Beberapa soal matematika memerlukan kemampuan menghitung akar kuadrat. Masalah-masalah ini termasuk memecahkan persamaan orde kedua. Dalam artikel ini, kami menyajikan metode yang efektif untuk menghitung akar kuadrat dan menggunakannya saat bekerja dengan rumus untuk akar persamaan kuadrat.
Apa itu akar kuadrat?
Dalam matematika, konsep ini sesuai dengan simbol. Data sejarah mengatakan bahwa itu mulai digunakan untuk pertama kalinya sekitar paruh pertama abad ke-16 di Jerman (karya Jerman pertama tentang aljabar oleh Christoph Rudolf). Para ilmuwan percaya bahwa simbol ini adalah transformasi huruf Latin r (radix berarti "akar" dalam bahasa Latin).
Akar bilangan apa pun sama dengan nilai tersebut, kuadratnya sesuai dengan ekspresi akar. Dalam bahasa matematika, definisi ini akan terlihat seperti ini: x=y jika y2=x.
Akar bilangan positif (x > 0) jugabilangan positif (y > 0), tetapi jika akarnya diambil dari bilangan negatif (x < 0), maka hasilnya sudah menjadi bilangan kompleks, termasuk satuan imajiner i.
Berikut adalah dua contoh sederhana:
√9=3 karena 32 =9; (-9)=3i karena i2=-1.
Rumus iteratif Heron untuk mencari akar kuadrat
Contoh di atas sangat sederhana, dan menghitung akar di dalamnya tidaklah sulit. Kesulitan mulai muncul ketika menemukan nilai akar untuk nilai apa pun yang tidak dapat direpresentasikan sebagai kuadrat dari bilangan asli, misalnya √10, 11, 12, 13, belum lagi fakta bahwa dalam praktiknya diperlukan untuk mencari akar untuk bilangan bukan bilangan bulat: misalnya (12, 15), (8, 5) dan seterusnya.
Dalam semua kasus di atas, metode khusus untuk menghitung akar kuadrat harus digunakan. Saat ini, beberapa metode tersebut dikenal: misalnya, ekspansi dalam deret Taylor, pembagian dengan kolom, dan beberapa lainnya. Dari semua metode yang diketahui, mungkin yang paling sederhana dan paling efektif adalah penggunaan rumus berulang Heron, yang juga dikenal sebagai metode Babilonia untuk menentukan akar kuadrat (ada bukti bahwa orang Babilonia kuno menggunakannya dalam perhitungan praktis mereka).
Biarkan perlu untuk menentukan nilai x. Rumus untuk mencari akar kuadrat adalah sebagai berikut:
an+1=1/2(a+x/a), di mana limn->∞(a)=> x.
Dekripsikan notasi matematika ini. Untuk menghitung x, Anda harus mengambil beberapa nomor a0 (bisa arbitrer, tetapi untuk hasil yang cepat, Anda harus memilihnya sedemikian rupa sehingga (a0) 2 sedekat mungkin dengan x, lalu substitusikan ke dalam rumus akar kuadrat yang ditentukan dan dapatkan nomor baru a1, yang sudah akan lebih dekat ke nilai yang diinginkan. perlu untuk mengganti a1 ke dalam ekspresi dan mendapatkan 2 Prosedur ini harus diulang sampai akurasi yang diperlukan diperoleh.
Contoh penerapan rumus iteratif Heron
Algoritme yang dijelaskan di atas untuk mendapatkan akar kuadrat dari beberapa angka yang diberikan mungkin terdengar cukup rumit dan membingungkan bagi banyak orang, tetapi pada kenyataannya semuanya menjadi lebih sederhana, karena rumus ini menyatu dengan sangat cepat (terutama jika angka keberuntungan dipilih a0).
Mari kita ambil contoh sederhana: kita perlu menghitung 11. Kami memilih a0=3, karena 32=9, yang lebih dekat ke 11 daripada 42=16. Substitusikan ke dalam rumus, kita peroleh:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Tidak ada gunanya melanjutkan perhitungan, karena kita telah memperoleh bahwa a2 dan a3 mulai berbeda hanya pada desimal ke-5 tempat. Jadi, cukup menerapkan hanya 2 kali formula untukhitung 11 hingga dalam 0,0001.
Saat ini, kalkulator dan komputer banyak digunakan untuk menghitung akar, namun, akan berguna untuk mengingat rumus yang ditandai agar dapat menghitung nilai pastinya secara manual.
Persamaan orde kedua
Memahami apa itu akar kuadrat dan kemampuan menghitungnya digunakan saat menyelesaikan persamaan kuadrat. Persamaan ini adalah persamaan dengan satu yang tidak diketahui, bentuk umumnya ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
Di sini c, b dan a adalah beberapa angka, dan a tidak boleh sama dengan nol, dan nilai c dan b dapat sepenuhnya berubah-ubah, termasuk nol.
Setiap nilai x yang memenuhi persamaan yang ditunjukkan pada gambar disebut akarnya (konsep ini tidak boleh disamakan dengan akar kuadrat). Karena persamaan yang dibahas memiliki orde ke-2 (x2), maka akarnya tidak boleh lebih dari dua. Mari kita lihat cara menemukan akar ini nanti di artikel.
Mencari akar persamaan kuadrat (rumus)
Metode penyelesaian jenis persamaan yang dipertimbangkan ini juga disebut universal, atau metode melalui diskriminan. Ini dapat diterapkan pada persamaan kuadrat apa pun. Rumus untuk diskriminan dan akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:
Ini menunjukkan bahwa akar bergantung pada nilai masing-masing dari tiga koefisien persamaan. Apalagi perhitungannyax1 berbeda dari perhitungan x2 hanya dengan tanda sebelum akar kuadrat. Ekspresi radikal, yang sama dengan b2 - 4ac, tidak lebih dari diskriminan dari persamaan yang dipertimbangkan. Diskriminan dalam rumus akar-akar persamaan kuadrat memegang peranan penting karena menentukan jumlah dan jenis penyelesaian. Jadi, jika nol, maka hanya akan ada satu solusi, jika positif, maka persamaan memiliki dua akar real, akhirnya, diskriminan negatif mengarah ke dua akar kompleks x1 dan x 2.
Teorema Vieta atau beberapa sifat akar persamaan orde kedua
Pada akhir abad ke-16, salah satu pendiri aljabar modern, Prancis Francois Viet, mempelajari persamaan orde kedua, dapat memperoleh sifat-sifat akarnya. Secara matematis, mereka dapat ditulis seperti ini:
x1 + x2=-b / a dan x1 x 2=c / a.
Kedua persamaan dapat dengan mudah diperoleh oleh siapa saja, untuk ini hanya perlu melakukan operasi matematika yang sesuai dengan akar yang diperoleh melalui rumus dengan diskriminan.
Kombinasi dari dua ekspresi ini dapat disebut sebagai rumus kedua dari akar persamaan kuadrat, yang memungkinkan untuk menebak solusinya tanpa menggunakan diskriminan. Perlu dicatat di sini bahwa meskipun kedua ekspresi selalu valid, akan lebih mudah untuk menggunakannya untuk menyelesaikan persamaan hanya jika dapat difaktorkan.
Tugas mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh
Mari kita selesaikan masalah matematika di mana kita akan mendemonstrasikan semua teknik yang dibahas dalam artikel. Kondisi dari soal adalah sebagai berikut: Anda perlu menemukan dua angka yang produknya -13, dan jumlahnya 4.
Kondisi ini segera mengingatkan teorema Vieta, menerapkan rumus untuk jumlah akar kuadrat dan produknya, kita menulis:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Dengan asumsi a=1, maka b=-4 dan c=-13. Koefisien ini memungkinkan kita untuk menulis persamaan orde kedua:
x2 - 4x - 13=0.
Gunakan rumus dengan diskriminan, kita mendapatkan akar berikut:
x1, 2=(4 ± D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Yaitu, tugas dikurangi menjadi menemukan nomor 68. Perhatikan bahwa 68=417, maka dengan menggunakan sifat akar kuadrat, kita peroleh: 68=2√17.
Sekarang mari kita gunakan rumus akar kuadrat yang dipertimbangkan: a0=4, maka:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Tidak perlu menghitung a3 karena nilai yang ditemukan hanya berbeda 0,02. Jadi, 68=8,246. Substitusi ke rumus x 1, 2, kita peroleh:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 dan x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Seperti yang Anda lihat, jumlah angka yang ditemukan memang 4, tetapi jika Anda menemukan produk mereka, itu akan sama dengan -12,999, yang memenuhi kondisi soal dengan akurasi 0,001.
