Saat mempelajari sifat-sifat persamaan kuadrat, pembatasan ditetapkan - untuk diskriminan kurang dari nol, tidak ada solusi. Segera ditetapkan bahwa kita berbicara tentang satu set bilangan real. Pikiran ingin tahu seorang ahli matematika akan tertarik - apa rahasia yang terkandung dalam klausa tentang nilai nyata?
Seiring waktu, matematikawan memperkenalkan konsep bilangan kompleks, di mana nilai kondisional dari akar kedua dari minus satu diambil sebagai satu unit.
Latar belakang sejarah
Teori matematika berkembang secara berurutan, dari yang sederhana hingga yang kompleks. Mari kita cari tahu bagaimana konsep yang disebut "bilangan kompleks" muncul dan mengapa itu diperlukan.
Sejak dahulu kala, dasar matematika adalah catatan biasa. Para peneliti hanya mengetahui rangkaian nilai alami. Penjumlahan dan pengurangan itu sederhana. Ketika hubungan ekonomi menjadi lebih kompleks, perkalian mulai digunakan alih-alih menambahkan nilai yang sama. Ada operasi terbalik untukperkalian - pembagian.
Konsep bilangan asli membatasi penggunaan operasi aritmatika. Tidak mungkin menyelesaikan semua masalah pembagian pada himpunan nilai bilangan bulat. Bekerja dengan pecahan pertama-tama mengarah pada konsep nilai rasional, dan kemudian ke nilai irasional. Jika untuk rasional dimungkinkan untuk menunjukkan lokasi yang tepat dari titik pada garis, maka untuk irasional tidak mungkin untuk menunjukkan titik seperti itu. Anda hanya dapat memperkirakan intervalnya. Gabungan bilangan rasional dan irasional membentuk himpunan nyata, yang dapat direpresentasikan sebagai garis tertentu dengan skala tertentu. Setiap langkah di sepanjang garis adalah bilangan asli, dan di antara mereka ada nilai rasional dan irasional.
Era matematika teoretis telah dimulai. Perkembangan astronomi, mekanika, fisika membutuhkan solusi persamaan yang semakin kompleks. Secara umum, akar persamaan kuadrat ditemukan. Ketika memecahkan polinomial kubik yang lebih kompleks, para ilmuwan mengalami kontradiksi. Konsep akar pangkat tiga dari negatif masuk akal, tetapi untuk akar kuadrat, ketidakpastian diperoleh. Selain itu, persamaan kuadrat hanya merupakan kasus khusus dari persamaan kubik.
Pada tahun 1545, J. Cardano dari Italia mengusulkan untuk memperkenalkan konsep bilangan imajiner.
Angka ini adalah akar kedua dari minus satu. Istilah bilangan kompleks akhirnya terbentuk hanya tiga ratus tahun kemudian, dalam karya-karya matematikawan terkenal Gauss. Dia mengusulkan secara formal memperluas semua hukum aljabar ke bilangan imajiner. Garis sebenarnya telah diperpanjang kepesawat. Dunia lebih besar.
Konsep dasar
Ingat sejumlah fungsi yang memiliki batasan pada himpunan nyata:
- y=arcsin(x), didefinisikan antara negatif dan positif 1.
- y=ln(x), logaritma desimal masuk akal dengan argumen positif.
- akar kuadrat y=x, dihitung hanya untuk x 0.
Menunjukkan i=(-1), kami memperkenalkan konsep seperti bilangan imajiner, ini akan menghapus semua batasan dari domain definisi fungsi di atas. Ekspresi seperti y=arcsin(2), y=ln(-4), y=(-5) masuk akal di beberapa ruang bilangan kompleks.
Bentuk aljabar dapat ditulis sebagai ekspresi z=x + i×y pada himpunan nilai real x dan y, dan i2 =-1.
Konsep baru menghilangkan semua batasan pada penggunaan fungsi aljabar apa pun dan menyerupai grafik garis lurus dalam koordinat nilai nyata dan imajiner.
Pesawat kompleks
Bentuk geometris bilangan kompleks secara visual memungkinkan kita untuk merepresentasikan banyak propertinya. Pada sumbu Re(z) kita tandai nilai x nyata, pada Im(z) - nilai imajiner y, maka titik z pada bidang akan menampilkan nilai kompleks yang diperlukan.
Definisi:
- Re(z) - sumbu nyata.
- Im(z) - berarti sumbu imajiner.
- z - titik kondisional dari bilangan kompleks.
- Nilai numerik dari panjang vektor dari nol hingga z disebutmodul.
- Sumbu nyata dan imajiner membagi bidang menjadi empat bagian. Dengan nilai positif dari koordinat - seperempat I. Ketika argumen sumbu nyata kurang dari 0, dan sumbu imajiner lebih besar dari 0 - kuartal II. Ketika koordinat negatif - kuartal III. Kuartal terakhir, keempat berisi banyak nilai real positif dan nilai imajiner negatif.
Jadi, pada bidang dengan nilai koordinat x dan y, seseorang selalu dapat memvisualisasikan sebuah titik dari bilangan kompleks. Karakter i diperkenalkan untuk memisahkan bagian nyata dari bagian imajiner.
Properti
- Ketika nilai argumen imajiner adalah nol, kita hanya mendapatkan angka (z=x), yang terletak pada sumbu nyata dan termasuk dalam himpunan nyata.
- Kasus khusus ketika nilai argumen real menjadi nol, ekspresi z=i×y sesuai dengan lokasi titik pada sumbu imajiner.
- Bentuk umum z=x + i×y adalah untuk nilai argumen yang bukan nol. Menunjukkan lokasi titik yang mencirikan bilangan kompleks di salah satu perempat.
Notasi trigonometri
Ingat sistem koordinat kutub dan definisi fungsi trigonometri sin dan cos. Jelas bahwa dengan bantuan fungsi-fungsi ini dimungkinkan untuk menggambarkan lokasi titik mana pun di pesawat. Untuk melakukannya, cukup mengetahui panjang balok kutub dan sudut kemiringan terhadap sumbu nyata.
Definisi. Entri dari bentuk z dikalikan dengan jumlah fungsi trigonometri cos(ϴ) dan bagian imajiner i ×sin(ϴ) disebut bilangan kompleks trigonometri. Di sini penunjukannya adalah sudut kemiringan terhadap sumbu nyata
ϴ=arg(z) dan r=z∣, panjang balok.
Dari definisi dan sifat-sifat fungsi trigonometri, rumus Moivre yang sangat penting berikut ini:
zn =r × (cos(n ×) + i × sin(n ×)).
Dengan menggunakan rumus ini, akan lebih mudah untuk menyelesaikan banyak sistem persamaan yang mengandung fungsi trigonometri. Terutama ketika masalah meningkatkan kekuatan muncul.
Modul dan fase
Untuk melengkapi deskripsi himpunan kompleks, kami mengusulkan dua definisi penting.
Mengetahui teorema Pythagoras, mudah untuk menghitung panjang berkas dalam sistem koordinat kutub.
r=z∣=(x2 + y2), notasi seperti itu pada ruang kompleks disebut " module" dan mencirikan jarak dari 0 ke titik pada bidang.
Sudut kemiringan berkas kompleks terhadap garis nyata biasa disebut fase.
Definisi menunjukkan bahwa bagian nyata dan imajiner dijelaskan menggunakan fungsi siklik. Yaitu:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
Sebaliknya, fase terkait dengan nilai aljabar melalui rumus:
ϴ=arctan(x / y) +, koreksi diperkenalkan untuk memperhitungkan periodisitas fungsi geometris.
rumus Euler
Ahli matematika sering menggunakan bentuk eksponensial. Bilangan bidang kompleks ditulis sebagai ekspresi
z=r × ei×ϴ , yang mengikuti dari rumus Euler.
Catatan ini banyak digunakan untuk perhitungan praktis besaran fisis. Bentuk presentasi dalam bentukbilangan kompleks eksponensial sangat cocok untuk perhitungan teknik, di mana menjadi perlu untuk menghitung sirkuit dengan arus sinusoidal dan perlu untuk mengetahui nilai integral fungsi dengan periode tertentu. Perhitungan itu sendiri berfungsi sebagai alat dalam desain berbagai mesin dan mekanisme.
Tentukan operasi
Seperti yang telah disebutkan, semua hukum aljabar yang bekerja dengan fungsi matematika dasar berlaku untuk bilangan kompleks.
Operasi penjumlahan
Saat menambahkan nilai kompleks, bagian real dan imajinernya juga ditambahkan.
z=z1 + z2 di mana z1 dan z 2 - bilangan kompleks umum. Mengubah ekspresi, setelah membuka tanda kurung dan menyederhanakan notasi, kita mendapatkan argumen nyata x=(x1 + x2), argumen imajiner y=(y 1 + y2).
Pada grafik, terlihat seperti penambahan dua vektor, sesuai dengan aturan genjang yang terkenal.
Operasi pengurangan
Dianggap sebagai kasus khusus penambahan, ketika satu angka positif, yang lain negatif, yaitu terletak di kuartal cermin. Notasi aljabar terlihat seperti perbedaan antara bagian nyata dan imajiner.
z=z1 - z2, atau, dengan mempertimbangkan nilai argumen, mirip dengan penambahan operasi, kami memperoleh nilai nyata x=(x1 - x2) dan imajiner y=(y1- y2).
Perkalian pada bidang kompleks
Menggunakan aturan untuk bekerja dengan polinomial, kami menurunkan rumusuntuk memecahkan bilangan kompleks.
Mengikuti aturan aljabar umum z=z1×z2, jelaskan setiap argumen dan buat daftar yang serupa. Bagian nyata dan imajiner dapat ditulis seperti ini:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
Tampak lebih indah jika kita menggunakan bilangan kompleks eksponensial.
Ekspresinya terlihat seperti ini: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × e iϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
Sederhananya, modul dikalikan dan fase ditambahkan.
Divisi
Saat mempertimbangkan operasi pembagian sebagai kebalikan dari perkalian, kita memperoleh ekspresi sederhana dalam notasi eksponensial. Pembagian nilai z1 dengan z2 adalah hasil dari pembagian modul dan beda fasanya. Secara formal, ketika menggunakan bentuk eksponensial dari bilangan kompleks, akan terlihat seperti ini:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
Dalam bentuk notasi aljabar, operasi pembagian bilangan bidang kompleks ditulis sedikit lebih rumit:
z=z1 / z2.
Mendeskripsikan argumen dan melakukan transformasi polinomial, mudah untuk mendapatkan nilaix=x1 × x2 + y1 × y2, berturut-turut y=x2 × y1 - x1 × y2, bagaimanapun, dalam ruang yang dijelaskan, ekspresi ini masuk akal jika z2 ≠ 0.
Ekstrak root
Semua hal di atas dapat diterapkan ketika mendefinisikan fungsi aljabar yang lebih kompleks - menaikkan pangkat apa pun dan membalikkannya - mengekstraksi akarnya.
Menggunakan konsep umum menaikkan pangkat n, kita mendapatkan definisi:
zn =(r × eiϴ).
Menggunakan properti umum, tulis ulang sebagai:
zn =rn × eiϴ.
Kami mendapat rumus sederhana untuk menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat.
Dari definisi derajat kita mendapatkan konsekuensi yang sangat penting. Perpangkatan genap dari satuan imajiner selalu 1. Setiap pangkat ganjil dari satuan imajiner selalu -1.
Sekarang mari kita pelajari fungsi kebalikannya - mengekstrak akarnya.
Untuk memudahkan notasi, ambil n=2. Akar kuadrat w dari nilai kompleks z pada bidang kompleks C dianggap sebagai ekspresi z=±, valid untuk setiap argumen nyata yang lebih besar dari atau sama dengan nol. Untuk w 0, tidak ada solusi.
Mari kita lihat persamaan kuadrat paling sederhana z2 =1. Dengan menggunakan rumus bilangan kompleks, tulis ulang r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. Dapat dilihat dari catatan bahwa r2 =1 dan=0, oleh karena itu, kami memiliki solusi unik yang sama dengan 1. Tetapi ini bertentangan dengan gagasan bahwa z=-1 juga cocok dengan definisi akar kuadrat.
Mari kita cari tahu apa yang tidak kita perhitungkan. Jika kita mengingat notasi trigonometri, maka kita mengembalikan pernyataan - dengan perubahan periodik pada fase, bilangan kompleks tidak berubah. Misalkan p menyatakan nilai periode, maka kita memiliki r2 × ei2ϴ =ei(0+p), dari mana 2ϴ=0 + p, atau=p / 2. Oleh karena itu, ei0 =1 dan eip/2 =-1. Kami mendapatkan solusi kedua, yang sesuai dengan pemahaman umum tentang akar kuadrat.
Jadi, untuk mencari akar sembarang dari bilangan kompleks, kita akan mengikuti prosedurnya.
- Tulis bentuk eksponensial w=w∣ × ei(arg(w) + pk), k adalah bilangan bulat arbitrer.
- Bilangan yang diinginkan juga direpresentasikan dalam bentuk Euler z=r × eiϴ.
- Gunakan definisi umum dari fungsi ekstraksi akar r ei ϴ =w∣ × ei(arg(w) + pk).
- Dari sifat umum persamaan modul dan argumen, kita tulis rn =w∣ dan nϴ=arg (w) + p×k.
- Catatan akhir dari akar bilangan kompleks dijelaskan dengan rumus z=w∣ × ei ( arg (w) + pk ) / .
- Catatan. Nilai w∣, menurut definisi,adalah bilangan real positif, jadi akar dari sembarang derajat masuk akal.
Field dan konjugasi
Sebagai kesimpulan, kami memberikan dua definisi penting yang tidak terlalu penting untuk menyelesaikan masalah terapan dengan bilangan kompleks, tetapi penting untuk pengembangan teori matematika lebih lanjut.
Ekspresi penjumlahan dan perkalian dikatakan membentuk medan jika memenuhi aksioma untuk setiap elemen dari bidang kompleks z:
- Jumlah kompleks tidak berubah dari perubahan tempat suku kompleks.
- Pernyataan itu benar - dalam ekspresi kompleks, jumlah dua angka apa pun dapat diganti dengan nilainya.
- Ada nilai netral 0 dimana z + 0=0 + z=z benar.
- Untuk setiap z ada kebalikan - z, penambahan yang menghasilkan nol.
- Saat mengubah tempat dari faktor kompleks, produk kompleks tidak berubah.
- Perkalian dua bilangan dapat diganti dengan nilainya.
- Ada nilai netral 1, perkalian yang tidak mengubah bilangan kompleks.
- Untuk setiap z 0, ada kebalikan dari z-1, yang dikalikan dengan 1.
- Mengkalikan jumlah dua angka dengan sepertiga sama dengan operasi mengalikan masing-masing angka dengan angka ini dan menjumlahkan hasilnya.
- 0 1.
Bilangan z1 =x + i×y dan z2 =x - i×y disebut konjugat.
Teorema. Untuk konjugasi, pernyataannya benar:
- Konjugasi jumlah sama dengan jumlah elemen konjugasi.
- Konjugasi hasil kali adalahhasil kali konjugasi.
- Konjugasi konjugasi sama dengan bilangan itu sendiri.
Dalam aljabar umum, sifat seperti itu disebut automorfisme medan.
Contoh
Mengikuti aturan dan rumus bilangan kompleks yang diberikan, Anda dapat dengan mudah mengoperasikannya.
Mari kita perhatikan contoh yang paling sederhana.
Soal 1. Menggunakan persamaan 3y +5 x i=15 - 7i, tentukan x dan y.
Keputusan. Ingat kembali definisi persamaan kompleks, maka 3y=15, 5x=-7. Jadi, x=-7 / 5, y=5.
Tugas 2. Hitung nilai 2 + i28 dan 1 + i135.
Keputusan. Jelas, 28 adalah bilangan genap, dari konsekuensi definisi bilangan kompleks dalam pangkat kita memiliki i28 =1, yang berarti bahwa ekspresi 2 + i 28 =3. Nilai kedua, i135 =-1, lalu 1 + i135 =0.
Tugas 3. Hitung produk dari nilai 2 + 5i dan 4 + 3i.
Keputusan. Dari sifat umum perkalian bilangan kompleks, kita peroleh (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). Nilai baru akan menjadi -7 + 26i.
Tugas 4. Hitung akar persamaan z3 =-i.
Keputusan. Ada beberapa cara untuk menemukan bilangan kompleks. Mari kita pertimbangkan salah satu yang mungkin. Menurut definisi, - i∣=1, fase untuk -i adalah -p / 4. Persamaan aslinya dapat ditulis ulang sebagai r3ei3ϴ =e-p/4+pk, dari mana z=e-p / 12 + pk/3, untuk sembarang bilangan bulat k.
Set solusi memiliki bentuk (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
Mengapa kita membutuhkan bilangan kompleks
Sejarah mengetahui banyak contoh ketika para ilmuwan, yang mengerjakan sebuah teori, bahkan tidak memikirkan penerapan praktis dari hasil mereka. Matematika adalah, pertama-tama, permainan pikiran, kepatuhan yang ketat terhadap hubungan sebab-akibat. Hampir semua konstruksi matematika direduksi menjadi penyelesaian persamaan integral dan diferensial, dan, pada gilirannya, dengan beberapa pendekatan, diselesaikan dengan menemukan akar polinomial. Di sini kita pertama kali menemukan paradoks bilangan imajiner.
Ilmuwan naturalis, memecahkan masalah yang sepenuhnya praktis, menggunakan solusi berbagai persamaan, menemukan paradoks matematika. Penafsiran paradoks ini mengarah pada penemuan yang benar-benar menakjubkan. Sifat ganda gelombang elektromagnetik adalah salah satu contohnya. Bilangan kompleks memainkan peran penting dalam memahami sifat-sifatnya.
Ini, pada gilirannya, telah menemukan aplikasi praktis dalam optik, elektronik radio, energi dan banyak bidang teknologi lainnya. Contoh lain, jauh lebih sulit untuk memahami fenomena fisik. Antimateri diprediksi di ujung pena. Dan hanya bertahun-tahun kemudian, upaya untuk mensintesisnya secara fisik dimulai.
Jangan berpikir bahwa hanya dalam fisika ada situasi seperti itu. Penemuan yang tidak kalah menarik dibuat pada satwa liar, dalam sintesis makromolekul, selama studi kecerdasan buatan. Dan itu semua berkatperluasan kesadaran kita, menjauh dari penambahan dan pengurangan sederhana dari nilai-nilai alam.
