Permukaan lateral kerucut beraturan dan terpotong. Rumus dan contoh penyelesaiannya

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2023-12-17 05:30

Saat mempertimbangkan bangun ruang, masalah sering muncul dalam menentukan luas permukaannya. Salah satu sosok tersebut adalah kerucut. Pertimbangkan dalam artikel apa permukaan sisi kerucut dengan alas bulat, serta kerucut terpotong.

Kerucut dengan alas bulat

Sebelum melanjutkan ke pembahasan permukaan lateral kerucut, kita akan menunjukkan jenis bangun apa itu dan bagaimana mendapatkannya menggunakan metode geometris.

Ambil segitiga siku-siku ABC, di mana AB dan AC adalah kaki. Mari kita letakkan segitiga ini pada kaki AC dan putar di sekitar kaki AB. Akibatnya, sisi AC dan BC menggambarkan dua permukaan dari gambar di bawah ini.

Angka yang diperoleh dengan rotasi disebut kerucut lurus bulat. Bulat karena alasnya lingkaran, dan lurus karena garis tegak lurus yang ditarik dari atas gambar (titik B) memotong lingkaran di pusatnya. Panjang tegak lurus ini disebut tinggi. Jelas, itu sama dengan kaki AB. Tinggi badan biasanya dilambangkan dengan huruf h.

Selain ketinggian, kerucut yang dipertimbangkan dijelaskan oleh dua karakteristik linier lagi:

• generating, atau generatrix (sisi miring SM);
• jari-jari alas (kaki AC).

Jari-jari akan dilambangkan dengan huruf r, dan generatoratrix dilambangkan dengan g. Kemudian, dengan memperhatikan teorema Pythagoras, kita dapat menuliskan persamaan penting untuk gambar yang dipertimbangkan:

g²=h²+ r²

Permukaan kerucut

Totalitas semua generatris membentuk permukaan kerucut atau lateral kerucut. Dalam penampilan, sulit untuk membedakan sosok datar mana yang sesuai dengannya. Yang terakhir ini penting untuk diketahui saat menentukan luas permukaan kerucut. Untuk mengatasi masalah ini digunakan metode sapuan. Ini terdiri dari yang berikut: permukaan secara mental dipotong sepanjang generatrix sewenang-wenang, dan kemudian dibuka di pesawat. Dengan metode mendapatkan sapuan ini, bangun datar berikut terbentuk.

Seperti yang Anda duga, lingkaran sesuai dengan alas, tetapi sektor lingkaran adalah permukaan kerucut, area yang kita minati. Sektor ini dibatasi oleh dua generasi dan busur. Panjang yang terakhir persis sama dengan keliling (panjang) keliling alas. Karakteristik ini secara unik menentukan semua properti sektor melingkar. Kami tidak akan memberikan perhitungan matematis menengah, tetapi segera tuliskan rumus akhir, yang dengannya Anda dapat menghitung luas permukaan lateral kerucut. Rumusnya adalah:

S_b=pigr

Luas permukaan kerucut S_bsama dengan produk dua parameter dan Pi.

Kerucut terpotong dan permukaannya

Jika kita mengambil kerucut biasa dan memotong bagian atasnya dengan bidang sejajar, gambar yang tersisa akan menjadi kerucut terpotong. Permukaan lateralnya dibatasi oleh dua alas bundar. Mari kita nyatakan jari-jarinya sebagai R dan r. Kami menyatakan ketinggian gambar dengan h, dan generatrix dengan g. Di bawah ini adalah potongan kertas untuk gambar ini.

Dapat dilihat bahwa permukaan samping tidak lagi berbentuk lingkaran, tetapi luasnya lebih kecil, karena bagian tengahnya terputus. Pengembangannya terbatas pada empat garis, dua di antaranya adalah generator segmen garis lurus, dua lainnya adalah busur dengan panjang lingkaran yang sesuai dari pangkal kerucut terpotong.

Permukaan samping S_bdihitung sebagai berikut:

S_b=pig(r + R)

Generatrix, jari-jari dan tinggi dihubungkan oleh persamaan berikut:

g²=h²+ (R - r)²

Masalah persamaan luas bangun-bangun

Diberikan sebuah kerucut dengan tinggi 20 cm dan jari-jari alas 8 cm. Diperlukan untuk menemukan tinggi kerucut yang terpotong yang permukaan lateralnya memiliki luas yang sama dengan kerucut ini. Sosok terpotong dibangun di atas alas yang sama, dan jari-jari alas atas adalah 3 cm.

Pertama-tama, mari kita tuliskan kondisi persamaan luas kerucut dan bangun yang terpotong. Kami memiliki:

S_b1=S_b2=>

pig₁R=pig₂(r + R)

Sekarang mari kita tulis ekspresi untuk setiap generasi dari setiap bentuk:

g₁=(R²+ h₁²);

g₂=((R-r)² + h₂ ²)

Substitusikan g₁ dan g₂ ke dalam rumus luas yang sama dan kuadratkan ruas kiri dan kanannya, kita peroleh:

R²(R²+ h₁²)=((R-r)²+ h₂²)(r + R)²

Di mana kita mendapatkan ekspresi untuk h₂:

h₂=(R²(R²+ h 12^{)/(r + R)}2^{- (R - r)}2 ⁾

Kami tidak akan menyederhanakan persamaan ini, tetapi hanya mengganti data yang diketahui dari kondisi:

h₂=(8²(8²+ 202^{)/(3 + 8)}2^{- (8 - 3)}2^{) 14,85 cm}

Jadi, untuk menyamakan luas permukaan sisi gambar, kerucut yang terpotong harus memiliki parameter: R=8 cm, r=3 cm, h₂14, 85 cm.