Sistem mekanis yang terdiri dari titik material (benda) yang tergantung pada benang tanpa bobot yang tidak dapat diperpanjang (massanya dapat diabaikan dibandingkan dengan berat benda) dalam medan gravitasi seragam disebut bandul matematika (nama lain adalah bandul matematis). sebuah osilator). Ada jenis lain dari perangkat ini. Alih-alih benang, batang tanpa bobot dapat digunakan. Pendulum matematika dapat dengan jelas mengungkapkan esensi dari banyak fenomena menarik. Dengan amplitudo osilasi kecil, gerakannya disebut harmonik.
Ikhtisar sistem mekanis
Rumus periode osilasi bandul ini diturunkan oleh ilmuwan Belanda Huygens (1629-1695). Orang sezaman dengan I. Newton ini sangat menyukai sistem mekanis ini. Pada tahun 1656 ia menciptakan jam pendulum pertama. Mereka mengukur waktu dengan luar biasauntuk akurasi waktu itu. Penemuan ini telah menjadi tonggak utama dalam pengembangan eksperimen fisik dan kegiatan praktis.
Jika bandul dalam keadaan setimbang (menggantung vertikal), maka gaya gravitasi akan seimbang dengan gaya tarik benang. Bandul datar pada utas yang tidak dapat diperpanjang adalah sistem dengan dua derajat kebebasan dengan koneksi. Ketika Anda mengubah hanya satu komponen, karakteristik semua bagiannya berubah. Jadi, jika ulir diganti dengan batang, maka sistem mekanis ini hanya akan memiliki 1 derajat kebebasan. Apa saja sifat-sifat bandul matematika? Dalam sistem yang paling sederhana ini, kekacauan muncul di bawah pengaruh gangguan periodik. Dalam kasus ketika titik suspensi tidak bergerak, tetapi berosilasi, bandul memiliki posisi kesetimbangan baru. Dengan osilasi naik dan turun yang cepat, sistem mekanis ini memperoleh posisi terbalik yang stabil. Dia juga memiliki namanya sendiri. Itu disebut bandul Kapitza.
Properti pendulum
Pendulum matematika memiliki sifat yang sangat menarik. Semuanya dikonfirmasi oleh hukum fisika yang diketahui. Periode osilasi bandul lain tergantung pada berbagai keadaan, seperti ukuran dan bentuk tubuh, jarak antara titik suspensi dan pusat gravitasi, distribusi massa relatif terhadap titik ini. Itulah sebabnya menentukan periode tubuh yang digantung adalah tugas yang agak sulit. Jauh lebih mudah untuk menghitung periode bandul matematika, yang rumusnya akan diberikan di bawah ini. Sebagai hasil dari pengamatan serupasistem mekanis dapat membentuk pola berikut:
• Jika, sambil mempertahankan panjang bandul yang sama, kita menggantungkan beban yang berbeda, maka periode osilasi mereka akan sama, meskipun massanya akan sangat bervariasi. Oleh karena itu, periode bandul tersebut tidak bergantung pada massa beban.
• Saat memulai sistem, jika bandul dibelokkan dengan sudut yang tidak terlalu besar, tetapi berbeda, maka bandul akan mulai berosilasi dengan periode yang sama, tetapi dengan amplitudo yang berbeda. Selama penyimpangan dari pusat kesetimbangan tidak terlalu besar, osilasi dalam bentuknya akan cukup dekat dengan harmonik. Periode bandul seperti itu tidak bergantung pada amplitudo osilasi dengan cara apa pun. Sifat sistem mekanis ini disebut isokronisme (diterjemahkan dari bahasa Yunani "chronos" - waktu, "isos" - sama).
Periode bandul matematika
Indikator ini mewakili periode osilasi alami. Meskipun kata-katanya rumit, prosesnya sendiri sangat sederhana. Jika panjang utas bandul matematis adalah L, dan percepatan jatuh bebas adalah g, maka nilainya adalah:
T=2π√L/g
Periode osilasi alami kecil sama sekali tidak bergantung pada massa bandul dan amplitudo osilasi. Dalam hal ini, bandul bergerak seperti bandul matematika dengan panjang yang diperkecil.
Ayunan bandul matematika
Sebuah bandul matematika berosilasi, yang dapat dijelaskan dengan persamaan diferensial sederhana:
x + 2 sin x=0, di mana x (t) adalah fungsi yang tidak diketahui (ini adalah sudut deviasi dari bawahposisi kesetimbangan pada waktu t, dinyatakan dalam radian); adalah konstanta positif, yang ditentukan dari parameter bandul (ω=g/L, di mana g adalah percepatan jatuh bebas dan L adalah panjang bandul matematis (suspensi).
Persamaan fluktuasi kecil di dekat posisi kesetimbangan (persamaan harmonik) terlihat seperti ini:
x + 2 sin x=0
Gerakan osilasi bandul
Sebuah bandul matematika yang membuat osilasi kecil bergerak sepanjang sinusoida. Persamaan diferensial orde kedua memenuhi semua persyaratan dan parameter dari gerakan semacam itu. Untuk menentukan lintasan, Anda harus menentukan kecepatan dan koordinat, dari mana konstanta independen kemudian ditentukan:
x=Sebuah sin (θ0 + t), di mana 0 adalah fase awal, A adalah amplitudo osilasi, adalah frekuensi siklik yang ditentukan dari persamaan gerak.
Pendulum matematika (rumus untuk amplitudo besar)
Sistem mekanis ini, yang membuat osilasinya dengan amplitudo yang signifikan, mematuhi hukum gerak yang lebih kompleks. Untuk pendulum seperti itu, mereka dihitung dengan rumus:
sin x/2=usn(ωt/u), di mana sn adalah sinus Jacobi, yang untuk u < 1 adalah fungsi periodik, dan untuk u kecil itu bertepatan dengan sinus trigonometri sederhana. Nilai u ditentukan oleh ekspresi berikut:
u=(ε + 2)/2ω2, di mana=E/mL2 (mL2 adalah energi bandul).
Menentukan periode osilasi bandul tak linierdilakukan sesuai dengan rumus:
T=2π/Ω, dimana=/2/2K(u), K adalah integral elips, - 3, 14.
Gerakan bandul sepanjang separatrix
Separatrix adalah lintasan sistem dinamis dengan ruang fase dua dimensi. Pendulum matematika bergerak di sepanjang itu secara non-periodik. Pada saat waktu yang sangat jauh, ia jatuh dari posisi paling atas ke samping dengan kecepatan nol, kemudian secara bertahap mengambilnya. Akhirnya berhenti, kembali ke posisi semula.
Jika amplitudo osilasi bandul mendekati bilangan, hal ini menunjukkan bahwa gerak pada bidang fasa mendekati separatriks. Dalam hal ini, di bawah aksi gaya periodik penggerak kecil, sistem mekanis menunjukkan perilaku kacau.
Ketika bandul matematis menyimpang dari posisi kesetimbangan dengan sudut tertentu, gaya gravitasi tangensial Fτ=–mg sin muncul. Tanda minus berarti komponen tangensial ini berlawanan arah dengan defleksi bandul. Jika perpindahan bandul sepanjang busur lingkaran dengan jari-jari L dilambangkan dengan x, perpindahan sudutnya sama dengan=x/L. Hukum kedua Isaac Newton, dirancang untuk proyeksi vektor percepatan dan gaya, akan memberikan nilai yang diinginkan:
mg=Fτ=–mg sin x/L
Berdasarkan rasio ini, jelas bahwa bandul ini adalah sistem non-linier, karena gaya yang berusaha untuk kembalike posisi setimbang, selalu sebanding bukan dengan perpindahan x, tetapi dengan sin x/L.
Hanya ketika bandul matematika membuat osilasi kecil, itu adalah osilator harmonik. Dengan kata lain, ia menjadi sistem mekanis yang mampu melakukan getaran harmonik. Pendekatan ini secara praktis berlaku untuk sudut 15–20°. Getaran bandul dengan amplitudo besar tidak harmonis.
Hukum Newton untuk getaran kecil bandul
Jika sistem mekanik ini melakukan getaran kecil, hukum ke-2 Newton akan terlihat seperti ini:
mg=Fτ=–m g/L x.
Berdasarkan ini, kita dapat menyimpulkan bahwa percepatan tangensial bandul matematis sebanding dengan perpindahannya dengan tanda minus. Ini adalah kondisi di mana sistem menjadi osilator harmonik. Modulus gain proporsional antara perpindahan dan percepatan sama dengan kuadrat dari frekuensi melingkar:
ω02=g/L; 0=g/L.
Rumus ini mencerminkan frekuensi alami osilasi kecil dari jenis pendulum ini. Berdasarkan ini, T=2π/ 0 =2π√ g/L.
Perhitungan berdasarkan hukum kekekalan energi
Sifat-sifat gerak osilasi bandul juga dapat dijelaskan dengan menggunakan hukum kekekalan energi. Dalam hal ini, harus diperhitungkan bahwa energi potensial bandul dalam medan gravitasi adalah:
E=mg∆h=mgL(1 – cos)=mgL2sin2 /2
Total energi mekaniksama dengan potensial kinetik atau maksimum: Epmax=Ekmsx=E
Setelah hukum kekekalan energi ditulis, ambil turunan dari ruas kanan dan kiri persamaan:
Ep + Ek=const
Karena turunan nilai konstanta adalah 0, maka (Ep + Ek)'=0. Turunan jumlah sama dengan jumlah turunan:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv, maka:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m)=0.
Berdasarkan rumus terakhir, kita menemukan:=- g/Lx.
Aplikasi praktis dari pendulum matematika
Percepatan jatuh bebas bervariasi menurut garis lintang geografis, karena kepadatan kerak bumi di seluruh planet tidak sama. Dimana batuan dengan kepadatan yang lebih tinggi terjadi, itu akan menjadi agak lebih tinggi. Percepatan bandul matematika sering digunakan untuk eksplorasi geologi. Ini digunakan untuk mencari berbagai mineral. Cukup dengan menghitung jumlah ayunan bandul, Anda bisa menemukan batu bara atau bijih di perut bumi. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa fosil tersebut memiliki kepadatan dan massa yang lebih besar daripada batuan lepas di bawahnya.
Pendulum matematika digunakan oleh ilmuwan terkemuka seperti Socrates, Aristoteles, Plato, Plutarch, Archimedes. Banyak dari mereka percaya bahwa sistem mekanis ini dapat mempengaruhi nasib dan kehidupan seseorang. Archimedes menggunakan pendulum matematika dalam perhitungannya. Saat ini, banyak okultis dan paranormalgunakan sistem mekanis ini untuk memenuhi ramalan mereka atau mencari orang hilang.
Astronom dan naturalis Prancis terkenal K. Flammarion juga menggunakan pendulum matematika untuk penelitiannya. Dia mengklaim bahwa dengan bantuannya dia dapat memprediksi penemuan planet baru, kemunculan meteorit Tunguska dan peristiwa penting lainnya. Selama Perang Dunia Kedua di Jerman (Berlin) sebuah Institut Pendulum khusus bekerja. Saat ini, Institut Parapsikologi Munich terlibat dalam penelitian serupa. Karyawan lembaga ini menyebut pekerjaan mereka dengan bandul “radiesthesia.”
