Dalam artikel ini, metode dianggap sebagai cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linier (SLAE). Metode ini analitis, yaitu memungkinkan Anda untuk menulis algoritme solusi umum, dan kemudian mengganti nilai dari contoh spesifik di sana. Berbeda dengan metode matriks atau rumus Cramer, saat menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan metode Gauss, Anda juga dapat bekerja dengan solusi yang memiliki banyak solusi. Atau tidak punya sama sekali.
Apa yang dimaksud dengan penyelesaian dengan metode Gauss?
Pertama, kita perlu menuliskan sistem persamaan kita sebagai matriks. Ini terlihat seperti ini. Sistem diambil:
Koefisien ditulis dalam bentuk tabel, dan di sebelah kanan dalam kolom terpisah - anggota bebas. Kolom dengan anggota bebas dipisahkan untuk kenyamanan oleh batang vertikal. Matriks yang menyertakan kolom ini disebut extended.
Selanjutnya, matriks utama dengan koefisien harus direduksi menjadi bentuk segitiga atas. Ini adalah poin utama penyelesaian sistem dengan metode Gauss. Sederhananya, setelah manipulasi tertentu, matriks akan terlihat seperti ini, sehingga hanya ada nol di bagian kiri bawahnya:
Kemudian, jika Anda menulis matriks baru lagi sebagai sistem persamaan, Anda akan melihat bahwa baris terakhir sudah berisi nilai salah satu akar, yang kemudian disubstitusikan ke persamaan di atas, akar lain ditemukan, dan seterusnya.
Ini adalah deskripsi solusi Gaussian dalam istilah yang paling umum. Dan apa yang terjadi jika tiba-tiba sistem tidak memiliki solusi? Atau apakah ada jumlah yang tak terbatas dari mereka? Untuk menjawab pertanyaan ini dan banyak pertanyaan lainnya, perlu dipertimbangkan secara terpisah semua elemen yang digunakan dalam solusi dengan metode Gauss.
Matriks, sifat-sifatnya
Tidak ada makna tersembunyi dalam matriks. Ini hanya cara mudah untuk merekam data untuk operasi selanjutnya. Bahkan anak sekolah tidak perlu takut pada mereka.
Matriks selalu persegi panjang karena lebih nyaman. Bahkan dalam metode Gauss, di mana semuanya bermuara pada membangun matriks segitiga, sebuah persegi panjang muncul di entri, hanya dengan nol di tempat di mana tidak ada angka. Nol dapat dihilangkan, tetapi tersirat.
Matriks memiliki ukuran. "Lebar" adalah jumlah baris (m), "panjang" adalah jumlah kolom (n). Kemudian ukuran matriks A (biasanya digunakan huruf kapital Latin untuk penunjukannya) akan dinotasikan sebagai Am×n. Jika m=n, maka matriks ini persegi, danm=n - urutannya. Dengan demikian, setiap elemen matriks A dapat dilambangkan dengan jumlah baris dan kolomnya: axy; x - nomor baris, ubah [1, m], y - nomor kolom, ubah [1, n].
Dalam metode Gaussian, matriks bukanlah titik utama dari solusi. Pada prinsipnya, semua operasi dapat dilakukan secara langsung dengan persamaan itu sendiri, namun notasinya akan jauh lebih rumit, dan akan lebih mudah untuk membingungkannya.
Kualifikasi
Matriks juga memiliki determinan. Ini adalah fitur yang sangat penting. Mencari tahu artinya sekarang tidak layak, Anda cukup menunjukkan cara menghitungnya, dan kemudian memberi tahu properti matriks apa yang ditentukannya. Cara termudah untuk menemukan determinan adalah melalui diagonal. Diagonal imajiner digambar dalam matriks; elemen yang terletak di masing-masing elemen dikalikan, dan kemudian produk yang dihasilkan ditambahkan: diagonal dengan kemiringan ke kanan - dengan tanda "plus", dengan kemiringan ke kiri - dengan tanda "minus".
Sangat penting untuk dicatat bahwa determinan hanya dapat dihitung untuk matriks persegi. Untuk matriks persegi panjang, Anda dapat melakukan hal berikut: pilih yang terkecil dari jumlah baris dan jumlah kolom (misalkan k), lalu tandai secara acak k kolom dan k baris dalam matriks. Elemen-elemen yang terletak di persimpangan kolom dan baris yang dipilih akan membentuk matriks persegi baru. Jika determinan matriks tersebut adalah bilangan selain nol, maka akan disebut minor dasar dari matriks persegi panjang asli.
Sebelumnyacara memulai penyelesaian sistem persamaan dengan metode Gauss, tidak ada salahnya menghitung determinan. Jika ternyata nol, maka kita dapat segera mengatakan bahwa matriks tersebut memiliki jumlah solusi yang tidak terbatas, atau tidak ada solusi sama sekali. Dalam kasus yang menyedihkan, Anda perlu melangkah lebih jauh dan mencari tahu tentang peringkat matriks.
Klasifikasi sistem
Ada yang namanya pangkat sebuah matriks. Ini adalah orde maksimum dari determinan bukan nolnya (dengan mengingat basis minor, kita dapat mengatakan bahwa rank suatu matriks adalah orde dari basis minor).
Sesuai dengan rank, SLOW dapat dibagi menjadi:
- Bersama. Untuk sistem gabungan, peringkat matriks utama (hanya terdiri dari koefisien) bertepatan dengan peringkat matriks yang diperluas (dengan kolom istilah bebas). Sistem seperti itu memiliki solusi, tetapi tidak harus satu, oleh karena itu, sistem gabungan juga dibagi menjadi:
- - pasti - memiliki solusi unik. Dalam sistem tertentu, peringkat matriks dan jumlah yang tidak diketahui adalah sama (atau jumlah kolom, yang merupakan hal yang sama);
- - tidak terbatas - dengan jumlah solusi yang tidak terbatas. Peringkat matriks dalam sistem tersebut kurang dari jumlah yang tidak diketahui.
- Tidak kompatibel. Untuk sistem seperti itu, peringkat matriks utama dan matriks diperpanjang tidak cocok. Sistem yang tidak kompatibel tidak memiliki solusi.
Metode Gauss bagus karena memungkinkan Anda memperoleh bukti yang tidak ambigu dari inkonsistensi sistem (tanpa menghitung determinan matriks besar) atau solusi umum untuk sistem dengan jumlah solusi tak terhingga.
Transformasi dasar
Sebelumnyabagaimana melanjutkan langsung ke solusi sistem, Anda dapat membuatnya tidak terlalu rumit dan lebih nyaman untuk perhitungan. Ini dicapai melalui transformasi dasar - sehingga implementasinya tidak mengubah jawaban akhir dengan cara apa pun. Perlu dicatat bahwa beberapa transformasi dasar di atas hanya berlaku untuk matriks, yang sumbernya adalah SLAE. Berikut adalah daftar transformasi tersebut:
- Ubah string. Jelas bahwa jika kita mengubah urutan persamaan dalam catatan sistem, maka ini tidak akan mempengaruhi solusi dengan cara apa pun. Oleh karena itu, dimungkinkan juga untuk menukar baris dalam matriks sistem ini, tanpa melupakan, tentu saja, tentang kolom anggota bebas.
- Mengkalikan semua elemen string dengan beberapa faktor. Sangat berguna! Dengan itu, Anda dapat mengurangi angka besar dalam matriks atau menghapus nol. Himpunan solusi, seperti biasa, tidak akan berubah, dan akan menjadi lebih nyaman untuk melakukan operasi lebih lanjut. Yang utama adalah koefisiennya tidak boleh sama dengan nol.
- Hapus garis dengan koefisien proporsional. Ini sebagian mengikuti dari paragraf sebelumnya. Jika dua atau lebih baris dalam matriks memiliki koefisien proporsional, maka ketika mengalikan / membagi salah satu baris dengan koefisien proporsionalitas, diperoleh dua (atau, sekali lagi, lebih) baris yang benar-benar identik, dan Anda dapat menghapus yang ekstra, hanya menyisakan satu.
- Hapus baris nol. Jika dalam proses transformasi sebuah string diperoleh di suatu tempat di mana semua elemen, termasuk anggota bebas, adalah nol, maka string seperti itu dapat disebut nol dan dikeluarkan dari matriks.
- Menambahkan elemen dari satu baris elemen yang lain (menurutkolom yang sesuai) dikalikan dengan beberapa koefisien. Transformasi yang paling tidak jelas dan paling penting dari semuanya. Ada baiknya memikirkannya lebih detail.
Menambahkan string dikalikan dengan faktor
Untuk memudahkan pemahaman, ada baiknya membongkar proses ini selangkah demi selangkah. Dua baris diambil dari matriks:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Katakanlah Anda perlu menambahkan yang pertama dikalikan dengan koefisien "-2" ke yang kedua.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Kemudian baris kedua dalam matriks diganti dengan yang baru, sedangkan yang pertama tetap tidak berubah.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Perlu dicatat bahwa faktor perkalian dapat dipilih sedemikian rupa sehingga, sebagai hasil dari penambahan dua string, salah satu elemen dari string baru sama dengan nol. Oleh karena itu, dimungkinkan untuk mendapatkan persamaan dalam sistem, di mana akan ada satu yang kurang diketahui. Dan jika Anda mendapatkan dua persamaan seperti itu, maka operasi dapat dilakukan lagi dan mendapatkan persamaan yang sudah berisi dua yang lebih sedikit tidak diketahui. Dan jika setiap kali kita beralih ke nol satu koefisien untuk semua baris yang lebih rendah dari yang asli, maka kita dapat, seperti langkah-langkah, turun ke bagian paling bawah matriks dan mendapatkan persamaan dengan satu yang tidak diketahui. Ini disebutselesaikan sistem menggunakan metode Gauss.
Umumnya
Biar ada sistem. Ini memiliki m persamaan dan n akar yang tidak diketahui. Anda dapat menulisnya seperti ini:
Matriks utama dikompilasi dari koefisien sistem. Kolom anggota gratis ditambahkan ke matriks yang diperluas dan dipisahkan oleh bilah untuk memudahkan.
Selanjutnya:
- baris pertama matriks dikalikan dengan koefisien k=(-a21/a11);
- baris modifikasi pertama dan baris kedua matriks ditambahkan;
- bukan baris kedua, hasil penjumlahan dari paragraf sebelumnya dimasukkan ke dalam matriks;
- sekarang koefisien pertama pada baris kedua yang baru adalah a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Sekarang rangkaian transformasi yang sama dilakukan, hanya baris pertama dan ketiga yang terlibat. Oleh karena itu, dalam setiap langkah algoritma, elemen a21 diganti dengan a31. Kemudian semuanya berulang untuk a41, … am1. Hasilnya adalah matriks di mana elemen pertama pada baris [2, m] sama dengan nol. Sekarang Anda harus melupakan baris nomor satu dan melakukan algoritma yang sama mulai dari baris kedua:
- k koefisien=(-a32/a22);
- baris modifikasi kedua ditambahkan ke baris "saat ini";
- hasil penjumlahan disubstitusikan ke baris ketiga, keempat, dan seterusnya, sedangkan baris pertama dan kedua tidak berubah;
- pada baris [3, m] matriks, dua elemen pertama sudah sama dengan nol.
Algoritme harus diulang sampai koefisien k=(-am, m-1/amm muncul). Ini berarti bahwa algoritma terakhir dijalankan hanya untuk persamaan yang lebih rendah. Sekarang matriks terlihat seperti segitiga, atau memiliki bentuk loncatan. Intinya berisi persamaan amn × x =bm. Koefisien dan suku bebas diketahui, dan akarnya dinyatakan melaluinya: x =bm/amn. Akar yang dihasilkan disubstitusikan ke baris atas untuk menemukan xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/amn))÷am-1, n-1. Dan seterusnya dengan analogi: di setiap baris berikutnya ada akar baru, dan, setelah mencapai "puncak" sistem, seseorang dapat menemukan serangkaian solusi [x1, … x]. Ini akan menjadi satu-satunya.
Ketika tidak ada solusi
Jika dalam salah satu baris matriks semua elemen, kecuali suku bebas, sama dengan nol, maka persamaan yang bersesuaian dengan baris ini adalah 0=b. Ini tidak memiliki solusi. Dan karena persamaan tersebut termasuk dalam sistem, maka himpunan solusi dari seluruh sistem adalah kosong, yaitu degenerasi.
Bila ada banyak solusi
Ternyata dalam matriks segitiga tereduksi tidak ada baris dengan satu elemen - koefisien persamaan, dan satu - anggota bebas. Hanya ada string yang, ketika ditulis ulang, akan terlihat seperti persamaan dengan dua atau lebih variabel. Ini berarti bahwa sistem memiliki jumlah solusi yang tak terbatas. Dalam hal ini, jawabannya dapat diberikan dalam bentuk solusi umum. Bagaimana caranya?
Semuavariabel dalam matriks dibagi menjadi dasar dan bebas. Dasar - ini adalah yang berdiri "di tepi" baris dalam matriks bertahap. Sisanya gratis. Dalam solusi umum, variabel dasar ditulis dalam bentuk variabel bebas.
Untuk memudahkan, matriks tersebut pertama-tama ditulis ulang menjadi sistem persamaan. Kemudian di yang terakhir, di mana hanya satu variabel dasar yang tersisa, itu tetap di satu sisi, dan yang lainnya ditransfer ke yang lain. Ini dilakukan untuk setiap persamaan dengan satu variabel dasar. Kemudian, di sisa persamaan, jika memungkinkan, alih-alih variabel dasar, ekspresi yang diperoleh untuk itu diganti. Jika hasilnya kembali berupa ekspresi yang hanya berisi satu variabel dasar, maka hasilnya akan diekspresikan lagi dari sana, dan seterusnya, hingga setiap variabel dasar ditulis sebagai ekspresi dengan variabel bebas. Ini adalah solusi umum dari SLAE.
Anda juga dapat menemukan solusi dasar sistem - berikan variabel bebas nilai apa pun, lalu hitung nilai variabel dasar untuk kasus khusus ini. Ada banyak solusi khusus yang tak terhingga.
Solusi dengan contoh spesifik
Berikut adalah sistem persamaan.
Untuk kenyamanan, lebih baik segera membuat matriksnya
Diketahui bahwa ketika menyelesaikan dengan metode Gauss, persamaan yang sesuai dengan baris pertama akan tetap tidak berubah pada akhir transformasi. Oleh karena itu, akan lebih menguntungkan jika elemen kiri atas matriks adalah yang terkecil - maka elemen pertamasisa baris setelah operasi akan berubah menjadi nol. Ini berarti bahwa dalam matriks yang dikompilasi akan bermanfaat untuk menempatkan baris kedua di tempat yang pertama.
Selanjutnya, Anda perlu mengubah baris kedua dan ketiga sehingga elemen pertama menjadi nol. Untuk melakukan ini, tambahkan ke yang pertama, dikalikan dengan koefisien:
baris kedua: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
baris ketiga: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Sekarang, agar tidak bingung, Anda perlu menulis matriks dengan hasil peralihan antara.
Jelas, matriks seperti itu dapat dibuat lebih mudah dibaca dengan bantuan beberapa operasi. Misalnya, Anda dapat menghapus semua "minus" dari baris kedua dengan mengalikan setiap elemen dengan "-1".
Perlu diperhatikan juga bahwa pada baris ketiga semua elemen adalah kelipatan tiga. Maka kamu bisapotong string dengan angka ini, kalikan setiap elemen dengan "-1/3" (dikurangi - pada saat yang sama untuk menghilangkan nilai negatif).
Terlihat jauh lebih bagus. Sekarang kita perlu meninggalkan baris pertama dan bekerja dengan baris kedua dan ketiga. Tugasnya adalah menambahkan baris kedua ke baris ketiga, dikalikan dengan faktor sedemikian rupa sehingga elemen a32 menjadi nol.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (jika selama beberapa transformasi dalam jawaban ternyata bukan bilangan bulat, disarankan untuk membiarkannya "apa adanya", dalam bentuk pecahan biasa, dan baru kemudian, ketika jawaban diterima, putuskan apakah akan dibulatkan dan diubah ke bentuk lain dari notasi)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
Matriks ditulis lagi dengan nilai baru.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Seperti yang Anda lihat, matriks yang dihasilkan sudah memiliki bentuk bertahap. Oleh karena itu, transformasi sistem lebih lanjut dengan metode Gauss tidak diperlukan. Apa yang dapat dilakukan di sini adalah menghapus koefisien keseluruhan "-1/7" dari baris ketiga.
Sekarang semuanyabaik. Intinya kecil - tulis matriks lagi dalam bentuk sistem persamaan dan hitung akarnya
x + 2y + 4z=12 (1)
7th + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Algoritme di mana akar sekarang akan ditemukan disebut gerakan mundur dalam metode Gauss. Persamaan (3) berisi nilai z:
z=61/9
Selanjutnya, kembali ke persamaan kedua:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
Dan persamaan pertama memungkinkan Anda menemukan x:
x=(12 - 4z - 2 tahun)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Kami memiliki hak untuk menyebut sistem seperti itu bersama, dan bahkan pasti, yaitu, memiliki solusi unik. Jawabannya ditulis dalam bentuk berikut:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Contoh sistem tak tentu
Varian pemecahan sistem tertentu dengan metode Gauss telah dianalisis, sekarang perlu untuk mempertimbangkan kasus jika sistem tidak terbatas, yaitu, banyak solusi yang dapat ditemukan untuk itu.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4- 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
Bentuk sistem itu sendiri sudah mengkhawatirkan, karena jumlah yang tidak diketahui adalah n=5, dan peringkat matriks sistem sudah persis kurang dari angka ini, karena jumlah baris adalah m=4, yaitu, orde terbesar dari determinan kuadrat adalah 4. Jadi,Ada jumlah tak terbatas dari solusi, dan kita harus mencari bentuk umumnya. Metode Gauss untuk persamaan linier memungkinkan Anda melakukan ini.
Pertama, seperti biasa, matriks augmented dikompilasi.
Baris kedua: koefisien k=(-a21/a11)=-3. Di baris ketiga, elemen pertama adalah sebelum transformasi, jadi Anda tidak perlu menyentuh apa pun, Anda harus membiarkannya apa adanya. Baris keempat: k=(-a41/a11)=-5
Mengkalikan elemen-elemen baris pertama dengan masing-masing koefisiennya secara bergantian dan menambahkannya ke baris yang diperlukan, kita mendapatkan matriks dengan bentuk berikut:
Seperti yang Anda lihat, baris kedua, ketiga dan keempat terdiri dari elemen yang proporsional satu sama lain. Baris kedua dan keempat umumnya sama, sehingga salah satunya dapat segera dihilangkan, dan sisanya dikalikan dengan koefisien "-1" dan mendapatkan nomor baris 3. Dan lagi, sisakan salah satu dari dua baris yang identik.
Hasilnya adalah matriks seperti itu. Sistem belum ditulis, di sini perlu untuk menentukan variabel dasar - berdiri di koefisien a11=1 dan a22=1, dan gratis - sisanya.
Hanya ada satu variabel dasar dalam persamaan kedua - x2. Oleh karena itu, dapat dinyatakan dari sana, menulis melalui variabel x3, x4, x5, yang gratis.
Substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke persamaan pertama.
Ternyata persamaan di manasatu-satunya variabel dasar adalah x1. Mari kita lakukan hal yang sama dengan x2.
Semua variabel dasar, yang ada dua, dinyatakan dalam tiga variabel bebas, sekarang Anda dapat menulis jawabannya dalam bentuk umum.
Anda juga dapat menentukan salah satu solusi khusus dari sistem. Untuk kasus seperti itu, sebagai aturan, nol dipilih sebagai nilai untuk variabel bebas. Maka jawabannya adalah:
-16, 23, 0, 0, 0.
Contoh sistem yang tidak konsisten
Pemecahan sistem persamaan yang tidak konsisten dengan metode Gauss adalah yang tercepat. Itu berakhir segera setelah pada salah satu tahap diperoleh persamaan yang tidak memiliki solusi. Artinya, panggung dengan perhitungan akar yang cukup panjang dan suram itu menghilang. Sistem berikut sedang dipertimbangkan:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Seperti biasa, matriks dikompilasi:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Dan direduksi menjadi bentuk langkah:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Setelah transformasi pertama, baris ketiga berisi persamaan bentuk
0=7, tidak ada solusi. Oleh karena itu, sistemtidak konsisten, dan jawabannya adalah himpunan kosong.
Kelebihan dan kekurangan metode
Jika Anda memilih metode mana untuk menyelesaikan SLAE di atas kertas dengan pena, maka metode yang dipertimbangkan dalam artikel ini terlihat paling menarik. Dalam transformasi dasar, jauh lebih sulit untuk menjadi bingung daripada yang terjadi jika Anda harus mencari determinan atau matriks invers yang rumit secara manual. Namun, jika Anda menggunakan program untuk bekerja dengan data jenis ini, misalnya, spreadsheet, maka ternyata program tersebut sudah berisi algoritma untuk menghitung parameter utama matriks - determinan, minor, matriks invers dan transpos, dan sebagainya.. Dan jika Anda yakin bahwa mesin akan menghitung nilai-nilai ini sendiri dan tidak akan membuat kesalahan, lebih baik menggunakan metode matriks atau rumus Cramer, karena penerapannya dimulai dan diakhiri dengan perhitungan determinan dan matriks invers.
Aplikasi
Karena solusi Gaussian adalah sebuah algoritme, dan matriksnya, pada kenyataannya, adalah array dua dimensi, ia dapat digunakan dalam pemrograman. Tetapi karena artikel tersebut memposisikan dirinya sebagai panduan "untuk boneka", harus dikatakan bahwa tempat termudah untuk memasukkan metode ini adalah spreadsheet, misalnya, Excel. Sekali lagi, setiap SLAE yang dimasukkan dalam tabel dalam bentuk matriks akan dianggap oleh Excel sebagai array dua dimensi. Dan untuk operasi dengan mereka, ada banyak perintah yang bagus: penambahan (Anda hanya dapat menambahkan matriks dengan ukuran yang sama!), Perkalian dengan angka, perkalian matriks (juga denganpembatasan tertentu), menemukan matriks terbalik dan ditransposisikan dan, yang paling penting, menghitung determinan. Jika tugas yang memakan waktu ini digantikan oleh satu perintah, akan jauh lebih cepat untuk menentukan peringkat matriks dan, oleh karena itu, menetapkan kompatibilitas atau inkonsistensinya.
