Dalam geometri, setelah suatu titik, garis lurus mungkin merupakan elemen paling sederhana. Ini digunakan dalam konstruksi figur kompleks apa pun di pesawat dan dalam ruang tiga dimensi. Pada artikel ini, kita akan membahas persamaan umum garis lurus dan menyelesaikan beberapa masalah dalam menggunakannya. Mari kita mulai!
Garis lurus dalam geometri
Semua orang tahu bahwa bentuk-bentuk seperti persegi panjang, segitiga, prisma, kubus, dan sebagainya dibentuk dengan memotong garis lurus. Garis lurus dalam geometri adalah benda satu dimensi yang diperoleh dengan cara memindahkan suatu titik tertentu ke suatu vektor yang arahnya sama atau berlawanan. Untuk lebih memahami definisi ini, bayangkan ada beberapa titik P di ruang angkasa. Ambil vektor sembarang u¯ di ruang ini. Kemudian setiap titik Q dari garis dapat diperoleh sebagai hasil dari operasi matematika berikut:
Q=P + u¯.
Di sini adalah bilangan arbitrer yang bisa positif atau negatif. Jika kesetaraantuliskan di atas dalam bentuk koordinat, maka kita mendapatkan persamaan garis lurus berikut:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + (a, b, c).
Persamaan ini disebut persamaan garis lurus dalam bentuk vektor. Dan vektor u¯ disebut panduan.
Persamaan umum garis lurus pada bidang
Setiap siswa dapat menuliskannya tanpa kesulitan. Tapi paling sering persamaan ditulis seperti ini:
y=kx + b.
Di mana k dan b adalah bilangan arbitrer. Angka b disebut anggota bebas. Parameter k sama dengan tangen sudut yang dibentuk oleh perpotongan garis lurus dengan sumbu x.
Persamaan di atas dinyatakan terhadap variabel y. Jika kita menyajikannya dalam bentuk yang lebih umum, maka kita mendapatkan notasi berikut:
Ax + By + C=0.
Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa bentuk penulisan persamaan umum garis lurus pada bidang ini mudah diubah ke bentuk sebelumnya. Untuk melakukan ini, bagian kiri dan kanan harus dibagi dengan faktor B dan dinyatakan y.
Gambar di atas menunjukkan garis lurus yang melalui dua titik.
Sebuah garis dalam ruang 3D
Mari kita lanjutkan studi kita. Kami mempertimbangkan pertanyaan tentang bagaimana persamaan garis lurus dalam bentuk umum diberikan pada bidang. Jika kita menerapkan notasi yang diberikan pada paragraf artikel sebelumnya untuk kasus spasial, apa yang akan kita dapatkan? Semuanya sederhana - bukan lagi garis lurus, tetapi bidang. Memang, ekspresi berikut menggambarkan bidang yang sejajar dengan sumbu z:
Ax + By + C=0.
Jika C=0, maka pesawat seperti itu lewatmelalui sumbu z. Ini adalah fitur penting.
Bagaimana dengan persamaan umum garis lurus di ruang angkasa? Untuk memahami cara menanyakannya, Anda perlu mengingat sesuatu. Dua bidang berpotongan sepanjang garis lurus tertentu. Apa artinya ini? Hanya saja persamaan umum tersebut merupakan hasil penyelesaian sistem dua persamaan bidang. Mari kita tulis sistem ini:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Sistem ini adalah persamaan umum garis lurus dalam ruang. Perhatikan bahwa bidang tidak boleh sejajar satu sama lain, yaitu, vektor normalnya harus miring pada beberapa sudut relatif satu sama lain. Jika tidak, sistem tidak akan memiliki solusi.
Di atas kita berikan bentuk vektor dari persamaan garis lurus. Lebih mudah digunakan saat memecahkan sistem ini. Untuk melakukan ini, Anda harus terlebih dahulu menemukan produk vektor dari normal bidang-bidang ini. Hasil dari operasi ini akan menjadi vektor arah dari garis lurus. Kemudian, setiap titik milik garis harus dihitung. Untuk melakukan ini, Anda perlu menyetel variabel mana pun yang sama dengan nilai tertentu, dua variabel yang tersisa dapat ditemukan dengan menyelesaikan sistem tereduksi.
Bagaimana cara menerjemahkan persamaan vektor menjadi persamaan umum? Nuansa
Ini adalah masalah aktual yang dapat muncul jika Anda perlu menulis persamaan umum garis lurus menggunakan koordinat dua titik yang diketahui. Mari kita tunjukkan bagaimana masalah ini diselesaikan dengan sebuah contoh. Diketahui koordinat dua titik:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Persamaan dalam bentuk vektor cukup mudah untuk dibuat. Koordinat vektor arah adalah:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Perhatikan bahwa tidak ada perbedaan jika kita mengurangi koordinat Q dari koordinat titik P, vektor hanya akan berubah arahnya ke arah sebaliknya. Sekarang Anda harus mengambil titik mana saja dan menuliskan persamaan vektor:
(x, y)=(x1, y1) + (x2 -x1, y2-y1).
Untuk menulis persamaan umum garis lurus, parameter harus dinyatakan dalam kedua kasus. Dan kemudian membandingkan hasilnya. Kami memiliki:
x=x1 + (x2-x1)=>=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + (y2-y1)=>=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Tinggal membuka tanda kurung dan memindahkan semua suku persamaan ke satu sisi persamaan untuk mendapatkan ekspresi umum untuk garis lurus yang melalui dua titik yang diketahui.
Dalam kasus masalah tiga dimensi, algoritme solusi dipertahankan, hanya hasilnya yang akan menjadi sistem dua persamaan bidang.
Tugas
Hal ini diperlukan untuk membuat persamaan umumgaris lurus yang memotong sumbu x di (-3, 0) dan sejajar dengan sumbu y.
Mari kita mulai menyelesaikan masalah dengan menulis persamaan dalam bentuk vektor. Karena garis sejajar dengan sumbu y, maka vektor pengarahnya adalah sebagai berikut:
u¯=(0, 1).
Kemudian baris yang diinginkan akan ditulis sebagai berikut:
(x, y)=(-3, 0) + (0, 1).
Sekarang mari kita terjemahkan ekspresi ini ke dalam bentuk umum, untuk ini kita nyatakan parameternya:
- x=-3;
- y=.
Jadi, setiap nilai dari variabel y termasuk ke dalam garis, namun, hanya nilai tunggal dari variabel x yang sesuai dengannya. Oleh karena itu, persamaan umum akan berbentuk:
x + 3=0.
Masalah dengan garis lurus dalam ruang
Diketahui bahwa dua bidang yang berpotongan diberikan oleh persamaan berikut:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Hal ini diperlukan untuk menemukan persamaan vektor dari garis lurus di mana bidang-bidang ini berpotongan. Mari kita mulai.
Seperti yang telah dikatakan, persamaan umum garis lurus dalam ruang tiga dimensi telah diberikan dalam bentuk sistem dua dengan tiga yang tidak diketahui. Pertama-tama, kami menentukan vektor arah di mana pesawat berpotongan. Mengalikan koordinat vektor dari normal ke pesawat, kita mendapatkan:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Karena mengalikan vektor dengan bilangan negatif membalikkan arahnya, kita dapat menulis:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Kepadauntuk menemukan ekspresi vektor untuk garis lurus, selain vektor arah, seseorang harus mengetahui beberapa titik dari garis lurus ini. Temukan karena koordinatnya harus memenuhi sistem persamaan dalam kondisi masalah, maka kita akan menemukannya. Misal kita masukkan x=0, maka kita peroleh:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Dengan demikian, titik milik garis lurus yang diinginkan memiliki koordinat:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Kemudian kita mendapatkan jawaban untuk masalah ini, persamaan vektor garis yang diinginkan akan terlihat seperti:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + (2, 1, 5).
Kebenaran solusi dapat dengan mudah diperiksa. Untuk melakukan ini, Anda harus memilih nilai arbitrer dari parameter dan mengganti koordinat titik garis lurus yang diperoleh ke dalam kedua persamaan untuk bidang, Anda akan mendapatkan identitas dalam kedua kasus.
