Matriks: Metode Gauss. Perhitungan Matriks Gauss: Contoh

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2023-12-17 05:30

Aljabar linier, yang diajarkan di universitas dalam berbagai spesialisasi, menggabungkan banyak topik kompleks. Beberapa di antaranya terkait dengan matriks, serta solusi sistem persamaan linier dengan metode Gauss dan Gauss-Jordan. Tidak semua siswa berhasil memahami topik ini, algoritma untuk memecahkan berbagai masalah. Mari kita pahami bersama matriks dan metode Gauss dan Gauss-Jordan.

Konsep dasar

Matriks dalam aljabar linier adalah susunan elemen (tabel) persegi panjang. Di bawah ini adalah himpunan elemen yang diapit tanda kurung. Ini adalah matriks. Dari contoh di atas, terlihat bahwa elemen-elemen dalam array persegi panjang tidak hanya berupa angka. Matriks dapat terdiri dari fungsi matematika, simbol aljabar.

Untuk memahami beberapa konsep, mari kita buat matriks A dari elemen a_ij. Indeks bukan hanya huruf: i adalah jumlah baris dalam tabel, dan j adalah jumlah kolom, di area perpotongan tempat elemen beradaa_ij. Jadi, kita melihat bahwa kita memiliki matriks elemen seperti a₁₁, a₂₁, a₁₂, a 22 _{dst. Huruf n menyatakan jumlah kolom, dan huruf m menyatakan jumlah baris. Simbol m × n menunjukkan dimensi matriks. Ini adalah konsep yang mendefinisikan jumlah baris dan kolom dalam array elemen persegi panjang.}

Secara opsional, matriks harus memiliki beberapa kolom dan baris. Dengan dimensi 1 × n, larik elemen adalah baris tunggal, dan dengan dimensi m × 1, larik kolom tunggal. Ketika jumlah baris dan jumlah kolom sama, matriks disebut persegi. Setiap matriks persegi memiliki determinan (det A). Istilah ini mengacu pada nomor yang ditetapkan ke matriks A.

Beberapa konsep penting yang perlu diingat agar berhasil menyelesaikan matriks adalah diagonal utama dan diagonal sekunder. Diagonal utama suatu matriks adalah diagonal yang turun ke sudut kanan tabel dari sudut kiri atas. Diagonal samping mengarah ke sudut kanan atas dari sudut kiri dari bawah.

Tampilan matriks bertahap

Lihat gambar di bawah ini. Di atasnya Anda akan melihat matriks dan diagram. Mari kita berurusan dengan matriks terlebih dahulu. Dalam aljabar linier, matriks semacam ini disebut matriks langkah. Ini memiliki satu properti: jika a_ij adalah elemen bukan-nol pertama pada baris ke-i, maka semua elemen lain dari matriks di bawah dan di sebelah kiri a_ij , adalah nol (yaitu, semua elemen yang dapat diberi nama huruf a_kl, di mana k>i danl<j).

Sekarang perhatikan diagramnya. Ini mencerminkan bentuk melangkah dari matriks. Skema menunjukkan 3 jenis sel. Setiap jenis menunjukkan elemen tertentu:

• sel kosong - nol elemen matriks;
• sel yang diarsir adalah elemen arbitrer yang dapat berupa nol dan bukan nol;
• kotak hitam adalah elemen bukan nol, yang disebut elemen sudut, "langkah" (dalam matriks yang ditunjukkan di sebelahnya, elemen tersebut adalah angka -1, 5, 3, 8).

Saat menyelesaikan matriks, terkadang hasilnya adalah "panjang" langkah lebih besar dari 1. Ini diperbolehkan. Hanya "ketinggian" langkah yang penting. Dalam matriks langkah, parameter ini harus selalu sama dengan satu.

Reduksi matriks ke bentuk langkah

Matriks persegi apa pun dapat dikonversi ke bentuk bertahap. Hal ini dilakukan melalui transformasi dasar. Mereka termasuk:

• mengatur ulang string;
• Menambahkan baris lain ke satu baris, jika perlu dikalikan dengan beberapa angka (Anda juga dapat melakukan operasi pengurangan).

Mari kita pertimbangkan transformasi dasar dalam memecahkan masalah tertentu. Gambar di bawah menunjukkan matriks A, yang perlu direduksi menjadi bentuk bertahap.

Untuk menyelesaikan masalah, kita akan mengikuti algoritma:

• Lebih mudah untuk melakukan transformasi pada matriks denganelemen pertama di sudut kiri atas (yaitu, elemen "terkemuka") adalah 1 atau -1. Dalam kasus kita, elemen pertama di baris atas adalah 2, jadi mari kita tukar baris pertama dan kedua.
• Mari kita lakukan operasi pengurangan, yang mempengaruhi baris 2, 3 dan 4. Kita harus mendapatkan nol di kolom pertama di bawah elemen "terdepan". Untuk mencapai hasil ini: dari elemen garis No. 2, kami secara berurutan mengurangi elemen garis No. 1, dikalikan dengan 2; dari elemen garis No. 3 kami secara berurutan mengurangi elemen garis No. 1, dikalikan dengan 4; dari unsur-unsur garis No. 4 secara berurutan kita kurangi unsur-unsur garis No. 1.
• Selanjutnya, kita akan bekerja dengan matriks terpotong (tanpa kolom 1 dan tanpa baris 1). Elemen "terkemuka" baru, berdiri di persimpangan kolom kedua dan baris kedua, sama dengan -1. Tidak perlu mengatur ulang baris, jadi kami menulis ulang kolom pertama dan baris pertama dan kedua tanpa perubahan. Mari kita lakukan operasi pengurangan untuk mendapatkan nol di kolom kedua di bawah elemen "terkemuka": dari elemen baris ketiga kita secara berurutan mengurangi elemen baris kedua, dikalikan dengan 3; kurangi elemen baris kedua dikalikan dengan 2 dari elemen baris keempat.
• Tetap mengubah baris terakhir. Dari unsur-unsurnya kita kurangi berturut-turut unsur-unsur baris ketiga. Jadi, kami mendapatkan matriks bertahap.

Reduksi matriks ke bentuk langkah digunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linier (SLE) dengan metode Gauss. Sebelum melihat cara ini, mari kita pahami dulu beberapa istilah yang berhubungan dengan SLN.

Matriks dan sistem persamaan linear

Matriks digunakan dalam berbagai ilmu. Dengan menggunakan tabel angka, Anda dapat, misalnya, menyelesaikan persamaan linier yang digabungkan ke dalam sistem menggunakan metode Gauss. Pertama, mari kita berkenalan dengan beberapa istilah dan definisinya, dan juga melihat bagaimana matriks terbentuk dari sistem yang menggabungkan beberapa persamaan linier.

SLU – beberapa persamaan aljabar gabungan dengan pangkat pertama tidak diketahui dan tidak ada istilah produk.

SLE solusi – menemukan nilai yang tidak diketahui, menggantikan persamaan dalam sistem menjadi identitas.

SLE gabungan adalah sistem persamaan yang memiliki setidaknya satu solusi.

SLE tidak konsisten adalah sistem persamaan yang tidak memiliki solusi.

Bagaimana matriks dibentuk berdasarkan sistem yang menggabungkan persamaan linier? Ada konsep-konsep seperti matriks utama dan matriks diperpanjang dari sistem. Untuk mendapatkan matriks utama sistem, semua koefisien untuk yang tidak diketahui harus dimasukkan ke dalam tabel. Matriks yang diperluas diperoleh dengan menambahkan kolom suku bebas ke matriks utama (termasuk elemen yang diketahui yang disamakan dengan setiap persamaan dalam sistem). Anda dapat memahami seluruh proses ini dengan mempelajari gambar di bawah ini.

Hal pertama yang kita lihat pada gambar adalah sistem yang mencakup persamaan linier. Elemen-elemennya: a_ij – koefisien numerik, x_j – nilai yang tidak diketahui, b_i – suku konstan (di mana i=1, 2, …, m, dan j=1, 2, …, n). Elemen kedua dalam gambar adalah matriks utama koefisien. Dari setiap persamaan, koefisien ditulis dalam satu baris. Akibatnya, ada banyak baris dalam matriks karena ada persamaan dalam sistem. Jumlah kolom sama dengan jumlah koefisien terbesar dalam persamaan apa pun. Unsur ketiga pada gambar adalah matriks yang diperbesar dengan kolom suku bebas.

Informasi umum tentang metode Gauss

Dalam aljabar linier, metode Gauss adalah cara klasik untuk menyelesaikan SLE. Itu menyandang nama Carl Friedrich Gauss, yang hidup pada abad ke-18 hingga ke-19. Ini adalah salah satu matematikawan terhebat sepanjang masa. Inti dari metode Gauss adalah melakukan transformasi dasar pada sistem persamaan aljabar linier. Dengan bantuan transformasi, SLE direduksi menjadi sistem ekivalen bentuk segitiga (bertingkat), dari mana semua variabel dapat ditemukan.

Perlu dicatat bahwa Carl Friedrich Gauss bukanlah penemu metode klasik untuk memecahkan sistem persamaan linear. Metode ini ditemukan jauh lebih awal. Deskripsi pertamanya ditemukan dalam ensiklopedia pengetahuan matematikawan Tiongkok kuno, yang disebut "Matematika dalam 9 buku".

Contoh penyelesaian SLE dengan metode Gauss

Mari kita pertimbangkan solusi sistem dengan metode Gauss pada contoh spesifik. Kami akan bekerja dengan SLU yang ditunjukkan pada gambar.

Algoritme pemecahan:

1. Kami akan mereduksi sistem menjadi bentuk langkah dengan langkah langsung dari metode Gauss, tetapi pertama-tamakita akan menyusun matriks diperluas dari koefisien numerik dan anggota bebas.
2. Untuk menyelesaikan matriks menggunakan metode Gaussian (yaitu membawanya ke bentuk bertahap), dari elemen baris kedua dan ketiga, kami mengurangi elemen baris pertama secara berurutan. Kami mendapatkan nol di kolom pertama di bawah elemen "terkemuka". Selanjutnya, kami akan mengubah baris kedua dan ketiga di tempat untuk kenyamanan. Pada elemen baris terakhir, tambahkan elemen baris kedua secara berurutan, dikalikan dengan 3.
3. Sebagai hasil dari perhitungan matriks dengan metode Gauss, kami mendapatkan array elemen bertingkat. Berdasarkan itu, kami akan menyusun sistem persamaan linier baru. Dengan kebalikan dari metode Gauss, kami menemukan nilai dari istilah yang tidak diketahui. Dapat dilihat dari persamaan linier terakhir bahwa x₃ sama dengan 1. Kita substitusikan nilai ini ke baris kedua sistem. Anda mendapatkan persamaan x₂ – 4=–4. Maka x₂ sama dengan 0. Substitusikan x₂ dan x₃ ke dalam persamaan pertama sistem: x 1 _{+ 0 +3=2. Suku yang tidak diketahui adalah -1.}

Jawaban: menggunakan matriks, metode Gaussian, kami menemukan nilai-nilai yang tidak diketahui; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

metode Gauss-Jordan

Dalam aljabar linier ada juga yang namanya metode Gauss-Jordan. Ini dianggap sebagai modifikasi dari metode Gaussian dan digunakan untuk menemukan matriks terbalik, menghitung istilah yang tidak diketahui dari sistem kuadrat dari persamaan linier aljabar. Metode Gauss-Jordan nyaman karena memungkinkan penyelesaian SLE dalam satu langkah (tanpa menggunakan metode langsung dan terbalik).bergerak).

Mari kita mulai dengan istilah "matriks terbalik". Misalkan kita memiliki matriks A. Inversnya adalah matriks A^-1, sedangkan kondisinya harus dipenuhi: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, yaitu produk dari matriks ini sama dengan matriks identitas (elemen dari diagonal utama matriks identitas adalah satu, dan elemen yang tersisa adalah nol).}

Sebuah nuansa penting: dalam aljabar linier ada teorema tentang keberadaan matriks terbalik. Syarat cukup dan perlu untuk keberadaan matriks A^-1 adalah matriks A nonsingular.

Langkah dasar yang menjadi dasar metode Gauss-Jordan:

1. Lihat baris pertama dari matriks tertentu. Metode Gauss-Jordan dapat dimulai jika nilai pertama tidak sama dengan nol. Jika tempat pertama adalah 0, maka tukar baris sehingga elemen pertama memiliki nilai bukan nol (diinginkan bahwa angkanya lebih dekat dengan satu).
2. Bagi semua elemen baris pertama dengan angka pertama. Anda akan berakhir dengan string yang dimulai dengan satu.
3. Dari baris kedua, kurangi baris pertama dikalikan dengan elemen pertama dari baris kedua, yaitu pada akhirnya Anda akan mendapatkan garis yang dimulai dari nol. Lakukan hal yang sama untuk sisa baris. Bagilah setiap baris dengan elemen bukan nol pertamanya untuk mendapatkan 1 secara diagonal.
4. Hasilnya, Anda akan mendapatkan matriks segitiga atas menggunakan metode Gauss - Jordan. Di dalamnya, diagonal utama diwakili oleh unit. Pojok bawah diisi dengan nol, danpojok atas - berbagai nilai.
5. Dari baris kedua dari belakang, kurangi baris terakhir dikalikan dengan koefisien yang diperlukan. Anda harus mendapatkan string dengan nol dan satu. Untuk sisa baris, ulangi tindakan yang sama. Setelah semua transformasi, matriks identitas akan diperoleh.

Contoh mencari matriks invers menggunakan metode Gauss-Jordan

Untuk menghitung matriks terbalik, Anda perlu menulis matriks yang diperbesar A|E dan melakukan transformasi yang diperlukan. Mari kita pertimbangkan contoh sederhana. Gambar di bawah menunjukkan matriks A.

Solusi:

1. Pertama, mari kita cari determinan matriks menggunakan metode Gaussian (det A). Jika parameter ini tidak sama dengan nol, maka matriks akan dianggap nonsingular. Ini akan memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa A pasti memiliki A^-1. Untuk menghitung determinan, kami mengubah matriks ke bentuk bertahap dengan transformasi dasar. Mari kita hitung jumlah K sama dengan jumlah permutasi baris. Kami mengubah garis hanya 1 kali. Mari kita hitung determinannya. Nilainya akan sama dengan produk dari elemen-elemen diagonal utama, dikalikan dengan (–1)^K. Hasil perhitungan: det A=2.
2. Buat matriks yang diperbesar dengan menambahkan matriks identitas ke matriks aslinya. Array elemen yang dihasilkan akan digunakan untuk mencari matriks invers dengan metode Gauss-Jordan.
3. Elemen pertama di baris pertama sama dengan satu. Ini cocok untuk kita, karena tidak perlu mengatur ulang garis dan membagi garis yang diberikan dengan beberapa nomor. Ayo mulai bekerjadengan baris kedua dan ketiga. Untuk mengubah elemen pertama di baris kedua menjadi 0, kurangi baris pertama dikalikan dengan 3 dari baris kedua. Kurangi baris pertama dari baris ketiga (tidak perlu perkalian).
4. Dalam matriks yang dihasilkan, elemen kedua dari baris kedua adalah -4, dan elemen kedua dari baris ketiga adalah -1. Mari kita bertukar garis untuk kenyamanan. Dari baris ketiga, kurangi baris kedua dikalikan 4. Bagi baris kedua dengan -1 dan baris ketiga dengan 2. Kami mendapatkan matriks segitiga atas.
5. Mari kita kurangi baris terakhir dikalikan dengan 4 dari baris kedua, dan baris terakhir dikalikan dengan 5 dari baris pertama. Selanjutnya, kurangi baris kedua dikalikan dengan 2 dari baris pertama. Di sisi kiri kita dapatkan matriks identitas. Di sebelah kanan adalah matriks terbalik.

Contoh penyelesaian SLE dengan metode Gauss-Jordan

Gambar menunjukkan sistem persamaan linier. Diperlukan untuk mencari nilai variabel yang tidak diketahui menggunakan matriks, metode Gauss-Jordan.

Solusi:

1. Mari kita buat matriks yang diperbesar. Untuk melakukan ini, kami akan menempatkan koefisien dan suku bebas dalam tabel.
2. Pecahkan matriks menggunakan metode Gauss-Jordan. Dari baris No. 2 kita kurangi dengan baris No. 1. Dari baris No. 3 kita kurangi dengan baris No. 1 yang sebelumnya dikalikan dengan 2.
3. Tukar baris 2 dan 3.
4. Dari baris 3 kurangi baris 2 dikalikan 2. Bagi hasil baris ketiga dengan -1.
5. Kurangi baris 3 dari baris 2.
6. Kurangi baris 1 dari baris 12 kali -1. Di samping, kami mendapat kolom yang terdiri dari angka 0, 1 dan -1. Dari sini kita menyimpulkan bahwa x₁=0, x₂=1 dan x₃ =-1.

Jika diinginkan, Anda dapat memeriksa kebenaran solusi dengan memasukkan nilai yang dihitung ke dalam persamaan:

• 0 – 1=-1, identitas pertama dari sistem benar;
• 0 + 1 + (-1)=0, identitas kedua dari sistem benar;
• 0 – 1 + (-1)=–2, identitas ketiga dari sistem benar.

Kesimpulan: menggunakan metode Gauss-Jordan, kami telah menemukan solusi yang tepat untuk sistem kuadrat yang menggabungkan persamaan aljabar linier.

Kalkulator online

Kehidupan anak muda saat ini yang belajar di universitas dan mempelajari aljabar linier telah sangat disederhanakan. Beberapa tahun yang lalu, kami harus menemukan solusi untuk sistem menggunakan metode Gauss dan Gauss-Jordan sendiri. Beberapa siswa berhasil mengatasi tugas, sementara yang lain bingung dalam penyelesaian, membuat kesalahan, meminta bantuan teman sekelas. Hari ini, Anda dapat menggunakan kalkulator online saat mengerjakan pekerjaan rumah. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, cari matriks terbalik, program telah ditulis yang menunjukkan tidak hanya jawaban yang benar, tetapi juga menunjukkan kemajuan dalam memecahkan masalah tertentu.

Ada banyak sumber di Internet dengan kalkulator online bawaan. Matriks Gaussian, sistem persamaan diselesaikan oleh program ini dalam beberapa detik. Siswa hanya perlu menentukan parameter yang diperlukan (misalnya, jumlah persamaan,jumlah variabel).