Persamaan kuadrat sering muncul dalam sejumlah soal matematika dan fisika, sehingga setiap siswa harus dapat menyelesaikannya. Artikel ini merinci metode utama untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, dan juga memberikan contoh penggunaannya.
Persamaan apa yang disebut kuadrat
Pertama-tama, kami akan menjawab pertanyaan paragraf ini untuk lebih memahami tentang apa artikel itu. Jadi, persamaan kuadrat memiliki bentuk umum berikut: c + bx+ax2=0, di mana a, b, c adalah beberapa bilangan, yang disebut koefisien. Di sini a≠0 adalah kondisi wajib, jika tidak, persamaan yang ditunjukkan akan berubah menjadi persamaan linier. Koefisien yang tersisa (b, c) benar-benar dapat mengambil nilai apa pun, termasuk nol. Jadi, ekspresi seperti ax2=0, di mana b=0 dan c=0, atau c+ax2=0, di mana b=0, atau bx+ax2=0, di mana c=0 juga merupakan persamaan kuadrat, yang disebut tidak lengkap, karena koefisien linier b di dalamnya adalah nol atau noladalah istilah bebas c, atau keduanya hilang.
Persamaan di mana a=1 disebut tereduksi, yaitu memiliki bentuk: x2 + /a + (b/a)x=0.
Pemecahan persamaan kuadrat adalah mencari nilai x yang memenuhi persamaannya. Nilai-nilai ini disebut akar. Karena persamaan yang dibahas adalah ekspresi derajat kedua, ini berarti jumlah maksimum akarnya tidak boleh lebih dari dua.
Metode apa untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang ada
Secara umum, ada 4 metode solusi. Nama mereka tercantum di bawah ini:
- Faktor.
- Penambahan pada persegi.
- Menggunakan rumus yang diketahui (melalui diskriminan).
- Metode penyelesaiannya adalah geometris.
Seperti yang Anda lihat dari daftar di atas, tiga metode pertama adalah aljabar, jadi metode ini lebih sering digunakan daripada yang terakhir, yang melibatkan ploting suatu fungsi.
Ada cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta. Ini dapat dimasukkan ke 5 dalam daftar di atas, namun ini tidak dilakukan, karena teorema Vieta adalah konsekuensi sederhana dari metode ke-3.
Kemudian dalam artikel ini kita akan membahas secara lebih rinci nama metode penyelesaian, dan juga memberikan contoh penggunaannya untuk menemukan akar persamaan tertentu.
Metode 1. Pemfaktoran
Untuk metode ini dalam matematika persamaan kuadrat, ada indahnama: faktorisasi. Inti dari metode ini adalah sebagai berikut: persamaan kuadrat harus disajikan sebagai produk dari dua istilah (ekspresi), yang harus sama dengan nol. Setelah representasi seperti itu, Anda dapat menggunakan properti produk, yang akan sama dengan nol hanya jika satu atau lebih (semua) anggotanya adalah nol.
Sekarang perhatikan urutan tindakan spesifik yang perlu dilakukan untuk menemukan akar persamaan:
- Pindahkan semua anggota ke satu bagian ekspresi (misalnya, ke kiri) sehingga hanya 0 yang tersisa di bagian lainnya (kanan).
- Mewakili jumlah suku dalam satu bagian persamaan sebagai produk dari dua persamaan linier.
- Tetapkan setiap ekspresi linier ke nol dan selesaikan.
Seperti yang Anda lihat, algoritma faktorisasi cukup sederhana, namun sebagian besar siswa mengalami kesulitan selama penerapan poin ke-2, jadi kami akan menjelaskannya lebih detail.
Untuk menebak 2 ekspresi linier mana, ketika dikalikan satu sama lain, akan memberikan persamaan kuadrat yang diinginkan, Anda perlu mengingat dua aturan sederhana:
- Koefisien linier dari dua ekspresi linier, ketika dikalikan satu sama lain, akan memberikan koefisien pertama dari persamaan kuadrat, yaitu angka a.
- Suku bebas dari ekspresi linier, jika dikalikan, akan menghasilkan bilangan c dari persamaan yang diinginkan.
Setelah semua jumlah faktor dipilih, mereka harus dikalikan, dan jika mereka memberikan persamaan yang diinginkan, lanjutkan ke langkah 3 dialgoritma di atas, jika tidak, Anda harus mengubah pengali, tetapi Anda perlu melakukan ini agar aturan di atas selalu diikuti.
Contoh penyelesaian dengan metode faktorisasi
Mari kita tunjukkan dengan jelas bagaimana algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah dengan menyusun dan menemukan akar yang tidak diketahui. Biarkan ekspresi arbitrer diberikan, misalnya, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Mari kita beralih ke solusinya, mengamati urutan poin dari 1 hingga 3, yang ditetapkan dalam paragraf artikel sebelumnya.
Item 1. Pindahkan semua suku ke ruas kiri dan susun dalam barisan klasik untuk persamaan kuadrat. Kami memiliki persamaan berikut: 2x+(-8)+x2=0.
Item 2. Kami memecahnya menjadi produk persamaan linier. Karena a=1, dan c=-8, maka kita akan memilih, misalnya, produk seperti itu (x-2)(x+4). Ini memenuhi aturan untuk menemukan faktor yang diharapkan yang ditetapkan dalam paragraf di atas. Jika kita membuka tanda kurung, kita mendapatkan: -8+2x+x2, yaitu, kita mendapatkan ekspresi yang sama persis seperti di sisi kiri persamaan. Ini berarti bahwa kita menebak pengali dengan benar, dan kita dapat melanjutkan ke langkah ke-3 dari algoritma.
Item 3. Samakan setiap faktor dengan nol, kita peroleh: x=-4 dan x=2.
Jika ada keraguan tentang hasilnya, disarankan untuk memeriksa dengan mengganti akar yang ditemukan ke dalam persamaan asli. Dalam hal ini, kita memiliki: 22+22-8=0 dan 2(-4)+(-4)2 -8=0. Akar ditemukan dengan benar.
Jadi, dengan menggunakan metode faktorisasi, kami menemukan bahwa persamaan yang diberikan memiliki dua akar yang berbedamemiliki: 2 dan -4.
Metode 2. Lengkapi dengan kuadrat penuh
Dalam aljabar persamaan kuadrat, metode pengali tidak selalu dapat digunakan, karena dalam hal nilai pecahan dari koefisien persamaan kuadrat, kesulitan muncul dalam penerapan paragraf 2 dari algoritma.
Metode kuadrat penuh, pada gilirannya, bersifat universal dan dapat diterapkan pada persamaan kuadrat jenis apa pun. Esensinya adalah untuk melakukan operasi berikut:
- Suku persamaan yang memuat koefisien a dan b harus dipindahkan ke satu bagian persamaan, dan suku bebas c ke bagian lain.
- Selanjutnya, bagian dari persamaan (kanan dan kiri) harus dibagi dengan koefisien a, yaitu menyajikan persamaan dalam bentuk pengurangan (a=1).
- Jumlah suku-suku dengan koefisien a dan b untuk dinyatakan sebagai kuadrat dari persamaan linier. Karena a \u003d 1, maka koefisien linier akan sama dengan 1, sedangkan untuk suku bebas persamaan linier, maka itu harus sama dengan setengah koefisien linier dari persamaan kuadrat tereduksi. Setelah kuadrat dari ekspresi linier dibuat, perlu untuk menambahkan angka yang sesuai ke sisi kanan persamaan, di mana suku bebas berada, yang diperoleh dengan memperluas kuadrat.
- Ambil akar kuadrat dengan tanda "+" dan "-" dan selesaikan persamaan linier yang sudah diperoleh.
Algoritma yang dijelaskan pada pandangan pertama mungkin dianggap agak rumit, namun, dalam praktiknya lebih mudah diterapkan daripada metode faktorisasi.
Contoh solusi menggunakan komplemen kuadrat penuh
Mari kita berikan contoh persamaan kuadrat untuk melatih penyelesaiannya dengan metode yang dijelaskan pada paragraf sebelumnya. Biarkan persamaan kuadrat -10 - 6x+5x2=0. Kami mulai menyelesaikannya mengikuti algoritma yang dijelaskan di atas.
Item 1. Kami menggunakan metode transfer saat menyelesaikan persamaan kuadrat, kami mendapatkan: - 6x+5x2=10.
Titik 2. Bentuk reduksi dari persamaan ini diperoleh dengan membagi masing-masing anggotanya dengan angka 5 (jika kedua bagian tersebut dibagi atau dikalikan dengan angka yang sama, maka persamaannya akan dipertahankan). Sebagai hasil dari transformasi, kita mendapatkan: x2 - 6/5x=2.
Item 3. Setengah dari koefisien - 6/5 adalah -6/10=-3/5, gunakan angka ini untuk melengkapi kuadrat, kita peroleh: (-3/5+x) 2 . Kami memperluasnya dan suku bebas yang dihasilkan harus dikurangi dari sisi kiri persamaan untuk memenuhi bentuk asli persamaan kuadrat, yang setara dengan menambahkannya ke sisi kanan. Hasilnya, kita mendapatkan: (-3/5+x)2=59/25.
Item 4. Hitung akar kuadrat dengan tanda positif dan negatif dan temukan akarnya: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Dua akar yang ditemukan memiliki nilai berikut: x1=(√59+3)/5 dan x1=(3-√59)/5.
Karena perhitungan yang dilakukan terkait dengan akar, ada kemungkinan besar untuk membuat kesalahan. Oleh karena itu, disarankan untuk memeriksa kebenaran akar x2 dan x1. Kami mendapatkan untuk x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Ganti sekarangx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Dengan demikian, kami telah menunjukkan bahwa akar-akar persamaan yang ditemukan adalah benar.
Metode 3. Penerapan rumus terkenal
Metode penyelesaian persamaan kuadrat ini mungkin yang paling sederhana, karena terdiri dari mensubstitusikan koefisien ke dalam rumus yang diketahui. Untuk menggunakannya, Anda tidak perlu memikirkan menyusun algoritma solusi, cukup mengingat satu rumus saja. Hal ini ditunjukkan pada gambar di atas.
Dalam rumus ini, ekspresi akar (b2-4ac) disebut diskriminan (D). Dari nilainya tergantung pada akar apa yang diperoleh. Ada 3 kasus:
- D>0, maka akar dua persamaan memiliki persamaan real dan berbeda.
- D=0, maka diperoleh akarnya, yang dapat dihitung dari ekspresi x=-b/(a2).
- D<0, maka Anda mendapatkan dua akar imajiner yang berbeda, yang direpresentasikan sebagai bilangan kompleks. Misalnya, bilangan 3-5i adalah kompleks, sedangkan satuan imajiner i memenuhi sifat: i2=-1.
Contoh solusi dengan menghitung diskriminan
Mari kita beri contoh persamaan kuadrat untuk berlatih menggunakan rumus di atas. Cari akar dari -3x2-6+3x+4x=0. Pertama, hitung nilai diskriminannya, kita peroleh: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Sejak diperoleh D<0, berarti akar-akar persamaan yang dipertimbangkan adalah bilangan kompleks. Mari kita temukan dengan mengganti nilai D yang ditemukan ke dalam rumus yang diberikan pada paragraf sebelumnya (juga ditunjukkan pada foto di atas). Didapatkan: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Metode 4. Menggunakan Grafik Fungsi
Ini juga disebut metode grafis untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Harus dikatakan bahwa, sebagai suatu peraturan, ini tidak digunakan untuk kuantitatif, tetapi untuk analisis kualitatif dari persamaan yang sedang dipertimbangkan.
Inti dari metode ini adalah untuk memplot fungsi kuadrat y=f(x), yang merupakan parabola. Kemudian, perlu ditentukan di titik mana parabola memotong sumbu x (X), mereka akan menjadi akar dari persamaan yang sesuai.
Untuk mengetahui apakah parabola akan memotong sumbu X, cukup mengetahui posisi minimum (maksimum) dan arah cabangnya (dapat bertambah atau berkurang). Ada dua sifat dari kurva ini yang perlu diingat:
- Jika a>0 - parabola cabang mengarah ke atas, sebaliknya, jika a<0, maka turun.
- Koordinat minimum (maksimum) parabola selalu x=-b/(2a).
Misalnya, Anda perlu menentukan apakah persamaan -4x+5x2+10=0 memiliki akar. Parabola yang sesuai akan diarahkan ke atas, karena a=5>0. Ekstremnya memiliki koordinat: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Sejak minimum kurva terletak di atas sumbu x (y=9, 2), maka tidak memotong yang terakhir untuk setiapnilai x. Artinya, persamaan yang diberikan tidak memiliki akar real.
Teorema Vieta
Seperti disebutkan di atas, teorema ini merupakan konsekuensi dari metode No. 3, yang didasarkan pada penerapan rumus dengan diskriminan. Inti dari teorema Vieta adalah memungkinkan Anda untuk menghubungkan koefisien persamaan dan akarnya ke dalam persamaan. Mari kita dapatkan persamaan yang sesuai.
Mari kita gunakan rumus untuk menghitung akar melalui diskriminan. Tambahkan dua akar, kita mendapatkan: x1+x2=-b/a. Sekarang mari kita kalikan akarnya satu sama lain: x1x2, setelah serangkaian penyederhanaan kita mendapatkan angka c/a.
Jadi, untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan teorema Vieta, Anda dapat menggunakan dua persamaan yang diperoleh. Jika ketiga koefisien persamaan diketahui, maka akar-akarnya dapat ditemukan dengan menyelesaikan sistem yang sesuai dari kedua persamaan ini.
Contoh penggunaan teorema Vieta
Anda perlu menulis persamaan kuadrat jika Anda tahu bahwa persamaan tersebut memiliki bentuk x2+c=-bx dan akarnya adalah 3 dan -4.
Karena a=1 dalam persamaan yang dipertimbangkan, rumus Vieta akan terlihat seperti: x2+x1=-b dan x 2x1=hal. Mengganti nilai akar yang diketahui, kita mendapatkan: b=1 dan c=-12. Akibatnya, persamaan tereduksi kuadrat yang dipulihkan akan terlihat seperti: x2-12=-1x. Anda dapat mengganti nilai akar ke dalamnya dan memastikan bahwa persamaan tersebut berlaku.
Aplikasi kebalikan dari teorema Vieta, yaitu, perhitungan akar denganbentuk persamaan yang diketahui, memungkinkan bilangan bulat kecil a, b dan c dengan cepat (secara intuitif) menemukan solusi.
