Sifat dan metode untuk mencari akar persamaan kuadrat

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2023-12-17 05:30

Dunia diatur sedemikian rupa sehingga solusi dari sejumlah besar masalah diturunkan untuk menemukan akar persamaan kuadrat. Akar persamaan penting untuk menggambarkan berbagai pola. Ini diketahui bahkan oleh para surveyor Babel kuno. Para astronom dan insinyur juga dipaksa untuk memecahkan masalah seperti itu. Kembali pada abad ke-6 M, ilmuwan India Aryabhata mengembangkan dasar-dasar untuk menemukan akar persamaan kuadrat. Rumus-rumus itu diselesaikan pada abad ke-19.

Konsep umum

Kami mengundang Anda untuk membiasakan diri dengan keteraturan dasar persamaan kuadrat. Secara umum, persamaan dapat ditulis sebagai berikut:

ax2 + bx + c=0, Jumlah akar persamaan kuadrat bisa sama dengan satu atau dua. Analisis cepat dapat dilakukan dengan menggunakan konsep diskriminan:

D=b2 - 4ac

Bergantung pada nilai yang dihitung, kita mendapatkan:

• Saat D > 0 ada dua akar yang berbeda. Rumus umum untuk menentukan akar persamaan kuadrat terlihat seperti (-b± D) / (2a).
• D=0, dalam hal ini akarnya adalah satu dan sesuai dengan nilai x=-b / (2a)
• D < 0, untuk nilai negatif dari diskriminan, tidak ada solusi untuk persamaan.

Catatan: jika diskriminan negatif, persamaan tidak memiliki akar hanya di daerah bilangan real. Jika aljabar diperluas ke konsep akar kompleks, maka persamaan tersebut memiliki solusi.

Mari kita berikan rangkaian tindakan yang mengkonfirmasi rumus untuk mencari akar.

Dari bentuk umum persamaan berikut:

ax2 + bx=-c

Kami mengalikan bagian kanan dan kiri dengan 4a dan menambahkan b2, kami mendapatkan

4a²x² + 4abx + b² =-4ac+b ²

Ubah ruas kiri menjadi kuadrat dari polinomial (2ax + b)². Kami mengekstrak akar kuadrat dari kedua sisi persamaan 2ax + b=-b ± (-4ac + b^{2), mentransfer koefisien b ke sisi kanan, kami mendapatkan:}

2ax=-b ± (-4ac + b2)

Dari sini berikut:

x=(-b ± (b2 - 4ac))

Apa yang diperlukan untuk ditampilkan.

Kasus khusus

Dalam beberapa kasus, solusi masalah dapat disederhanakan. Jadi, untuk koefisien genap b kita mendapatkan rumus yang lebih sederhana.

Dinotasikan k=1/2b, maka rumus bentuk umum akar-akar persamaan kuadrat berbentuk:

x=(-k ± (k2 -ac)) / a

Ketika D=0, kita mendapatkan x=-k / a

Kasus khusus lainnya adalah penyelesaian persamaan dengan a=1.

Untuk bentuk x² + bx + c=0 akarnya adalah x=-k ± (k^{2 - c) dengan diskriminan lebih besar dari 0. Untuk kasus ketika D=0, akar akan ditentukan dengan rumus sederhana: x=-k.}

Gunakan grafik

Setiap orang, tanpa menyadarinya, selalu dihadapkan pada fenomena fisik, kimia, biologi, dan bahkan sosial yang digambarkan dengan baik oleh fungsi kuadrat.

Catatan: kurva yang dibangun berdasarkan fungsi kuadrat disebut parabola.

Berikut adalah beberapa contohnya.

1. Saat menghitung lintasan proyektil, properti pergerakan sepanjang parabola benda yang ditembakkan pada sudut cakrawala digunakan.
2. Sifat parabola untuk mendistribusikan beban secara merata banyak digunakan dalam arsitektur.

Memahami pentingnya fungsi parabola, mari kita cari tahu bagaimana menggunakan grafik untuk menjelajahi sifat-sifatnya, menggunakan konsep "diskriminan" dan "akar persamaan kuadrat".

Bergantung pada nilai koefisien a dan b, hanya ada enam opsi untuk posisi kurva:

1. Diskriminannya positif, tanda a dan b berbeda. Cabang-cabang parabola mencari, persamaan kuadrat memiliki dua solusi.
2. Diskriminan dan koefisien b sama dengan nol, koefisien a lebih besar dari nol. Grafik berada di zona positif, persamaan memiliki 1 akar.
3. Diskriminan dan semua koefisiennya positif. Persamaan kuadrat tidak memiliki solusi.
4. Diskriminan dan koefisien a negatif, b lebih besar dari nol. Cabang-cabang grafik diarahkan ke bawah, persamaan memiliki dua akar.
5. Diskriminan dankoefisien b sama dengan nol, koefisien a negatif. Parabola melihat ke bawah, persamaan memiliki satu akar.
6. Nilai diskriminan dan semua koefisien negatif. Tidak ada solusi, nilai fungsi sepenuhnya berada di zona negatif.

Catatan: opsi a=0 tidak dipertimbangkan, karena dalam kasus ini parabola berdegenerasi menjadi garis lurus.

Semua hal di atas diilustrasikan dengan baik oleh gambar di bawah ini.

Contoh penyelesaian masalah

Kondisi: menggunakan sifat umum, buat persamaan kuadrat yang akar-akarnya sama.

Solusi:

sesuai dengan kondisi soal x₁ =x₂, atau -b + (b^{2- 4ac) / (2a)=-b + (b}2 ^{- 4ac) / (2a). Menyederhanakan notasi:}

-b + (b² - 4ac) / (2a) - (-b - (b² - 4ac) / (2a))=0, buka kurung dan berikan suku-suku sejenis. Persamaan menjadi 2√(b² - 4ac)=0. Pernyataan ini benar jika b² - 4ac=0, maka b ^{2=4ac, maka nilai b=2√(ac) disubstitusikan ke persamaan}

ax² + 2√(ac)x + c=0, dalam bentuk pengurangan kita dapatkan x^{2 + 2√(c / a)x + c=0.}

Jawaban:

untuk a tidak sama dengan 0 dan setiap c, hanya ada satu solusi jika b=2√(c / a).

Persamaan kuadrat, untuk semua kesederhanaannya, sangat penting dalam perhitungan teknik. Hampir semua proses fisik dapat dijelaskan dengan beberapa pendekatan menggunakanfungsi daya orde n. Persamaan kuadrat akan menjadi aproksimasi pertama.