Logika simbolik adalah cabang ilmu yang mempelajari bentuk-bentuk penalaran yang benar. Ini memainkan peran mendasar dalam filsafat, matematika dan ilmu komputer. Seperti filsafat dan matematika, logika memiliki akar kuno. Risalah paling awal tentang sifat penalaran yang benar ditulis lebih dari 2.000 tahun yang lalu. Beberapa filsuf Yunani kuno yang paling terkenal menulis tentang sifat retensi lebih dari 2.300 tahun yang lalu. Pemikir Cina kuno menulis tentang paradoks logis sekitar waktu yang sama. Meskipun akarnya sudah lama ada, logika masih merupakan bidang studi yang dinamis.
Logika simbolis matematika
Anda juga harus dapat memahami dan bernalar, itulah sebabnya perhatian khusus diberikan pada kesimpulan logis ketika tidak ada peralatan khusus untuk menganalisis dan mendiagnosis berbagai bidang kehidupan. Logika simbolik modern muncul dari karya Aristoteles (384-322 SM), filsuf besar Yunani dan salah satu pemikir paling berpengaruh sepanjang masa. Keberhasilan lebih lanjut adalaholeh filsuf Stoa Yunani Chrysippus, yang mengembangkan dasar dari apa yang sekarang kita sebut logika proposisional.
Logika matematis atau simbolik mendapat perkembangan aktif hanya pada abad ke-19. Karya-karya Boole, de Morgan, Schroeder muncul, di mana para ilmuwan aljabar ajaran Aristoteles, sehingga membentuk dasar untuk kalkulus proposisional. Ini diikuti oleh karya Frege dan Preece, di mana konsep variabel dan quantifier diperkenalkan, yang mulai diterapkan dalam logika. Maka terbentuklah perhitungan predikat - pernyataan tentang subjek.
Logika menyiratkan bukti fakta yang tak terbantahkan ketika tidak ada konfirmasi langsung atas kebenarannya. Ekspresi logis seharusnya meyakinkan lawan bicara akan kebenarannya.
Rumus logika dibangun berdasarkan prinsip pembuktian matematis. Jadi mereka meyakinkan lawan bicara akurasi dan keandalan.
Namun, semua bentuk argumen ditulis dengan kata-kata. Tidak ada mekanisme formal yang akan membuat kalkulus deduksi logis. Orang-orang mulai meragukan apakah ilmuwan itu bersembunyi di balik perhitungan matematis, menyembunyikan absurditas tebakannya, karena setiap orang dapat menyampaikan argumennya dengan cara yang berbeda.
Kelahiran kebermaknaan: logika kokoh dalam matematika sebagai bukti kebenaran
Menjelang akhir abad ke-18, logika matematis atau simbolik muncul sebagai ilmu, yang melibatkan proses mempelajari kebenaran kesimpulan. Mereka seharusnya memiliki akhir yang logis dan koneksi. Tapi bagaimana membuktikannyaatau membenarkan data penelitian?
Filosof dan matematikawan besar Jerman Gottfried Leibniz adalah salah satu orang pertama yang menyadari perlunya memformalkan argumen logis. Itu adalah mimpi Leibniz: untuk menciptakan bahasa formal universal sains yang akan mengurangi semua perselisihan filosofis menjadi perhitungan sederhana, mengerjakan ulang penalaran dalam diskusi semacam itu dalam bahasa ini. Logika matematis atau simbolik muncul dalam bentuk rumus-rumus yang memudahkan tugas dan solusi dalam pertanyaan-pertanyaan filosofis. Ya, dan bidang sains ini menjadi lebih signifikan, karena obrolan filosofis yang tidak berarti kemudian menjadi dasar yang menjadi sandaran matematika itu sendiri!
Di zaman kita, logika tradisional adalah Aristotelian simbolis, yang sederhana dan bersahaja. Pada abad ke-19, sains dihadapkan pada paradoks himpunan, yang memunculkan inkonsistensi dalam solusi urutan logis Aristoteles yang sangat terkenal itu. Masalah ini harus dipecahkan, karena dalam sains tidak mungkin ada kesalahan yang dangkal sekalipun.
Formalitas Lewis Carroll - logika simbolik dan langkah-langkah transformasinya
Logika formal sekarang menjadi mata pelajaran yang termasuk dalam kursus. Namun, ia berutang penampilannya kepada yang simbolis, yang awalnya dibuat. Logika simbolik adalah metode yang mewakili ekspresi logis menggunakan simbol dan variabel daripada bahasa biasa. Ini menghilangkan ambiguitas yang menyertai bahasa umum seperti Rusia dan membuat segalanya lebih mudah.
Ada banyak sistem logika simbolik, seperti:
- Proposisional klasik.
- Logika orde pertama.
- Modal.
Logika simbolik seperti yang dipahami oleh Lewis Carroll harus menunjukkan pernyataan benar dan salah dalam pertanyaan yang diajukan. Masing-masing dapat memiliki karakter terpisah atau mengecualikan penggunaan karakter tertentu. Berikut adalah beberapa contoh pernyataan yang menutup rantai kesimpulan logis:
- Semua orang yang identik dengan saya adalah makhluk yang ada.
- Semua pahlawan yang identik dengan Batman adalah makhluk yang ada.
- Jadi (karena Batman dan saya tidak pernah terlihat di tempat yang sama), semua orang yang identik dengan saya adalah pahlawan yang identik dengan Batman.
Ini bukan silogisme bentuk yang valid, tetapi strukturnya sama seperti berikut:
- Semua anjing adalah mamalia.
- Semua kucing adalah mamalia.
- Itulah sebabnya semua anjing adalah kucing.
Seharusnya jelas bahwa bentuk simbolis di atas dalam logika tidak valid. Namun, dalam logika, keadilan didefinisikan dengan ungkapan ini: jika premisnya benar, maka kesimpulannya juga benar. Ini jelas tidak benar. Hal yang sama akan berlaku untuk contoh pahlawan, yang memiliki bentuk yang sama. Validitas hanya berlaku untuk argumen deduktif yang dimaksudkan untuk membuktikan kesimpulannya dengan pasti, karena argumen deduktif tidak dapat valid. "Koreksi" ini juga diterapkan dalam statistik ketika ada hasil kesalahan data, dan logika simbolik modern sebagaiformalitas data yang disederhanakan membantu dalam banyak hal ini.
Induksi dalam logika modern
Argumen induktif hanya dimaksudkan untuk menunjukkan kesimpulannya dengan probabilitas tinggi atau sanggahan. Argumen induktif bisa kuat atau lemah.
Sebagai argumen induktif, contoh superhero Batman sangat lemah. Diragukan bahwa Batman ada, jadi salah satu pernyataan sudah salah dengan probabilitas tinggi. Meskipun Anda belum pernah melihatnya di tempat yang sama dengan orang lain, adalah konyol untuk menganggap ekspresi ini sebagai bukti. Untuk memahami esensi logika, bayangkan:
- Kamu belum pernah terlihat di tempat yang sama dengan penduduk asli Guinea.
- Tidak masuk akal bahwa Anda dan orang Guinea adalah orang yang sama.
- Sekarang bayangkan Anda dan orang Afrika belum pernah bertemu di tempat yang sama. Tidak masuk akal bahwa Anda dan orang Afrika adalah orang yang sama. Tetapi orang Guinea dan Afrika bersilangan, jadi Anda tidak bisa menjadi keduanya pada saat yang bersamaan. Bukti bahwa Anda adalah orang Afrika atau Guinea telah menurun drastis.
Dari sudut pandang ini, gagasan logika simbolik tidak menyiratkan hubungan apriori dengan matematika. Yang diperlukan untuk mengenali logika sebagai simbol adalah penggunaan simbol yang ekstensif untuk mewakili operasi logika.
Teori Logika Carroll: Keterikatan atau Minimalisme dalam Filsafat Matematika
Carroll mempelajari beberapa cara yang tidak biasayang memaksanya untuk memecahkan masalah yang agak sulit yang dihadapi oleh rekan-rekannya. Ini mencegahnya membuat kemajuan yang signifikan karena kompleksitas notasi logis dan sistem yang dia terima sebagai hasil karyanya. Raison d'être logika simbolik Carroll adalah masalah eliminasi. Bagaimana menemukan kesimpulan yang ditarik dari serangkaian premis mengenai hubungan antara istilah yang diberikan? Menghilangkan "istilah tengah".
Untuk memecahkan masalah utama logika ini pada pertengahan abad kesembilan belas, perangkat simbolik, diagram, bahkan mekanis ditemukan. Namun, metode Carroll untuk memproses "urutan logis" seperti itu (begitu ia menyebutnya) tidak selalu memberikan solusi yang tepat. Kemudian, sang filsuf menerbitkan dua makalah tentang hipotesis, yang tercermin dalam jurnal Mind: The Logical Paradox (1894) dan What the Tortoise Said to Achilles (1895).
Makalah ini dibahas secara luas oleh ahli logika abad kesembilan belas dan kedua puluh (Pearce, Russell, Ryle, Prior, Quine, dll.). Artikel pertama sering dikutip sebagai ilustrasi yang baik tentang paradoks implikasi material, sedangkan artikel kedua mengarah pada apa yang dikenal sebagai paradoks inferensi.
Kesederhanaan simbol dalam logika
Bahasa simbolik logika adalah pengganti kalimat ambigu yang panjang. Nyaman, karena dalam bahasa Rusia Anda dapat mengatakan hal yang sama tentang keadaan yang berbeda, yang akan memungkinkan untuk menjadi bingung, dan dalam matematika, simbol akan menggantikan identitas setiap makna.
- Pertama, singkatnya penting untuk efisiensi. Logika simbolik tidak dapat berjalan tanpa tanda dan sebutan, jika tidak, logika hanya akan tetap filosofis, tanpa hak atas makna yang sebenarnya.
- Kedua, simbol memudahkan untuk melihat dan merumuskan kebenaran logis. Butir 1 dan 2 mendorong manipulasi "aljabar" dari rumus logika.
- Ketiga, ketika logika mengungkapkan kebenaran logis, formulasi simbolik mendorong studi tentang struktur logika. Ini terkait dengan poin sebelumnya. Dengan demikian, logika simbolik cocok untuk studi matematika logika, yang merupakan cabang dari subjek logika matematika.
- Keempat, ketika mengulang jawaban, penggunaan simbol merupakan bantuan dalam mencegah ketidakjelasan (misalnya, banyak arti) dari bahasa biasa. Ini juga membantu memastikan bahwa artinya unik.
Akhirnya, bahasa simbolis logika memungkinkan kalkulus predikat diperkenalkan oleh Frege. Selama bertahun-tahun, notasi simbolik untuk kalkulus predikat itu sendiri telah disempurnakan dan dibuat lebih efisien, karena notasi yang baik penting dalam matematika dan logika.
Ontologi zaman kuno Aristoteles
Ilmuwan menjadi tertarik pada karya pemikir ketika mereka mulai menggunakan metode Slinin dalam interpretasi mereka. Buku ini menyajikan teori-teori logika klasik dan modal. Bagian penting dari konsep tersebut adalah reduksi ke CNF dalam logika simbolik dari rumus logika proposisi. Singkatan itu berarti konjungsi atau disjungsi variabel.
Slinin Ya. A. menyarankan bahwa negasi kompleks, yang memerlukan pengurangan rumus berulang, harus diubah menjadi subformula. Dengan demikian, ia mengubah beberapa nilai menjadi lebih minimal dan memecahkan masalah dalam versi singkat. Bekerja dengan negasi direduksi menjadi formula de Morgan. Hukum yang menyandang nama De Morgan adalah sepasang teorema terkait yang memungkinkan untuk mengubah pernyataan dan rumus menjadi alternatif dan seringkali lebih nyaman. Hukumnya adalah sebagai berikut:
- Negasi (atau inkonsistensi) disjungsi sama dengan gabungan negasi alternatif – p atau q tidak sama dengan p dan bukan q atau secara simbolis ~ (p q) ≡ ~p ~q.
- Negasi konjungsi sama dengan disjungsi negasi konjungsi asal, yaitu not (p dan q) tidak sama dengan not p atau not q, atau secara simbolis ~ (p q) ≡ ~p ~q.
Berkat data awal ini, banyak matematikawan mulai menerapkan rumus untuk memecahkan masalah logika yang kompleks. Banyak orang tahu bahwa ada mata kuliah yang mempelajari bidang persilangan fungsi. Dan interpretasi matriks juga didasarkan pada rumus logika. Apa inti dari logika dalam hubungan aljabar? Ini adalah fungsi linier level, ketika Anda dapat menempatkan ilmu angka dan filsafat pada mangkuk yang sama sebagai area penalaran yang "tidak berjiwa" dan tidak menguntungkan. Meskipun E. Kant berpikir sebaliknya, menjadi seorang matematikawan dan filsuf. Dia mencatat bahwa filsafat tidak ada artinya sampai terbukti sebaliknya. Dan buktinya harus kuat secara ilmiah. Dan kebetulan filsafat mulai memiliki arti penting berkatcocok dengan sifat sebenarnya dari angka dan perhitungan.
Penerapan logika dalam sains dan dunia material realitas
Para filsuf biasanya tidak menerapkan ilmu penalaran logis hanya untuk beberapa proyek pasca-gelar yang ambisius (biasanya dengan spesialisasi tingkat tinggi, seperti menambah ilmu sosial, psikologi, atau kategorisasi etis). Adalah paradoks bahwa ilmu filsafat "melahirkan" metode penghitungan kebenaran dan kepalsuan, tetapi para filsuf sendiri tidak menggunakannya. Jadi untuk siapa silogisme matematika yang jelas dibuat dan diubah?
- Pemrogram dan insinyur menggunakan logika simbolik (yang tidak jauh berbeda dari aslinya) untuk mengimplementasikan program komputer dan bahkan mendesain papan.
- Dalam kasus komputer, logika telah menjadi cukup kompleks untuk menangani banyak panggilan fungsi, serta memajukan matematika dan memecahkan masalah matematika. Sebagian besar didasarkan pada pengetahuan tentang pemecahan masalah matematika dan probabilitas yang dikombinasikan dengan aturan logis eliminasi, ekstensi, dan reduksi.
- Bahasa komputer tidak dapat dengan mudah dipahami untuk bekerja secara logis dalam batas pengetahuan matematika dan bahkan melakukan fungsi khusus. Sebagian besar bahasa komputer mungkin dipatenkan atau hanya dipahami oleh komputer. Pemrogram sekarang sering membiarkan komputer melakukan tugas logika dan menyelesaikannya.
Dalam perjalanan prasyarat tersebut, banyak ilmuwan menganggap penciptaan materi maju bukan untuk kepentingan ilmu pengetahuan, tetapi untukkemudahan penggunaan media dan teknologi. Mungkin sebentar lagi logika akan meresap ke dalam bidang ekonomi, bisnis, dan bahkan kuantum "bermuka dua", yang berperilaku seperti atom dan gelombang.
Logika kuantum dalam praktik analisis matematika modern
Logika kuantum (QL) dikembangkan sebagai upaya untuk membangun struktur proposisional yang memungkinkan penggambaran peristiwa menarik dalam mekanika kuantum (QM). QL menggantikan struktur boolean, yang tidak cukup untuk mewakili alam atom, meskipun cocok untuk wacana fisika klasik.
Struktur matematika dari bahasa proposisional tentang sistem klasik adalah himpunan pangkat, sebagian diurutkan oleh himpunan inklusi, dengan sepasang operasi yang mewakili serikat dan disjungsi.
Aljabar ini konsisten dengan wacana fenomena klasik dan relativistik, tetapi tidak sesuai dengan teori yang melarang, misalnya, memberikan nilai kebenaran simultan. Usulan para pendiri QL dibuat untuk menggantikan struktur Boolean logika klasik dengan struktur yang lebih lemah yang akan melemahkan sifat distributif dari konjungsi dan disjungsi.
Melemahnya penetrasi simbolik yang sudah mapan: apakah kebenaran benar-benar dibutuhkan dalam matematika sebagai ilmu pasti
Dalam perkembangannya, logika kuantum mulai merujuk tidak hanya ke tradisional, tetapi juga ke beberapa bidang penelitian modern yang mencoba memahami mekanika dari sudut pandang logis. beberapapendekatan kuantum untuk memperkenalkan berbagai strategi dan masalah yang dibahas dalam literatur mekanika kuantum. Bila memungkinkan, rumus yang tidak perlu dihilangkan untuk memberikan pemahaman konsep yang intuitif sebelum memperoleh atau memperkenalkan matematika terkait.
Sebuah pertanyaan abadi dalam interpretasi mekanika kuantum adalah apakah penjelasan klasik fundamental untuk fenomena mekanika kuantum tersedia. Logika kuantum telah memainkan peran besar dalam membentuk dan menyempurnakan diskusi ini, khususnya memungkinkan kita untuk cukup tepat tentang apa yang kita maksud dengan penjelasan klasik. Sekarang dimungkinkan untuk menetapkan dengan akurat teori mana yang dapat dianggap andal, dan mana yang merupakan kesimpulan logis dari penilaian matematis.
