Setiap siswa mengetahui bahwa kuadrat sisi miring selalu sama dengan jumlah kaki, yang masing-masing kuadrat. Pernyataan ini disebut teorema Pythagoras. Ini adalah salah satu teorema paling terkenal dalam trigonometri dan matematika pada umumnya. Pertimbangkan lebih detail.
Konsep segitiga siku-siku
Sebelum melanjutkan untuk mempertimbangkan teorema Pythagoras, di mana kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kaki yang dikuadratkan, kita harus mempertimbangkan konsep dan sifat segitiga siku-siku, yang teoremanya valid.
Segitiga adalah bangun datar dengan tiga sudut dan tiga sisi. Segitiga siku-siku, sesuai namanya, memiliki satu sudut siku-siku, yaitu sudut ini adalah 90o.
Dari sifat-sifat umum semua segitiga, diketahui bahwa jumlah ketiga sudut pada gambar ini adalah 180o, yang berarti bahwa untuk segitiga siku-siku jumlah dua sudut yang tidak siku-siku, adalah 180o -90o=90o. Fakta terakhir berarti bahwa setiap sudut dalam segitiga siku-siku yang bukan sudut siku-siku akan selalu lebih kecil dari 90o.
Sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku disebut sisi miring. Dua sisi lainnya adalah kaki segitiga, mereka bisa sama satu sama lain, atau mereka bisa berbeda. Diketahui dari trigonometri bahwa semakin besar sudut terhadap sisi yang terletak pada segitiga, semakin besar panjang sisi ini. Ini berarti bahwa dalam segitiga siku-siku, sisi miring (berhadapan dengan sudut 90o) akan selalu lebih besar dari kaki-kakinya (berhadapan dengan sudut < 90o).
Notasi matematika dari teorema Pythagoras
Teorema ini mengatakan bahwa kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kaki, yang masing-masing sebelumnya dikuadratkan. Untuk menulis rumusan ini secara matematis, perhatikan sebuah segitiga siku-siku di mana sisi a, b, dan c masing-masing adalah dua kaki dan sisi miring. Dalam hal ini, teorema yang dinyatakan sebagai kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya, dapat dinyatakan dengan rumus berikut: c2=a 2 + b 2. Dari sini, rumus lain yang penting untuk latihan dapat diperoleh: a=(c2 - b2), b=(c 2- a2) dan c=(a2 + b2).
Perhatikan bahwa dalam kasus segitiga sama sisi siku-siku, yaitu, a=b, rumusnya: kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kaki, yang masing-masingkuadrat, secara matematis ditulis sebagai: c2=a2 + b2=2a 2, yang menyiratkan kesetaraan: c=a√2.
Latar belakang sejarah
Teorema Pythagoras, yang mengatakan bahwa kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kaki, yang masing-masing kuadrat, telah diketahui jauh sebelum filsuf Yunani terkenal memperhatikannya. Banyak papirus Mesir kuno, serta tablet tanah liat Babilonia, mengkonfirmasi bahwa orang-orang ini menggunakan properti yang dicatat dari sisi-sisi segitiga siku-siku. Misalnya, salah satu piramida Mesir pertama, Piramida Khafre, yang konstruksinya berasal dari abad ke-26 SM (2000 tahun sebelum kehidupan Pythagoras), dibangun berdasarkan pengetahuan tentang rasio aspek dalam segitiga siku-siku 3x4x5.
Lalu mengapa teorema ini sekarang dinamai menurut bahasa Yunani? Jawabannya sederhana: Pythagoras adalah yang pertama membuktikan teorema ini secara matematis. Tulisan Babilonia dan Mesir yang masih hidup hanya menyebutkan penggunaannya, tetapi tidak memberikan bukti matematis.
Dipercaya bahwa Pythagoras membuktikan teorema yang dibahas dengan menggunakan sifat-sifat segitiga sebangun, yang diperolehnya dengan menggambar tinggi dalam segitiga siku-siku dari sudut 90o ke sisi miring.
Contoh penggunaan teorema Pythagoras
Pertimbangkan masalah sederhana: perlu untuk menentukan panjang tangga miring L, jika diketahui tingginya H=3meter, dan jarak dari dinding tempat tangga bersandar ke kakinya adalah P=2,5 meter.
Dalam hal ini, H dan P adalah kaki, dan L adalah sisi miring. Karena panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya, kita peroleh: L2=H2 + P 2, dari mana L=(H2 + P2)=(3 2 + 2, 5 2)=3,905 meter atau 3 meter dan 90,5 cm.
