Dalam kursus sekolah geometri padat, salah satu bangun paling sederhana yang memiliki dimensi bukan nol di sepanjang tiga sumbu spasial adalah prisma segi empat. Pertimbangkan dalam artikel itu jenis gambar apa, unsur apa yang terdiri darinya, dan juga bagaimana Anda dapat menghitung luas permukaan dan volumenya.
Konsep prisma
Dalam geometri, prisma adalah bangun ruang, yang dibentuk oleh dua alas identik dan permukaan samping yang menghubungkan sisi alas tersebut. Perhatikan bahwa kedua basis ditransformasikan menjadi satu sama lain menggunakan operasi terjemahan paralel oleh beberapa vektor. Penetapan prisma ini mengarah pada fakta bahwa semua sisinya selalu jajar genjang.
Jumlah sisi alas bisa sembarang, mulai dari tiga. Ketika jumlah ini cenderung tak terhingga, prisma dengan mulus berubah menjadi silinder, karena alasnya menjadi lingkaran, dan jajaran genjang sisi, yang menghubungkan, membentuk permukaan silinder.
Seperti polihedron lainnya, prisma dicirikan olehsisi (bidang yang mengikat gambar), tepi (bagian di mana dua sisi berpotongan) dan simpul (titik pertemuan tiga sisi, untuk prisma dua di antaranya lateral, dan yang ketiga adalah alasnya). Kuantitas dari tiga unsur yang disebutkan pada gambar tersebut saling berhubungan dengan ekspresi berikut:
P=C + B - 2
Di sini P, C, dan B berturut-turut adalah jumlah rusuk, sisi, dan simpul. Ekspresi ini adalah notasi matematika dari teorema Euler.
Gambar di atas menunjukkan dua buah prisma. Di dasar salah satunya (A) terletak segi enam beraturan, dan sisi-sisinya tegak lurus dengan alasnya. Gambar B menunjukkan prisma lain. Sisi-sisinya tidak lagi tegak lurus dengan alasnya, dan alasnya berbentuk segi lima beraturan.
Apa itu prisma segi empat?
Seperti yang sudah jelas dari uraian di atas, jenis prisma terutama ditentukan oleh jenis poligon yang membentuk alas (kedua alasnya sama, jadi kita bisa membicarakan salah satunya). Jika poligon ini adalah jajar genjang, maka kita mendapatkan prisma segi empat. Jadi, semua sisi prisma jenis ini adalah jajaran genjang. Prisma segi empat memiliki namanya sendiri - paralelepiped.
Jumlah sisi paralelepiped adalah enam, dan setiap sisi memiliki paralel yang serupa. Karena alas kotak adalah dua sisi, empat sisanya adalah lateral.
Jumlah simpul dari paralelepiped adalah delapan, yang mudah dilihat jika kita ingat bahwa simpul prisma hanya terbentuk di simpul poligon dasar (4x2=8). Menerapkan teorema Euler, kita mendapatkan jumlah tepi:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
Dari 12 rusuk, hanya 4 yang terbentuk secara independen di sisi-sisinya. 8 sisanya terletak pada bidang dasar gambar.
Selanjutnya dalam artikel ini kita hanya akan berbicara tentang prisma segi empat.
Jenis paralelepipeds
Jenis klasifikasi pertama adalah fitur jajar genjang yang mendasarinya. Ini mungkin terlihat seperti ini:
- reguler, yang sudutnya tidak sama dengan 90o;
- persegi panjang;
- persegi adalah segi empat beraturan.
Jenis klasifikasi kedua adalah sudut di mana sisi melintasi alas. Dua kasus berbeda dimungkinkan di sini:
- sudut ini tidak lurus, maka prisma disebut miring atau miring;
- sudutnya 90o, maka prisma tersebut berbentuk persegi panjang atau lurus saja.
Jenis klasifikasi ketiga terkait dengan ketinggian prisma. Jika prisma berbentuk persegi panjang, dan alasnya berbentuk persegi atau persegi panjang, maka prisma tersebut disebut balok. Jika alasnya berbentuk persegi, prismanya persegi panjang, dan tingginya sama dengan panjang sisi persegi, maka kita mendapatkan bangun kubus yang terkenal.
Permukaan dan luas prisma
Jumlah semua titik yang terletak pada dua alas prisma(jajar genjang) dan pada sisinya (empat jajaran genjang) membentuk permukaan gambar. Luas permukaan ini dapat dihitung dengan menghitung luas alas dan nilai ini untuk permukaan samping. Kemudian jumlah mereka akan memberikan nilai yang diinginkan. Secara matematis, ini ditulis sebagai berikut:
S=2So+ Sb
Disini So dan Sb masing-masing adalah luas alas dan permukaan samping. Angka 2 sebelum So muncul karena ada dua basa.
Perhatikan bahwa rumus tertulis berlaku untuk semua prisma, dan tidak hanya untuk luas prisma segi empat.
Berguna untuk mengingat bahwa luas jajaran genjang Sp dihitung dengan rumus:
Sp=ah
Di mana simbol a dan h masing-masing menunjukkan panjang salah satu sisinya dan tinggi yang ditarik ke sisi ini.
Luas prisma segi empat dengan alas persegi
Dalam prisma segi empat biasa, alasnya adalah persegi. Untuk kepastian, kami menunjukkan sisinya dengan huruf a. Untuk menghitung luas prisma segi empat biasa, Anda harus mengetahui tingginya. Menurut definisi untuk besaran ini, itu sama dengan panjang tegak lurus yang dijatuhkan dari satu alas ke alas lainnya, yaitu sama dengan jarak di antara keduanya. Mari kita tunjukkan dengan huruf h. Karena semua sisi sisi tegak lurus dengan alas untuk jenis prisma yang ditinjau, tinggi prisma segi empat beraturan akan sama dengan panjang sisi sisinya.
BRumus umum luas permukaan prisma adalah dua suku. Luas alas dalam hal ini mudah dihitung, sama dengan:
So=a2
Untuk menghitung luas permukaan lateral, kami berpendapat sebagai berikut: permukaan ini dibentuk oleh 4 persegi panjang yang identik. Selain itu, sisi masing-masing sama dengan a dan h. Artinya luas Sb akan sama dengan:
Sb=4ah
Perhatikan bahwa hasil kali 4a adalah keliling alas persegi. Jika kita menggeneralisasi ekspresi ini untuk kasus alas sembarang, maka untuk prisma persegi panjang permukaan sisinya dapat dihitung sebagai berikut:
Sb=Poh
Dimana Po adalah keliling alas.
Kembali ke masalah menghitung luas prisma segi empat beraturan, kita dapat menulis rumus akhirnya:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Area paralelepiped miring
Menghitungnya agak lebih sulit daripada yang persegi panjang. Dalam hal ini, luas alas prisma segi empat dihitung menggunakan rumus yang sama dengan jajar genjang. Perubahan menyangkut cara luas permukaan lateral ditentukan.
Untuk melakukannya, gunakan rumus yang sama melalui keliling seperti yang diberikan pada paragraf di atas. Hanya sekarang ini akan memiliki pengganda yang sedikit berbeda. Rumus umum untuk Sb dalam kasus prisma miring adalah:
Sb=Psrc
Di sini c adalah panjang sisi samping gambar. Nilai Psr adalah keliling irisan persegi panjang. Lingkungan ini dibangun sebagai berikut: perlu untuk memotong semua sisi wajah dengan bidang sehingga tegak lurus terhadap semuanya. Persegi panjang yang dihasilkan akan menjadi potongan yang diinginkan.
Gambar di atas menunjukkan contoh kotak miring. Bagian melintangnya membentuk sudut siku-siku dengan sisi-sisinya. Keliling bagian tersebut adalah Psr. Ini dibentuk oleh empat ketinggian jajaran genjang lateral. Untuk prisma segi empat ini, luas permukaan lateral dihitung menggunakan rumus di atas.
Panjang diagonal sebuah balok
Diagonal parallelepiped adalah ruas yang menghubungkan dua simpul yang tidak memiliki sisi persekutuan yang membentuknya. Hanya ada empat diagonal dalam prisma segi empat. Untuk balok dengan persegi panjang di alasnya, panjang semua diagonalnya sama.
Gambar di bawah ini menunjukkan gambar yang sesuai. Segmen merah adalah diagonalnya.
Menghitung panjangnya sangat sederhana, jika Anda ingat teorema Pythagoras. Setiap siswa bisa mendapatkan formula yang diinginkan. Ini memiliki bentuk berikut:
D=(A2+ B2 + C2)
Di sini D adalah panjang diagonal. Karakter yang tersisa adalah panjang sisi kotak.
Banyak orang mengacaukan diagonal dari parallelepiped dengan diagonal sisi-sisinya. Di bawah ini adalah gambar tempat yang diwarnaisegmen mewakili diagonal sisi gambar.
Panjang masing-masing juga ditentukan oleh teorema Pythagoras dan sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat dari panjang sisi yang sesuai.
Volume prisma
Selain luas prisma segi empat beraturan atau jenis prisma lainnya, untuk menyelesaikan beberapa soal geometri juga harus diketahui volumenya. Nilai untuk semua prisma ini dihitung dengan rumus berikut:
V=Soh
Jika prisma berbentuk persegi panjang, maka cukup menghitung luas alasnya dan mengalikannya dengan panjang sisinya untuk mendapatkan volume bangun tersebut.
Jika prisma tersebut adalah prisma segi empat beraturan, maka volumenya adalah:
V=a2h.
Sangat mudah untuk melihat bahwa rumus ini diubah menjadi ekspresi volume kubus jika panjang sisi h sama dengan sisi alas a.
Masalah dengan balok
Untuk mengkonsolidasikan materi yang dipelajari, kita akan memecahkan masalah berikut: ada paralelepiped persegi panjang yang sisinya 3 cm, 4 cm dan 5 cm, perlu menghitung luas permukaan, panjang diagonal, dan volumenya.
Untuk kepastian, kita asumsikan alas bangun datar berbentuk persegi panjang dengan panjang sisi 3 cm dan 4 cm, maka luasnya adalah 12 cm2, dan periode adalah 14 cm. Dengan menggunakan rumus luas permukaan prisma, diperoleh:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm 2
Untuk menentukan panjang diagonal dan volume gambar, Anda dapat langsung menggunakan ekspresi di atas:
D=(32+42+52)=7.071 cm;
V=345=60cm3.
Masalah dengan paralelepiped miring
Gambar di bawah menunjukkan prisma miring. Sisi-sisinya sama: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Luas permukaan gambar ini harus dicari.
Pertama, mari kita tentukan luas alasnya. Gambar tersebut menunjukkan bahwa sudut lancip adalah 50o. Maka luasnya adalah:
So=ha=sin(50o)ba
Untuk menentukan luas permukaan samping, Anda harus mencari keliling persegi panjang yang diarsir. Sisi-sisi persegi panjang ini adalah asin(45o) dan bsin(60o). Maka keliling persegi panjang tersebut adalah:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Total luas permukaan kotak ini adalah:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Kami mengganti data dari kondisi masalah dengan panjang sisi gambar, kami mendapatkan jawabannya:
S=458, 5496 cm3
Dari penyelesaian soal ini dapat diketahui bahwa fungsi trigonometri digunakan untuk menentukan luas bangun miring.
