Kemampuan menghitung volume bangun ruang penting dalam memecahkan sejumlah masalah praktis dalam geometri. Salah satu bentuk yang paling umum adalah piramida. Pada artikel ini, kita akan membahas rumus volume piramida, baik penuh maupun terpotong.
Piramida sebagai sosok tiga dimensi
Semua orang tahu tentang piramida Mesir, jadi mereka memiliki ide bagus tentang sosok apa yang akan dibahas. Namun, struktur batu Mesir hanyalah kasus khusus dari kelas piramida yang sangat besar.
Objek geometris yang dipertimbangkan dalam kasus umum adalah alas poligonal, yang setiap simpulnya terhubung ke beberapa titik dalam ruang yang bukan milik bidang alas. Definisi ini mengarah ke sosok yang terdiri dari satu n-gon dan n segitiga.
Setiap piramida terdiri dari n+1 sisi, 2n sisi, dan n+1 simpul. Karena gambar yang dipertimbangkan adalah polihedron sempurna, jumlah elemen bertanda mematuhi persamaan Euler:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Poligon di dasar memberi nama piramida,misalnya segitiga, segi lima, dan sebagainya. Seperangkat piramida dengan alas yang berbeda ditunjukkan pada foto di bawah ini.
Titik di mana n segitiga pada gambar terhubung disebut puncak piramida. Jika tegak lurus diturunkan darinya ke alas dan memotongnya di pusat geometris, maka gambar seperti itu akan disebut garis lurus. Jika kondisi ini tidak terpenuhi, maka ada piramida miring.
Bentuk lurus yang alasnya dibentuk oleh n-gon sama sisi disebut beraturan.
rumus volume piramida
Untuk menghitung volume piramida, kami menggunakan kalkulus integral. Untuk melakukan ini, kami membagi gambar dengan bidang garis potong yang sejajar dengan alas menjadi lapisan tipis dalam jumlah tak terbatas. Gambar di bawah menunjukkan piramida segi empat dengan tinggi h dan panjang sisi L, di mana lapisan tipis bagian ditandai dengan segi empat.
Luas setiap lapisan tersebut dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Disini A0 adalah luas alas, z adalah nilai koordinat vertikal. Terlihat bahwa jika z=0, maka rumus memberikan nilai A0.
Untuk mendapatkan rumus volume piramida, Anda harus menghitung integral dari seluruh tinggi gambar, yaitu:
V=h0(A(z)dz).
Mengganti ketergantungan A(z) dan menghitung antiturunan, kita sampai pada ekspresi:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Kami mendapatkan rumus untuk volume piramida. Untuk menemukan nilai V, cukup dengan mengalikan tinggi gambar dengan luas alas, lalu membagi hasilnya dengan tiga.
Perhatikan bahwa ekspresi yang dihasilkan valid untuk menghitung volume piramida dengan tipe arbitrer. Artinya, ia dapat dimiringkan, dan alasnya dapat berupa n-gon sewenang-wenang.
Piramida yang benar dan volumenya
Rumus umum volume yang diperoleh pada paragraf di atas dapat disempurnakan dalam kasus piramida dengan alas yang benar. Luas alas seperti itu dihitung menggunakan rumus berikut:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Di sini L adalah panjang sisi poligon beraturan dengan n simpul. Simbol pi adalah angka pi.
Mengganti ekspresi untuk A0 ke dalam rumus umum, kita mendapatkan volume piramida biasa:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Misalnya, untuk piramida segitiga, rumus ini menghasilkan ekspresi berikut:
V3=3/12L2hctg(60o)=3/12L2h.
Untuk piramida segi empat biasa, rumus volume menjadi:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Menentukan volume piramida biasa membutuhkan mengetahui sisi alasnya dan tinggi bangunnya.
Piramida terpotong
Misalkan kita mengambilpiramida sewenang-wenang dan memotong bagian dari permukaan lateral yang berisi bagian atas. Sosok yang tersisa disebut piramida terpotong. Ini sudah terdiri dari dua n-gonal basis dan n trapesium yang menghubungkan mereka. Jika bidang pemotongan sejajar dengan alas gambar, maka piramida terpotong dibentuk dengan alas serupa yang sejajar. Artinya, panjang sisi salah satunya dapat diperoleh dengan mengalikan panjang sisi lainnya dengan beberapa koefisien k.
Gambar di atas menunjukkan piramida heksagonal beraturan yang terpotong. Dapat dilihat bahwa alas atasnya, seperti alas bawah, dibentuk oleh segi enam beraturan.
Rumus volume piramida terpotong, yang dapat diturunkan menggunakan kalkulus integral yang serupa dengan yang diberikan, adalah:
V=1/3h(A0+ A1+ (A0 A1)).
Dimana A0 dan A1 masing-masing adalah luas alas bawah (besar) dan atas (kecil). Variabel h adalah ketinggian piramida terpotong.
Volume piramida Cheops
Menarik untuk memecahkan masalah menentukan volume yang berisi piramida Mesir terbesar di dalamnya.
Pada tahun 1984, ahli Mesir Kuno Inggris Mark Lehner dan Jon Goodman menetapkan dimensi yang tepat dari piramida Cheops. Ketinggian aslinya adalah 146,50 meter (saat ini sekitar 137 meter). Panjang rata-rata masing-masing dari empat sisi struktur adalah 230,363 meter. Dasar piramida berbentuk bujur sangkar dengan akurasi tinggi.
Mari kita gunakan angka-angka yang diberikan untuk menentukan volume batu raksasa ini. Karena piramida adalah segi empat biasa, maka rumusnya berlaku untuk itu:
V4=1/3L2h.
Ganti angkanya, kita dapatkan:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 2591444 m 3.
Volume piramida Cheops hampir 2,6 juta m3. Sebagai perbandingan, kami mencatat bahwa kolam Olimpiade memiliki volume 2,5 ribu m3. Artinya, untuk mengisi seluruh piramida Cheops, dibutuhkan lebih dari 1000 pool ini!
