Dalam matematika, ada konsep "kumpulan", serta contoh membandingkan himpunan yang sama satu sama lain. Nama-nama jenis himpunan perbandingan adalah kata-kata berikut: bijeksi, injeksi, surjeksi. Masing-masing dijelaskan secara lebih rinci di bawah ini.
Sebuah bijeksi adalah… apa itu?
Satu grup elemen dari himpunan pertama dicocokkan dengan grup elemen kedua dari set kedua dalam bentuk ini: setiap elemen dari grup pertama dicocokkan secara langsung dengan satu elemen lain dari grup kedua, dan di sana tidak ada situasi dengan kekurangan atau pencacahan elemen dari salah satu atau dari dua kelompok himpunan.
Formulasi properti utama:
- Satu elemen menjadi satu.
- Tidak ada elemen tambahan saat pencocokan dan properti pertama dipertahankan.
- Pemetaan dapat dibalik dengan tetap mempertahankan tampilan umum.
- Bijeksi adalah fungsi yang bersifat injektif dan surjektif.
Penolakan dari sudut pandang ilmiah
Fungsi bijektif persis isomorfisme dalam kategori "set dan set fungsi". Namun, bijeksi tidak selalu isomorfisme untuk kategori yang lebih kompleks. Misalnya, dalam kategori grup tertentu, morfisme harus homomorfisme, karena mereka harus mempertahankan struktur grup. Oleh karena itu, isomorfisme adalah isomorfisme kelompok, yang merupakan homomorfisme bijektif.
Konsep "korespondensi satu-ke-satu" digeneralisasikan ke fungsi parsial, di mana mereka disebut bijeksi parsial, meskipun bijeksi parsial adalah apa yang seharusnya menjadi injeksi. Alasan relaksasi ini adalah bahwa fungsi parsial (benar) tidak lagi didefinisikan untuk bagian dari domainnya. Jadi, tidak ada alasan yang baik untuk membatasi fungsi inversnya menjadi fungsi yang lengkap, yaitu, didefinisikan di mana-mana dalam domainnya. Himpunan semua bijeksi parsial ke himpunan basis yang diberikan disebut semigrup terbalik simetris.
Cara lain untuk mendefinisikan konsep yang sama: perlu dikatakan bahwa bijeksi parsial himpunan dari A ke B adalah sembarang relasi R (fungsi parsial) dengan sifat bahwa R adalah graf bijeksi f:A'→B ' di mana A' adalah himpunan bagian dari A dan B' adalah himpunan bagian dari B.
Bila bijeksi parsial berada pada himpunan yang sama, kadang-kadang disebut transformasi parsial satu-ke-satu. Contohnya adalah transformasi Möbius yang baru saja didefinisikan pada bidang kompleks, bukan penyelesaiannya pada bidang kompleks yang diperluas.
Injeksi
Satu kelompok elemen dari himpunan pertama dicocokkan dengan kelompok elemen kedua dari himpunan kedua dalam bentuk ini: setiap elemen dari kelompok pertama dicocokkan dengan satu elemen lain dari himpunan kedua, tetapi tidak semua mereka diubah menjadi pasangan. Jumlah elemen yang tidak berpasangan tergantung pada perbedaan jumlah elemen ini di setiap himpunan: jika satu set terdiri dari tiga puluh satu elemen, dan yang lain memiliki tujuh lagi, maka jumlah elemen yang tidak berpasangan adalah tujuh. Injeksi diarahkan ke dalam set. Bijeksi dan injeksi serupa, tetapi tidak lebih dari serupa.
Kejutan
Satu kelompok elemen dari himpunan pertama dicocokkan dengan kelompok elemen kedua dari himpunan kedua dengan cara ini: setiap elemen dari grup mana pun membentuk pasangan, bahkan jika ada perbedaan antara jumlah elemen. Oleh karena itu, satu elemen dari satu grup dapat berpasangan dengan beberapa elemen dari grup lain.
Bukan fungsi bijektif, bukan injektif, atau surjektif
Ini adalah fungsi dari bentuk bijektif dan surjektif, tetapi dengan sisa (tidak berpasangan)=> injeksi. Dalam fungsi seperti itu, jelas ada hubungan antara bijeksi dan surjeksi, karena secara langsung mencakup dua jenis perbandingan himpunan ini. Jadi, totalitas dari semua jenis fungsi ini bukanlah salah satunya yang berdiri sendiri.
Penjelasan semua jenis fungsi
Misalnya, pengamat terpesona oleh hal berikut. Ada lomba memanah. Setiappeserta ingin mengenai target (untuk memudahkan tugas: tepatnya di mana panah mengenai sasaran tidak diperhitungkan). Hanya tiga peserta dan tiga target - ini adalah situs (situs) pertama untuk turnamen. Di bagian selanjutnya, jumlah pemanah dipertahankan, tetapi jumlah target diubah: pada target kedua - empat, pada target berikutnya - juga empat, dan pada target keempat - lima. Setiap peserta menembak setiap target.
- Tempat pertama untuk turnamen. Pemanah pertama hanya mengenai satu sasaran. Yang kedua hanya mengenai satu sasaran. Yang ketiga mengulangi setelah yang lain, dan semua pemanah mencapai target yang berbeda: mereka yang berlawanan dengan mereka. Akibatnya, 1 (pemanah pertama) mengenai target (a), 2 - in (b), 3 - in (c). Ketergantungan berikut diamati: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). Kesimpulannya adalah penilaian bahwa perbandingan himpunan seperti itu adalah bijeksi.
- Platform kedua untuk turnamen. Pemanah pertama hanya mengenai satu sasaran. Yang kedua juga hanya mengenai satu sasaran. Yang ketiga tidak benar-benar mencoba dan mengulangi semuanya setelah yang lain, tetapi kondisinya sama - semua pemanah mencapai target yang berbeda. Tapi, seperti yang disebutkan sebelumnya, sudah ada empat target di platform kedua. Dependensi: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - elemen tak berpasangan dari himpunan. Dalam hal ini, kesimpulannya akan menjadi penilaian bahwa perbandingan yang ditetapkan seperti itu adalah suntikan.
- Tempat ketiga untuk turnamen. Pemanah pertama hanya mengenai satu sasaran. Yang kedua hanya mengenai satu target lagi. Yang ketiga memutuskan untuk menyatukan diri dan mengenai target ketiga dan keempat. Akibatnya, ketergantungan: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Di sini, kesimpulannya adalah penilaian bahwa perbandingan himpunan seperti itu adalah surjeksi.
- Platform keempat untuk turnamen. Dengan yang pertama, semuanya sudah jelas, dia hanya mengenai satu target, di mana akan segera tidak ada ruang untuk pukulan yang sudah membosankan. Sekarang yang kedua mengambil peran sepertiga yang masih baru dan sekali lagi hanya mengenai satu target, mengulangi setelah yang pertama. Yang ketiga terus mengendalikan dirinya dan tidak berhenti memasukkan panahnya ke target ketiga dan keempat. Yang kelima, bagaimanapun, masih di luar kendalinya. Jadi, ketergantungan: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - elemen tidak berpasangan dari kumpulan target. Kesimpulan: perbandingan himpunan seperti itu bukan surjeksi, bukan injeksi, dan bukan bijeksi.
Sekarang membangun bijeksi, injeksi atau surjeksi tidak akan menjadi masalah, serta menemukan perbedaan di antara mereka.
