Cara menyetel persamaan garis pada bidang dan ruang tiga dimensi

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2024-01-02 17:49

Garis lurus adalah objek geometris utama pada bidang dan ruang tiga dimensi. Dari garis lurus itulah banyak bangun bangun, misalnya: jajar genjang, segitiga, prisma, limas, dan sebagainya. Pertimbangkan dalam artikel berbagai cara menyetel persamaan garis.

Definisi garis lurus dan jenis persamaan untuk menggambarkannya

Setiap siswa memiliki ide bagus tentang objek geometris apa yang mereka bicarakan. Garis lurus dapat direpresentasikan sebagai kumpulan titik, dan jika kita menghubungkan masing-masing titik secara bergantian, maka kita mendapatkan satu set vektor paralel. Dengan kata lain, adalah mungkin untuk mencapai setiap titik garis dari salah satu titik tetapnya, mentransfernya ke beberapa vektor satuan dikalikan dengan bilangan real. Definisi garis lurus ini digunakan untuk mendefinisikan persamaan vektor untuk deskripsi matematisnya baik dalam bidang maupun dalam ruang tiga dimensi.

Sebuah garis lurus secara matematis dapat diwakili oleh jenis persamaan berikut:

umum;
vektor;
parametrik;
dalam segmen;
simetris (kanonik).

Selanjutnya, kami akan mempertimbangkan semua jenis yang disebutkan dan menunjukkan cara bekerja dengannya menggunakan contoh pemecahan masalah.

Deskripsi vektor dan parametrik garis lurus

Mari kita mulai dengan mendefinisikan garis lurus melalui vektor yang diketahui. Misalkan ada titik tetap dalam ruang M(x₀; y₀; z_{0). Diketahui bahwa garis lurus melewatinya dan diarahkan sepanjang segmen vektor v¯(a; b; c). Bagaimana menemukan titik garis sewenang-wenang dari data ini? Jawaban atas pertanyaan ini akan memberikan persamaan berikut:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) +(a; b; c)}

Di mana adalah bilangan arbitrer.

Ekspresi serupa dapat ditulis untuk kasus dua dimensi, di mana koordinat vektor dan titik diwakili oleh himpunan dua angka:

(x; y)=(x₀; y_{0) +(a; b)}

Persamaan tertulis disebut persamaan vektor, dan ruas berarah v¯ itu sendiri adalah vektor arah garis lurus.

Dari ekspresi tertulis, persamaan parametrik yang sesuai diperoleh secara sederhana, cukup untuk menulis ulang secara eksplisit. Misalnya, untuk kasus di luar angkasa, kita mendapatkan persamaan berikut:

x=x_0+a;

y=y_0+b;

z=z_0+c

Lebih mudah untuk bekerja dengan persamaan parametrik jika Anda perlu menganalisis perilakumasing-masing koordinat. Perhatikan bahwa meskipun parameter dapat mengambil nilai arbitrer, parameter tersebut harus sama pada ketiga persamaan.

Persamaan umum

Cara lain untuk mendefinisikan garis lurus, yang sering digunakan untuk bekerja dengan objek geometris yang dipertimbangkan, adalah dengan menggunakan persamaan umum. Untuk kasus dua dimensi, terlihat seperti:

Ax + By + C=0

Di sini huruf kapital Latin mewakili nilai numerik tertentu. Kemudahan persamaan ini dalam menyelesaikan masalah terletak pada kenyataan bahwa persamaan tersebut secara eksplisit memuat sebuah vektor yang tegak lurus terhadap sebuah garis lurus. Jika kita menyatakannya dengan n¯, maka kita dapat menulis:

n¯=[A; B]

Selain itu, ekspresi ini mudah digunakan untuk menentukan jarak dari garis lurus ke beberapa titik P(x₁; y_{1). Rumus untuk jarak d adalah:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / (A²+ B²⁾

Mudah untuk menunjukkan bahwa jika kita secara eksplisit menyatakan variabel y dari persamaan umum, kita mendapatkan bentuk penulisan garis lurus berikut ini:

y=kx + b

Di mana k dan b ditentukan secara unik oleh bilangan A, B, C.

Persamaan dalam segmen dan kanonik

Persamaan dalam segmen paling mudah didapat dari tampilan umum. Kami akan menunjukkan cara melakukannya.

Misalkan kita memiliki baris berikut:

Ax + By + C=0

Pindahkan suku bebas ke ruas kanan persamaan, lalu bagi seluruh persamaan dengannya, kita peroleh:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, dimana q=-C / A, p=-C / B

Kami mendapatkan apa yang disebut persamaan dalam segmen. Itu mendapat namanya karena fakta bahwa penyebut yang dengannya setiap variabel dibagi menunjukkan nilai koordinat persimpangan garis dengan sumbu yang sesuai. Lebih mudah menggunakan fakta ini untuk menggambarkan garis lurus dalam sistem koordinat, serta untuk menganalisis posisi relatifnya dalam kaitannya dengan objek geometris lainnya (garis lurus, titik).

Sekarang mari kita beralih ke mendapatkan persamaan kanonik. Ini lebih mudah dilakukan jika kita mempertimbangkan opsi parametrik. Untuk kasus di pesawat kami memiliki:

x=x_0+a;

y=y_0+b

Kita nyatakan parameter pada setiap persamaan, lalu kita samakan, kita peroleh:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

Ini adalah persamaan yang diinginkan yang ditulis dalam bentuk simetris. Sama seperti ekspresi vektor, secara eksplisit berisi koordinat vektor arah dan koordinat salah satu titik yang termasuk dalam garis.

Dapat dilihat bahwa dalam paragraf ini kita telah memberikan persamaan untuk kasus dua dimensi. Demikian pula, Anda dapat menulis persamaan garis lurus di ruang angkasa. Perlu dicatat di sini bahwa jika bentuk kanonikcatatan dan ekspresi dalam segmen akan memiliki bentuk yang sama, maka persamaan umum dalam ruang untuk garis lurus diwakili oleh sistem dua persamaan untuk bidang yang berpotongan.

Masalah membangun persamaan garis lurus

Dari geometri, setiap siswa tahu bahwa melalui dua titik kamu dapat menggambar satu garis. Asumsikan bahwa titik-titik berikut diberikan pada bidang koordinat:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

Hal ini diperlukan untuk menemukan persamaan garis yang dimiliki kedua titik, dalam segmen, dalam vektor, kanonik dan bentuk umum.

Mari kita dapatkan persamaan vektornya terlebih dahulu. Untuk melakukannya, tentukan untuk vektor arah langsung M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

Sekarang Anda dapat membuat persamaan vektor dengan mengambil salah satu dari dua titik yang ditentukan dalam pernyataan masalah, misalnya, M_2:

(x; y)=(-1; 3) +(-2; 1)

Untuk mendapatkan persamaan kanonik, cukup dengan mengubah persamaan yang ditemukan menjadi bentuk parametrik dan mengecualikan parameter. Kami memiliki:

x=-1 - 2, maka=x + 1 / (-2);

y=3 +, maka diperoleh=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

Dua persamaan yang tersisa (umum dan dalam segmen) dapat ditemukan dari persamaan kanonik dengan mentransformasikannya sebagai berikut:

x + 1=-2y + 6;

persamaan umum: x + 2y - 5=0;

dalam persamaan segmen: x / 5 + y / 2, 5=1

Persamaan yang dihasilkan menunjukkan bahwa vektor (1; 2) harus tegak lurus terhadap garis. Memang, jika Anda menemukan produk skalarnya dengan vektor arah, maka itu akan sama dengan nol. Persamaan ruas garis menyatakan bahwa garis memotong sumbu x di (5; 0) dan sumbu y di (2, 5; 0).

Masalah menentukan titik potong garis

Dua garis lurus diberikan pada bidang dengan persamaan berikut:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) +(-1; 3)

Penentuan koordinat titik perpotongan garis-garis ini perlu dilakukan.

Ada dua cara untuk menyelesaikan masalah:

Ubah persamaan vektor menjadi bentuk umum, lalu selesaikan sistem dua persamaan linier.
Jangan lakukan transformasi apa pun, tetapi cukup substitusikan koordinat titik potong, yang dinyatakan melalui parameter, ke dalam persamaan pertama. Kemudian cari nilai parameternya.

Ayo lakukan cara kedua. Kami memiliki: