Vektor adalah objek geometris yang penting, dengan bantuan propertinya akan lebih mudah untuk menyelesaikan banyak masalah di bidang dan di luar angkasa. Dalam artikel ini, kita akan mendefinisikannya, mempertimbangkan karakteristik utamanya, dan juga menunjukkan bagaimana sebuah vektor dalam ruang dapat digunakan untuk mendefinisikan bidang.
Apa itu vektor: kasus dua dimensi
Pertama-tama, kita perlu memahami dengan jelas objek apa yang sedang kita bicarakan. Dalam geometri, segmen berarah disebut vektor. Seperti segmen lainnya, segmen ini dicirikan oleh dua elemen utama: titik awal dan titik akhir. Koordinat titik-titik ini secara unik menentukan semua karakteristik vektor.
Mari kita perhatikan contoh vektor pada bidang. Untuk melakukan ini, kita menggambar dua sumbu yang saling tegak lurus x dan y. Mari kita tandai titik sembarang P(x,y). Jika kita menghubungkan titik ini ke titik asal (titik O), dan kemudian menentukan arah ke P, maka kita mendapatkan vektor OP¯ (nanti dalam artikel, bilah di atas simbol menunjukkan bahwa kita sedang mempertimbangkan sebuah vektor). Gambar vektor pada bidang ditunjukkan di bawah ini.
Di sini, vektor AB¯ lain juga ditampilkan, dan Anda dapat melihat bahwa karakteristiknya persis sama dengan OP¯, tetapi berada di bagian yang berbeda dari sistem koordinat. Dengan terjemahan paralel OP¯, Anda bisa mendapatkan jumlah vektor yang tak terbatas dengan sifat yang sama.
Vektor dalam ruang
Semua benda nyata yang mengelilingi kita berada dalam ruang tiga dimensi. Studi tentang sifat geometris gambar tiga dimensi berkaitan dengan stereometri, yang beroperasi dengan konsep vektor tiga dimensi. Mereka berbeda dari yang dua dimensi hanya dalam deskripsi mereka memerlukan koordinat tambahan, yang diukur sepanjang sumbu x dan y ketiga tegak lurus z.
Gambar di bawah menunjukkan sebuah vektor dalam ruang. Koordinat ujungnya di sepanjang setiap sumbu ditunjukkan oleh segmen berwarna. Awal vektor terletak pada titik potong ketiga sumbu koordinat, yaitu memiliki koordinat (0; 0; 0).
Karena vektor pada bidang adalah kasus khusus dari segmen yang diarahkan secara spasial, kami hanya akan mempertimbangkan vektor tiga dimensi dalam artikel ini.
Koordinat vektor berdasarkan koordinat awal dan akhir yang diketahui
Misalkan ada dua titik P(x1; y1; z1) dan Q(x2; y2; z2). Cara menentukan koordinat vektor PQ¯. Pertama, perlu disepakati titik mana yang akan menjadi awal dan mana akhir dari vektor. Dalam matematika, merupakan kebiasaan untuk menulis objek yang dipertanyakan sepanjang arahnya, yaitu, P adalah awal, Q- tamat. Kedua, koordinat vektor PQ¯ dihitung sebagai selisih antara koordinat akhir dan awal yang sesuai, yaitu:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Perhatikan bahwa dengan mengubah arah vektor, koordinatnya akan berubah tanda, sebagai berikut:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Artinya PQ¯=-QP¯.
Penting untuk memahami satu hal lagi. Dikatakan di atas bahwa di pesawat ada jumlah tak terbatas vektor sama dengan yang diberikan. Fakta ini juga berlaku untuk kasus spasial. Faktanya, ketika kami menghitung koordinat PQ¯ dalam contoh di atas, kami melakukan operasi terjemahan paralel dari vektor ini sedemikian rupa sehingga asalnya bertepatan dengan asalnya. Vektor PQ¯ dapat digambarkan sebagai segmen berarah dari titik asal ke titik M((x2 - x1; y2- y1; z2 - z1).
Properti vektor
Seperti objek geometri lainnya, vektor memiliki beberapa karakteristik bawaan yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah. Mari kita daftar secara singkat.
Modulus vektor adalah panjang segmen berarah. Mengetahui koordinat, mudah untuk menghitungnya. Untuk vektor PQ¯ pada contoh di atas, modulusnya adalah:
|PQ¯|=[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Modul vektor aktifpesawat dihitung dengan rumus yang sama, hanya tanpa partisipasi koordinat ketiga.
Jumlah dan selisih vektor dilakukan sesuai dengan aturan segitiga. Gambar di bawah menunjukkan cara menjumlahkan dan mengurangi objek-objek tersebut.
Untuk mendapatkan vektor penjumlahan, tambahkan awal vektor kedua ke akhir vektor pertama. Vektor yang diinginkan akan dimulai pada awal vektor pertama dan berakhir pada akhir vektor kedua.
Perbedaan dilakukan dengan mempertimbangkan fakta bahwa vektor yang dikurangkan diganti dengan yang berlawanan, dan kemudian operasi penambahan yang dijelaskan di atas dilakukan.
Selain penjumlahan dan pengurangan, penting untuk dapat mengalikan vektor dengan angka. Jika bilangan sama dengan k, maka diperoleh vektor yang modulusnya k kali berbeda dari vektor aslinya, dan arahnya bisa sama (k>0) atau berlawanan dengan vektor aslinya (k<0).
Operasi perkalian vektor di antara mereka sendiri juga didefinisikan. Kami akan memilih paragraf terpisah untuk itu di artikel.
Perkalian Skalar dan Vektor
Misalkan ada dua vektor u¯(x1; y1; z1) dan v¯(x2; y2; z2). Vektor demi vektor dapat dikalikan dengan dua cara berbeda:
- Skalar. Dalam hal ini, hasilnya adalah angka.
- Vektor. Hasilnya adalah beberapa vektor baru.
Perkalian skalar dari vektor u¯ dan v¯ dihitung sebagai berikut:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Di mana adalah sudut antara vektor yang diberikan.
Dapat ditunjukkan bahwa dengan mengetahui koordinat u¯ dan v¯, hasil kali titiknya dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Perkalian skalar mudah digunakan saat menguraikan vektor menjadi dua segmen yang berarah tegak lurus. Ini juga digunakan untuk menghitung paralelisme atau ortogonalitas vektor, dan untuk menghitung sudut di antara mereka.
Perkalian silang u¯ dan v¯ menghasilkan vektor baru yang tegak lurus dengan vektor asli dan memiliki modulus:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Arah ke bawah atau ke atas dari vektor baru ditentukan oleh aturan tangan kanan (empat jari tangan kanan diarahkan dari ujung vektor pertama ke ujung vektor kedua, dan ibu jari mencuat ke atas menunjukkan arah vektor baru). Gambar di bawah menunjukkan hasil perkalian silang untuk sembarang a¯ dan b¯.
Perkalian silang digunakan untuk menghitung luas bangun, serta untuk menentukan koordinat vektor yang tegak lurus terhadap bidang tertentu.
Vektor dan propertinya mudah digunakan saat mendefinisikan persamaan bidang.
Persamaan normal dan umum bidang
Ada beberapa cara untuk mendefinisikan sebuah pesawat. Salah satunya adalah turunan dari persamaan umum bidang, yang mengikuti langsung dari pengetahuan tentang vektor yang tegak lurus terhadapnya dan beberapa titik yang diketahui milik bidang tersebut.
Asumsikan bahwa ada vektor n¯ (A; B; C) dan titik P (x0; y0; z 0). Kondisi apa yang akan memenuhi semua titik Q(x; y; z) pada bidang? Kondisi ini terdiri dari tegak lurus dari sembarang vektor PQ¯ terhadap n¯ normal. Untuk dua vektor tegak lurus, perkalian titik menjadi nol (cos(90o)=0), tuliskan ini:
(n¯PQ¯)=0 atau
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Membuka tanda kurung, kita mendapatkan:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 atau
Ax + By + Cz +D=0 di mana D=-Ax0-By0 -Cz0.
Persamaan ini disebut umum untuk bidang. Kita lihat bahwa koefisien di depan x, y, dan z adalah koordinat dari vektor tegak lurus n¯. Itu namanya pemandu pesawat.
Persamaan parametrik vektor bidang
Cara kedua untuk mendefinisikan sebuah pesawat adalah dengan menggunakan dua vektor yang terletak di dalamnya.
Asumsikan ada vektor u¯(x1; y1; z1) dan v¯(x2; y2; z2). Seperti yang dikatakan, masing-masing dari mereka di ruang angkasa dapat diwakili oleh segmen terarah identik yang jumlahnya tak terbatas, oleh karena itu, satu titik lagi diperlukan untuk menentukan bidang secara unik. Biarkan titik ini menjadi P(x0;y0; z0). Setiap titik Q(x; y; z) akan terletak pada bidang yang diinginkan jika vektor PQ¯ dapat direpresentasikan sebagai kombinasi dari u¯ dan v¯. Artinya, kita memiliki:
PQ¯=u¯ + v¯.
Di mana dan adalah beberapa bilangan real. Dari persamaan ini mengikuti ekspresi:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + (x1; y1; z1) + (x 2; y2; z2).
Ini disebut persamaan vektor parametrik bidang terhadap 2 vektor u¯ dan v¯. Mengganti parameter arbitrer dan, seseorang dapat menemukan semua titik (x; y; z) yang termasuk dalam bidang ini.
Dari persamaan ini mudah untuk mendapatkan ekspresi umum untuk pesawat. Untuk melakukan ini, cukup dengan menemukan vektor arah n¯, yang akan tegak lurus terhadap kedua vektor u¯ dan v¯, yaitu, produk vektor mereka harus diterapkan.
Masalah menentukan persamaan umum bidang
Mari kita tunjukkan bagaimana menggunakan rumus di atas untuk menyelesaikan masalah geometris. Misalkan vektor arah bidang adalah n¯(5; -3; 1). Anda harus menemukan persamaan bidang, mengetahui bahwa titik P(2; 0; 0) termasuk di dalamnya.
Persamaan umum ditulis sebagai:
Ax + By + Cz +D=0.
Karena vektor tegak lurus bidang diketahui, persamaannya akan berbentuk:
5x - 3y + z +D=0.
Masih mencari suku bebas D. Kami menghitungnya dari pengetahuan koordinat P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Jadi, persamaan bidang yang diinginkan memiliki bentuk:
5x - 3y + z -10=0.
Gambar di bawah menunjukkan seperti apa pesawat yang dihasilkan.
Koordinat titik yang ditunjukkan sesuai dengan perpotongan bidang dengan sumbu x, y dan z.
Masalah menentukan bidang melalui dua vektor dan satu titik
Sekarang anggaplah bidang sebelumnya didefinisikan secara berbeda. Dua vektor u¯(-2; 0; 10) dan v¯(-2; -10/3; 0) diketahui, serta titik P(2; 0; 0). Bagaimana cara menulis persamaan bidang dalam bentuk parametrik vektor? Dengan menggunakan rumus yang sesuai, kita mendapatkan:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + (-2; 0; 10) + (-2; -10/3; 0).
Perhatikan bahwa definisi persamaan bidang ini, vektor u¯ dan v¯ dapat diambil secara mutlak sembarang, tetapi dengan satu syarat: keduanya tidak boleh paralel. Jika tidak, bidang tidak dapat ditentukan secara unik, namun, seseorang dapat menemukan persamaan untuk balok atau sekumpulan bidang.
