Objek geometris penting yang dipelajari dalam ruang datar adalah garis lurus. Dalam ruang tiga dimensi, selain garis lurus, juga ada bidang. Kedua objek mudah didefinisikan menggunakan vektor arah. Apa itu, bagaimana vektor-vektor ini digunakan untuk menentukan persamaan garis lurus dan bidang? Pertanyaan-pertanyaan ini dan lainnya dibahas dalam artikel.
Jalur langsung dan cara mendefinisikannya
Setiap siswa memiliki ide bagus tentang objek geometris apa yang mereka bicarakan. Dari sudut pandang matematika, garis lurus adalah sekumpulan titik, yang, dalam kasus koneksi berpasangan yang berubah-ubah, mengarah ke sekumpulan vektor paralel. Definisi garis ini digunakan untuk menulis persamaan untuknya dalam dua dan tiga dimensi.
Untuk menggambarkan objek satu dimensi yang dipertimbangkan, berbagai jenis persamaan digunakan, yang tercantum dalam daftar di bawah ini:
- tampilan umum;
- parametrik;
- vektor;
- kanonik atau simetris;
- dalam segmen.
Masing-masing spesies ini memiliki beberapa keunggulan dibandingkan yang lain. Misalnya, persamaan dalam segmen nyaman digunakan ketika mempelajari perilaku garis lurus relatif terhadap sumbu koordinat, persamaan umum nyaman ketika menemukan arah yang tegak lurus terhadap garis lurus tertentu, serta ketika menghitung sudutnya. perpotongan dengan sumbu x (untuk kasus datar).
Karena topik artikel ini terkait dengan vektor pengarah garis lurus, selanjutnya kita hanya akan mempertimbangkan persamaan di mana vektor ini adalah fundamental dan terkandung secara eksplisit, yaitu, ekspresi vektor.
Menentukan garis lurus melalui vektor
Misalkan kita memiliki beberapa vektor v¯ dengan koordinat yang diketahui (a; b; c). Karena ada tiga koordinat, vektor diberikan dalam ruang. Bagaimana cara menggambarkannya dalam sistem koordinat persegi panjang? Ini dilakukan dengan sangat sederhana: pada masing-masing dari tiga sumbu, sebuah segmen diplot, yang panjangnya sama dengan koordinat vektor yang sesuai. Titik potong dari tiga garis tegak lurus yang dikembalikan ke bidang xy, yz dan xz akan menjadi ujung vektor. Awalannya adalah titik (0; 0; 0).
Namun demikian, posisi vektor yang diberikan bukanlah satu-satunya. Demikian pula, seseorang dapat menggambar v¯ dengan menempatkan titik asalnya pada titik sembarang dalam ruang. Argumen ini mengatakan bahwa tidak mungkin untuk menetapkan garis tertentu menggunakan vektor. Ini mendefinisikan keluarga dari jumlah tak terbatas dari garis paralel.
Sekarangperbaiki beberapa titik P(x0; y0; z0) ruang. Dan kami menetapkan kondisi: garis lurus harus melewati P. Dalam hal ini, vektor v¯ juga harus mengandung titik ini. Fakta terakhir berarti bahwa satu garis tunggal dapat didefinisikan menggunakan P dan v¯. Ini akan ditulis sebagai persamaan berikut:
Q=P + × v¯
Di sini Q adalah sembarang titik yang termasuk dalam garis. Titik ini dapat diperoleh dengan memilih parameter yang sesuai. Persamaan tertulis disebut persamaan vektor, dan v¯ disebut vektor arah garis lurus. Dengan mengaturnya sehingga melewati P dan mengubah panjangnya dengan parameter, kita mendapatkan setiap titik Q sebagai garis lurus.
Dalam bentuk koordinat, persamaan akan ditulis sebagai berikut:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + × (a; b; c)
Dan dalam bentuk eksplisit (parametrik), Anda dapat menulis:
x=x0+ × a;
y=y0+ × b;
z=z0+ × c
Jika kita mengecualikan koordinat ketiga dalam ekspresi di atas, maka kita mendapatkan persamaan vektor garis lurus pada bidang.
Untuk tugas apa yang berguna untuk mengetahui vektor arah ?
Sebagai aturan, ini adalah tugas untuk menentukan paralelisme dan tegak lurus garis. Juga, vektor langsung yang menentukan arah digunakan saat menghitung jarak antara garis lurus dan titik dan garis lurus, untuk menggambarkan perilaku garis lurus relatif terhadap bidang.
Duagaris akan sejajar jika vektor arahnya adalah. Dengan demikian, tegak lurus garis dibuktikan dengan menggunakan tegak lurus vektor-vektornya. Dalam jenis masalah ini, cukup menghitung produk skalar dari vektor yang dipertimbangkan untuk mendapatkan jawabannya.
Dalam kasus tugas untuk menghitung jarak antara garis dan titik, vektor arah secara eksplisit disertakan dalam rumus yang sesuai. Ayo tuliskan:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Di sini P1P2¯ - dibangun di atas poin P1 dan P 2 segmen terarah. Titik P2 sewenang-wenang, terletak pada garis dengan vektor v¯, sedangkan titik P1 adalah titik yang jaraknya seharusnya ditentukan. Itu bisa independen atau milik garis atau bidang lain.
Perhatikan bahwa masuk akal untuk menghitung jarak antar garis hanya jika garis itu sejajar atau berpotongan. Jika mereka berpotongan, maka d adalah nol.
Rumus d di atas juga berlaku untuk menghitung jarak antara sebuah bidang dan garis lurus yang sejajar dengannya, hanya dalam hal ini P1harus termasuk dalam bidang tersebut.
Mari kita selesaikan beberapa masalah untuk menunjukkan cara menggunakan vektor yang dipertimbangkan dengan lebih baik.
Soal Persamaan Vektor
Diketahui bahwa garis lurus digambarkan oleh persamaan berikut:
y=3 × x - 4
Anda harus menulis ekspresi yang sesuai dibentuk vektor.
Ini adalah persamaan khas dari garis lurus, yang diketahui oleh setiap anak sekolah, ditulis dalam bentuk umum. Mari kita tunjukkan bagaimana menulis ulang dalam bentuk vektor.
Ekspresi dapat direpresentasikan sebagai:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Dapat dilihat bahwa jika Anda membukanya, Anda mendapatkan kesetaraan aslinya. Sekarang kita bagi sisi kanannya menjadi dua vektor sehingga hanya satu yang mengandung x, kita memiliki:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Tetap keluarkan x dari tanda kurung, tandai dengan simbol Yunani dan tukar vektor sisi kanan:
(x; y)=(0; -4) + × (1; 3)
Kami mendapatkan bentuk vektor dari ekspresi aslinya. Koordinat vektor arah garis lurus adalah (1; 3).
Tugas menentukan posisi relatif garis
Dua baris diberikan dalam spasi:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + × (1; 2; 0)
Apakah sejajar, bersilangan atau berpotongan?
Vektor tak nol (-1; 3; 1) dan (1; 2; 0) akan menjadi panduan untuk garis-garis ini. Mari kita nyatakan persamaan ini dalam bentuk parametrik dan substitusikan koordinat yang pertama ke yang kedua. Kami mendapatkan:
x=1 -;
y=3 ×;
z=-2 +;
x=3 +=1 -=>γ=-2 -;
y=2 + 2 ×=3 ×=>=3 / 2 × - 1;
z=2=-2 +=>=4
Substitusikan parameter yang ditemukan ke dalam dua persamaan di atas, kita peroleh:
γ=-2 -=-6;
γ=3 / 2 × - 1=5
Parameter tidak dapat mengambil dua nilai yang berbeda secara bersamaan. Ini berarti bahwa garis-garis tersebut tidak memiliki satu titik yang sama, yaitu berpotongan. Mereka tidak sejajar, karena vektor bukan nol tidak sejajar satu sama lain (untuk paralelismenya, harus ada angka yang, dengan mengalikan satu vektor, akan menghasilkan koordinat kedua).
Deskripsi matematis pesawat
Untuk mengatur bidang dalam ruang, kami memberikan persamaan umum:
A × x + B × y + C × z + D=0
Di sini huruf kapital Latin mewakili angka tertentu. Tiga yang pertama menentukan koordinat vektor normal bidang. Jika dilambangkan dengan n¯, maka:
n¯=(A; B; C)
Vektor ini tegak lurus bidang, sehingga disebut guide. Pengetahuannya, serta koordinat yang diketahui dari setiap titik milik pesawat, secara unik menentukan yang terakhir.
Jika titik P(x1; y1; z1) milik pesawat, maka intersep D dihitung sebagai berikut:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Mari kita selesaikan beberapa masalah menggunakan persamaan umum bidang.
Tugas untukmencari vektor normal bidang
Pesawat didefinisikan sebagai berikut:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Bagaimana menemukan vektor arah untuknya?
Dari teori di atas diketahui bahwa koordinat vektor normal n¯ adalah koefisien di depan variabel. Dalam hal ini, untuk menemukan n¯, persamaan harus ditulis dalam bentuk umum. Kami memiliki:
1 / 3 × x + 1/2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Maka vektor normal bidang tersebut adalah:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Masalah menyusun persamaan bidang
Koordinat tiga titik diberikan:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Seperti apa persamaan bidang yang memuat semua titik ini.
Melalui tiga titik yang tidak berada pada garis yang sama, hanya satu bidang yang dapat ditarik. Untuk menemukan persamaannya, pertama-tama kita hitung vektor arah bidang n¯. Untuk melakukan ini, kami melanjutkan sebagai berikut: kami menemukan dua vektor sewenang-wenang milik pesawat, dan menghitung produk vektor mereka. Ini akan memberikan vektor yang akan tegak lurus terhadap bidang ini, yaitu, n. Kami memiliki:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Ambil poinnya M1menggambarekspresi pesawat. Kami mendapatkan:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Kami telah memperoleh ekspresi tipe umum untuk sebuah bidang di ruang angkasa dengan terlebih dahulu mendefinisikan vektor arah untuknya.
Properti perkalian silang harus diingat ketika menyelesaikan masalah dengan bidang, karena ini memungkinkan Anda untuk menentukan koordinat vektor normal dengan cara yang sederhana.
