Dalam matematika, fungsi invers adalah ekspresi yang saling bersesuaian yang berubah menjadi satu sama lain. Untuk memahami apa artinya ini, ada baiknya mempertimbangkan contoh spesifik. Katakanlah kita memiliki y=cos(x). Jika kita mengambil kosinus dari argumen, maka kita dapat menemukan nilai y. Jelas, untuk ini Anda harus memiliki x. Tapi bagaimana jika pemain awalnya diberikan? Di sinilah ia sampai ke inti masalah. Untuk menyelesaikan masalah tersebut, diperlukan penggunaan fungsi invers. Dalam kasus kami, ini adalah arc cosinus.
Setelah semua transformasi, kita mendapatkan: x=arccos(y).
Artinya, untuk menemukan fungsi yang terbalik dengan fungsi yang diberikan, cukup dengan mengungkapkan argumen darinya. Tetapi ini hanya berfungsi jika hasilnya akan memiliki satu nilai (lebih lanjut tentang itu nanti).
Secara umum, fakta ini dapat ditulis sebagai berikut: f(x)=y, g(y)=x.
Definisi
Biarkan f adalah fungsi yang domainnya adalah himpunan X, danrentang nilai adalah himpunan Y. Kemudian, jika ada g yang domainnya melakukan tugas yang berlawanan, maka f dapat dibalik.
Selain itu, dalam hal ini g adalah unik, artinya ada tepat satu fungsi yang memenuhi sifat ini (tidak lebih, tidak kurang). Kemudian disebut fungsi invers, dan secara tertulis dinotasikan sebagai berikut: g(x)=f -1(x).
Dengan kata lain, mereka dapat dilihat sebagai relasi biner. Reversibilitas terjadi hanya ketika satu elemen himpunan sesuai dengan satu nilai dari yang lain.
Tidak selalu ada fungsi invers. Untuk melakukan ini, setiap elemen y Y harus sesuai dengan paling banyak satu x X. Kemudian f disebut satu-ke-satu atau injeksi. Jika f -1 milik Y, maka setiap elemen dari himpunan ini harus sesuai dengan beberapa x X. Fungsi dengan sifat ini disebut surjeksi. Ini berlaku menurut definisi jika Y adalah gambar f, tetapi ini tidak selalu terjadi. Untuk menjadi invers, suatu fungsi harus berupa injeksi dan surjeksi. Ekspresi seperti itu disebut bijeksi.
Contoh: fungsi kuadrat dan akar
Fungsi didefinisikan pada [0,) dan diberikan oleh rumus f (x)=x2.
Maka itu bukan injektif, karena setiap kemungkinan hasil Y (kecuali 0) sesuai dengan dua X yang berbeda - satu positif dan satu negatif, sehingga tidak dapat dibalik. Dalam hal ini, tidak mungkin untuk mendapatkan data awal dari yang diterima, yang bertentanganteori. Ini akan menjadi non-injektif.
Jika domain definisi dibatasi secara kondisional ke nilai non-negatif, maka semuanya akan berfungsi seperti sebelumnya. Maka itu bijektif dan karenanya dapat dibalik. Fungsi invers di sini disebut positif.
Catatan saat masuk
Biarkan penunjukan f -1 (x) dapat membingungkan seseorang, tetapi tidak boleh digunakan seperti ini: (f (x)) - 1 . Ini mengacu pada konsep matematika yang sama sekali berbeda dan tidak ada hubungannya dengan fungsi invers.
Sebagai aturan umum, beberapa penulis menggunakan ekspresi seperti sin-1 (x).
Namun, ahli matematika lain percaya bahwa ini dapat menyebabkan kebingungan. Untuk menghindari kesulitan seperti itu, fungsi trigonometri terbalik sering dilambangkan dengan awalan "busur" (dari busur Latin). Dalam kasus kami, kami berbicara tentang arcsine. Anda juga terkadang dapat melihat awalan "ar" atau "inv" untuk beberapa fungsi lainnya.
