris elemen kerucut
Dikatakan di atas bahwa kerucut memiliki alas. Itu dibatasi oleh lingkaran, yang disebut pemandu kerucut. Segmen yang menghubungkan pemandu ke titik yang tidak terletak pada bidang alas disebut generator. Himpunan semua titik generator disebut permukaan kerucut atau lateral gambar. Untuk kerucut bulat kanan, semua generator memiliki panjang yang sama.
Titik di mana generator berpotongan disebut bagian atas gambar. Tidak seperti polihedra, kerucut memiliki satu simpul dan tidak adatepi.
Sebuah garis lurus yang melalui bagian atas gambar dan pusat lingkaran disebut sumbu. Sumbunya memuat tinggi kerucut lurus, sehingga membentuk sudut siku-siku dengan bidang alasnya. Informasi ini penting ketika menghitung luas bagian aksial kerucut.
Kerucut lurus bulat - angka rotasi
Kerucut yang dipertimbangkan adalah sosok yang cukup simetris, yang dapat diperoleh sebagai hasil dari rotasi segitiga. Misalkan kita memiliki segitiga dengan sudut siku-siku. Untuk mendapatkan kerucut, cukup dengan memutar segitiga tersebut pada salah satu kakinya seperti pada gambar di bawah ini.
Dapat dilihat bahwa sumbu rotasi adalah sumbu kerucut. Salah satu kaki akan sama dengan tinggi gambar, dan kaki kedua akan menjadi jari-jari alas. Hipotenusa segitiga sebagai hasil rotasi akan menggambarkan permukaan kerucut. Ini akan menjadi generatrix kerucut.
Metode memperoleh kerucut lurus bulat ini mudah digunakan untuk mempelajari hubungan matematis antara parameter linier dari gambar: tinggi h, jari-jari alas bulat r dan pemandu g. Rumus yang sesuai mengikuti dari sifat-sifat segitiga siku-siku. Ini tercantum di bawah ini:
g2=h2+ r2.
Karena kita memiliki satu persamaan dan tiga variabel, ini berarti bahwa untuk menetapkan parameter kerucut bulat secara unik, Anda perlu mengetahui dua kuantitas apa pun.
Bagian kerucut oleh bidang yang tidak mengandung titik sudut gambar
Pertanyaan menyusun bagian-bagian suatu bangun bukanlahremeh. Faktanya adalah bahwa bentuk bagian kerucut dengan permukaan tergantung pada posisi relatif gambar dan garis potong.
Asumsikan kita memotong kerucut dengan bidang. Apa yang akan menjadi hasil dari operasi geometris ini? Opsi bentuk bagian ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
Bagian merah muda adalah lingkaran. Itu terbentuk sebagai hasil dari perpotongan gambar dengan bidang yang sejajar dengan alas kerucut. Ini adalah bagian yang tegak lurus terhadap sumbu gambar. Gambar yang terbentuk di atas bidang potong adalah kerucut yang mirip dengan aslinya, tetapi memiliki lingkaran yang lebih kecil di bagian dasarnya.
Bagian hijau berbentuk elips. Ini diperoleh jika bidang potong tidak sejajar dengan alas, tetapi hanya memotong permukaan lateral kerucut. Sebuah sosok yang terpotong di atas bidang disebut kerucut miring elips.
Bagian biru dan oranye berturut-turut adalah parabola dan hiperbolik. Seperti yang Anda lihat dari gambar, mereka diperoleh jika bidang potong secara bersamaan memotong permukaan samping dan dasar gambar.
Untuk menentukan luas bagian kerucut yang dipertimbangkan, perlu menggunakan rumus untuk gambar yang sesuai di pesawat. Misalnya, untuk lingkaran, ini adalah angka Pi dikalikan dengan kuadrat jari-jari, dan untuk elips, ini adalah produk dari Pi dan panjang sumbu minor dan mayor:
lingkaran: S=pir2;
elips: S=piab.
Bagian yang berisi bagian atas kerucut
Sekarang pertimbangkan opsi untuk bagian yang muncul jika bidang potongnyamelewati bagian atas kerucut. Tiga kasus yang mungkin:
- Bagian adalah satu titik. Misalnya, sebuah bidang yang melalui titik dan sejajar dengan alas memberikan bagian seperti itu.
- Bagian itu adalah garis lurus. Situasi ini terjadi ketika bidang bersinggungan dengan permukaan kerucut. Garis lurus bagian dalam hal ini akan menjadi generatrix kerucut.
- Bagian aksial. Itu terbentuk ketika pesawat tidak hanya berisi bagian atas gambar, tetapi juga seluruh sumbunya. Dalam hal ini, bidang akan tegak lurus dengan alas bulat dan akan membagi kerucut menjadi dua bagian yang sama.
Jelas, luas dua jenis bagian pertama sama dengan nol. Adapun luas penampang kerucut untuk tipe ke-3, masalah ini dibahas lebih rinci di paragraf berikutnya.
Bagian aksial
Telah dicatat di atas bahwa bagian aksial kerucut adalah gambar yang terbentuk ketika kerucut berpotongan dengan bidang yang melewati sumbunya. Mudah ditebak bahwa bagian ini akan mewakili gambar yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
Ini adalah segitiga sama kaki. Titik puncak bagian aksial kerucut adalah titik sudut segitiga ini, yang dibentuk oleh perpotongan sisi-sisi yang identik. Yang terakhir sama dengan panjang generatrix kerucut. Alas segitiga adalah diameter alas kerucut.
Menghitung luas bagian aksial kerucut direduksi menjadi mencari luas segitiga yang dihasilkan. Jika jari-jari alas r dan tinggi kerucut h awalnya diketahui, maka luas S bagian yang ditinjau adalah:
S=hr.
Iniekspresi adalah konsekuensi dari penerapan rumus standar untuk luas segitiga (setengah hasil kali tinggi kali alas).
Perhatikan bahwa jika generatrix kerucut sama dengan diameter alasnya yang bundar, maka bagian aksial kerucut adalah segitiga sama sisi.
Bagian segitiga terbentuk ketika bidang potong tegak lurus dengan alas kerucut dan melewati sumbunya. Setiap bidang lain yang sejajar dengan yang disebutkan akan memberikan hiperbola di bagian. Namun, jika bidang tersebut memuat titik puncak kerucut dan memotong alasnya tidak melalui diameter, maka bagian yang dihasilkan juga merupakan segitiga sama kaki.
Masalah menentukan parameter linier kerucut
Mari kita tunjukkan cara menggunakan rumus yang ditulis untuk luas penampang aksial untuk menyelesaikan masalah geometris.
Diketahui luas penampang kerucut adalah 100 cm2. Segitiga yang dihasilkan adalah segitiga sama sisi. Berapakah tinggi kerucut dan jari-jari alasnya?
Karena segitiga sama sisi, tingginya h berhubungan dengan panjang sisi a sebagai berikut:
h=3/2a.
Mengingat bahwa sisi segitiga adalah dua kali jari-jari alas kerucut, dan mensubstitusi ekspresi ini ke dalam rumus untuk luas penampang, kita mendapatkan:
S=hr=3/22rr=>
r=(S/√3).
Maka tinggi kerucut adalah:
h=3/22r=3√(S/√3)=(√3S).
Tetap mensubstitusi nilai luas dari kondisi soaldan dapatkan jawabannya:
r=(100/√3) 7,60 cm;
h=(√3100) 13, 16 cm.
Di bidang apa yang penting untuk mengetahui parameter bagian yang dipertimbangkan?
Studi tentang berbagai jenis penampang kerucut tidak hanya menarik secara teoritis, tetapi juga memiliki aplikasi praktis.
Pertama, perlu diperhatikan bidang aerodinamika, di mana dengan bantuan irisan kerucut dimungkinkan untuk membuat bentuk benda padat yang ideal dan halus.
Kedua, bagian kerucut adalah lintasan di mana benda-benda angkasa bergerak dalam medan gravitasi. Jenis bagian spesifik apa yang mewakili lintasan pergerakan benda-benda kosmik sistem ditentukan oleh rasio massa, kecepatan absolut, dan jarak di antara mereka.
