Proyeksi gaya pada sumbu dan bidang. Fisika

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2023-12-17 05:30

Daya adalah salah satu konsep terpenting dalam fisika. Ini menyebabkan perubahan status objek apa pun. Dalam artikel ini, kita akan mempertimbangkan berapa nilainya, gaya apa yang ada, dan juga menunjukkan bagaimana menemukan proyeksi gaya pada sumbu dan pada bidang.

Kekuatan dan arti fisiknya

Dalam fisika, gaya adalah besaran vektor yang menunjukkan perubahan momentum suatu benda per satuan waktu. Definisi ini menganggap kekuatan sebagai karakteristik dinamis. Dari sudut pandang statika, gaya dalam fisika adalah ukuran deformasi elastis atau plastis benda.

Sistem SI internasional menyatakan gaya dalam newton (N). Berapa 1 newton, cara termudah untuk memahami contoh hukum kedua mekanika klasik. Notasi matematikanya adalah sebagai berikut:

F¯=ma¯

Di sini F¯ adalah gaya luar yang bekerja pada benda bermassa m dan menghasilkan percepatan a¯. Definisi kuantitatif satu newton mengikuti rumus: 1 N adalah gaya yang menyebabkan perubahan kecepatan benda bermassa 1 kg sebesar 1 m / s untuk setiap detik.

Contoh Dinamismanifestasi gaya adalah percepatan mobil atau benda jatuh bebas di medan gravitasi bumi.

Manifestasi gaya statis, sebagaimana dicatat, dikaitkan dengan fenomena deformasi. Rumus berikut harus diberikan di sini:

F=PS

F=-kx

Ungkapan pertama menghubungkan gaya F dengan tekanan P yang diberikannya pada beberapa area S. Melalui rumus ini, 1 N dapat didefinisikan sebagai tekanan 1 pascal yang diterapkan pada area 1 m 2^{. Misalnya, kolom udara atmosfer di permukaan laut menekan situs 1 m}2^{dengan gaya 10}5^N!

Ekspresi kedua adalah bentuk klasik dari hukum Hooke. Misalnya, meregangkan atau menekan pegas dengan nilai linier x menyebabkan munculnya gaya lawan F (dalam ekspresi k adalah faktor proporsionalitas).

Kekuatan apa yang ada

Telah ditunjukkan di atas bahwa gaya bisa statis dan dinamis. Di sini kami mengatakan bahwa selain fitur ini, mereka dapat berupa kekuatan kontak atau jarak jauh. Misalnya, gaya gesekan, reaksi pendukung adalah gaya kontak. Alasan kemunculannya adalah validitas prinsip Pauli. Yang terakhir menyatakan bahwa dua elektron tidak dapat menempati keadaan yang sama. Itulah mengapa sentuhan dua atom menyebabkan tolakan.

Gaya jarak jauh muncul sebagai hasil interaksi benda-benda melalui medan pembawa tertentu. Misalnya, seperti gaya gravitasi atau interaksi elektromagnetik. Kedua kekuatan memiliki jangkauan tak terbatas,namun, intensitasnya menurun seiring kuadrat jarak (hukum Coulomb dan gravitasi).

Daya adalah besaran vektor

Setelah membahas arti dari besaran fisis yang dipertimbangkan, kita dapat melanjutkan ke studi masalah proyeksi gaya pada sumbu. Pertama-tama, kami mencatat bahwa kuantitas ini adalah vektor, yaitu ditandai dengan modul dan arah. Kami akan menunjukkan cara menghitung modulus gaya dan arahnya.

Diketahui bahwa vektor apa pun dapat didefinisikan secara unik dalam sistem koordinat yang diberikan jika nilai koordinat awal dan akhir diketahui. Asumsikan bahwa ada beberapa segmen terarah MN¯. Kemudian arah dan modulnya dapat ditentukan dengan menggunakan ekspresi berikut:

MN¯=(x₂-x₁; y₂-y 1_{; z}2_-z1_);

|MN¯|=((x₂-x₁)²+ (y_{2 -y}1₎2^{+ (z}2_-z1 ₎2^).

Di sini, koordinat dengan indeks 2 sesuai dengan titik N, yang berindeks 1 sesuai dengan titik M. Vektor MN¯ diarahkan dari M ke N.

Demi umum, kami telah menunjukkan bagaimana menemukan modulus dan koordinat (arah) dari sebuah vektor dalam ruang tiga dimensi. Rumus serupa tanpa koordinat ketiga berlaku untuk kasus di pesawat.

Jadi, modulus gaya adalah nilai absolutnya, yang dinyatakan dalam newton. Dari sudut pandang geometri, modulus adalah panjang segmen berarah.

Berapa proyeksi gaya padasumbu?

Lebih mudah untuk berbicara tentang proyeksi segmen berarah ke sumbu dan bidang koordinat jika Anda pertama-tama menempatkan vektor yang sesuai di titik asal, yaitu pada titik (0; 0; 0). Misalkan kita memiliki beberapa vektor gaya F¯. Mari kita tempatkan awalannya di titik (0; 0; 0), maka koordinat vektornya dapat ditulis sebagai berikut:

F¯=((x₁- 0); (y₁- 0); (z₁ - 0))=(x₁; y₁; z₁).

Vektor F¯ menunjukkan arah gaya dalam ruang dalam sistem koordinat yang diberikan. Sekarang mari kita menggambar segmen tegak lurus dari ujung F¯ ke masing-masing sumbu. Jarak dari titik potong tegak lurus dengan sumbu yang bersesuaian dengan titik asal disebut proyeksi gaya pada sumbu. Tidak sulit untuk menebak bahwa dalam kasus gaya F¯, proyeksinya pada sumbu x, y dan z adalah x₁, y_{1dan z 1}, masing-masing. Perhatikan bahwa koordinat ini menunjukkan modul proyeksi gaya (panjang segmen).

Sudut antara gaya dan proyeksinya pada sumbu koordinat

Menghitung sudut-sudut ini tidak sulit. Yang diperlukan untuk menyelesaikannya hanyalah pengetahuan tentang sifat-sifat fungsi trigonometri dan kemampuan menerapkan teorema Pythagoras.

Misalnya, mari kita tentukan sudut antara arah gaya dan proyeksinya pada sumbu x. Segitiga siku-siku yang sesuai akan dibentuk oleh sisi miring (vektor F¯) dan kaki (ruas x₁). Kaki kedua adalah jarak dari ujung vektor F¯ ke sumbu x. Sudut antara F¯ dan sumbu x dihitung dengan rumus:

α=arccos(|x₁|/|F¯|)=arccos(x₁/√(x ₁²+y₁²+z₁ 2^)).

Seperti yang Anda lihat, untuk menentukan sudut antara sumbu dan vektor, perlu dan cukup untuk mengetahui koordinat ujung segmen yang diarahkan.

Untuk sudut dengan sumbu lain (y dan z), Anda dapat menulis ekspresi serupa:

β=arccos(|y₁|/|F¯|)=arccos(y₁/√(x 12^+y12^+z 12^));

γ=arccos(|z₁|/|F¯|)=arccos(z₁/√(x 12^+y12^+z 12^)).

Perhatikan bahwa di semua rumus ada modul di pembilangnya, yang menghilangkan tampilan sudut tumpul. Antara gaya dan proyeksi aksialnya, sudut selalu kurang dari atau sama dengan 90^o.

Gaya dan proyeksinya pada bidang koordinat

Definisi proyeksi gaya pada bidang sama dengan pada sumbu, hanya dalam hal ini tegak lurus harus diturunkan bukan pada sumbu, tetapi pada bidang.

Dalam kasus sistem koordinat persegi panjang spasial, kita memiliki tiga bidang yang saling tegak lurus xy (horizontal), yz (vertikal frontal), xz (vertikal lateral). Titik potong dari garis tegak lurus yang dijatuhkan dari ujung vektor ke bidang yang disebutkan adalah:

(x₁; y₁; 0) untuk xy;

(x₁; 0; z₁) untuk xz;

(0; y₁; z₁) untuk zy.

Jika setiap titik yang ditandai terhubung ke titik asal, maka kita mendapatkan proyeksi gaya F¯ ke bidang yang sesuai. Apa modulus gaya, kita tahu. Untuk menemukan modulus setiap proyeksi, Anda perlu menerapkan teorema Pythagoras. Mari kita nyatakan proyeksi pada bidang sebagai F_xy, F_xz dan F_zy. Maka persamaan akan berlaku untuk modul mereka:

F_xy=(x₁²+y₁ 2^);

F_xz=(x₁²+ z₁ 2^);

F_zy=(y₁²+ z₁ ²).

Sudut antara proyeksi ke bidang dan vektor gaya

Dalam paragraf di atas, rumus diberikan untuk modul proyeksi ke bidang vektor yang dipertimbangkan F¯. Proyeksi ini, bersama dengan segmen F¯ dan jarak dari ujungnya ke bidang, membentuk segitiga siku-siku. Oleh karena itu, seperti halnya proyeksi pada sumbu, Anda dapat menggunakan definisi fungsi trigonometri untuk menghitung sudut yang dimaksud. Anda dapat menulis persamaan berikut:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +y}12^{) /√(x}12 +y¹₂+z¹₂));

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +z}12^)/√(x12 +y¹₂+z¹₂));

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(√(y₁²+z₁²)/√(x₁²+y₁² +z₁²)).

Penting untuk dipahami bahwa sudut antara arah gaya F¯ dan proyeksi yang sesuai pada bidang adalah sama dengan sudut antara F¯ dan bidang ini. Jika kita mempertimbangkan masalah ini dari sudut pandang geometri, maka kita dapat mengatakan bahwa segmen berarah F¯ miring terhadap bidang xy, xz dan zy.

Di mana proyeksi gaya digunakan?

Rumus di atas untuk proyeksi gaya pada sumbu koordinat dan bidang tidak hanya menarik secara teoritis. Mereka sering digunakan dalam memecahkan masalah fisik. Proses menemukan proyeksi itu sendiri disebut penguraian gaya menjadi komponen-komponennya. Yang terakhir adalah vektor, yang jumlahnya harus memberikan vektor gaya asli. Dalam kasus umum, adalah mungkin untuk menguraikan gaya menjadi komponen yang berubah-ubah, namun, untuk memecahkan masalah, akan lebih mudah untuk menggunakan proyeksi pada sumbu dan bidang yang tegak lurus.

Masalah di mana konsep proyeksi gaya diterapkan bisa sangat berbeda. Misalnya, hukum kedua Newton yang sama mengasumsikan bahwa gaya luar F¯ yang bekerja pada benda harus diarahkan dengan cara yang sama dengan vektor kecepatan v¯. Jika arah mereka berbeda dalam beberapa sudut, maka, agar persamaan tetap berlaku, seseorang harus menggantinya bukan gaya F¯ itu sendiri, tetapi proyeksinya ke arah v¯.

Selanjutnya, kami akan memberikan beberapa contoh, di mana kami akan menunjukkan cara menggunakan rekamanrumus.

Tugas menentukan proyeksi gaya pada bidang dan sumbu koordinat

Asumsikan bahwa ada beberapa gaya F¯, yang diwakili oleh vektor yang memiliki koordinat akhir dan awal berikut:

(2; 0; 1);

(-1; 4; -1).

Hal ini diperlukan untuk menentukan modulus gaya, serta semua proyeksinya pada sumbu dan bidang koordinat, dan sudut antara F¯ dan setiap proyeksinya.

Mari kita mulai memecahkan masalah dengan menghitung koordinat vektor F¯. Kami memiliki:

F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).

Maka modulus gaya akan menjadi:

|F¯|=(9 + 16 + 4)=29 5, 385 N.

Proyeksi ke sumbu koordinat sama dengan koordinat yang sesuai dari vektor F¯. Mari kita hitung sudut antara mereka dan arah F¯. Kami memiliki:

α=arccos(|-3 |/5, 385) 56, 14^o;

β=arccos(|4|/5, 385) 42, 03^o;

γ=arccos(|-2|/5, 385) 68, 20^o.

Karena koordinat vektor F¯ diketahui, modul proyeksi gaya dapat dihitung pada bidang koordinat. Menggunakan rumus di atas, kita mendapatkan:

F_xy=(9 +16)=5 N;

F_xz=(9 + 4)=3, 606 N;

F_zy=(16 + 4)=4, 472 N.

Akhirnya, tinggal menghitung sudut antara proyeksi yang ditemukan pada bidang dan vektor gaya. Kami memiliki:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) 21, 8^o;

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) 48, 0^o;

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) 33, 9^o.

Jadi, vektor F¯ paling dekat dengan bidang koordinat xy.

Masalah dengan batang geser pada bidang miring

Sekarang mari kita selesaikan masalah fisik di mana konsep proyeksi gaya akan diperlukan. Biarkan sebuah bidang miring kayu diberikan. Sudut kemiringannya terhadap cakrawala adalah 45^o. Di atas pesawat ada balok kayu yang massanya 3 kg. Kita perlu menentukan dengan percepatan berapa batang ini akan bergerak menuruni bidang jika diketahui bahwa koefisien gesekan geser adalah 0,7.

Pertama, mari kita buat persamaan gerak benda. Karena hanya dua gaya yang akan bekerja padanya (proyeksi gravitasi ke bidang dan gaya gesekan), persamaannya akan berbentuk:

F_g- F_f=ma=>

a=(F_g- F_f)/m.

Di sini F_g, F_f masing-masing adalah proyeksi gravitasi dan gesekan. Artinya, tugas direduksi menjadi menghitung nilainya.

Karena sudut kemiringan bidang ke cakrawala adalah 45^o, mudah untuk menunjukkan bahwa proyeksi gravitasi F_gsepanjang permukaan pesawat akan sama dengan: