Tidak mungkin banyak orang berpikir apakah mungkin untuk menghitung kejadian yang kurang lebih acak. Secara sederhana, apakah realistis untuk mengetahui sisi dadu mana yang akan jatuh selanjutnya. Pertanyaan inilah yang diajukan oleh dua ilmuwan besar, yang meletakkan dasar bagi ilmu seperti teori probabilitas, di mana probabilitas suatu peristiwa dipelajari secara ekstensif.
Asal usul
Jika Anda mencoba mendefinisikan konsep seperti teori probabilitas, Anda mendapatkan yang berikut: ini adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari keteguhan peristiwa acak. Tentu saja konsep ini tidak benar-benar mengungkapkan esensi keseluruhan, sehingga perlu untuk mempertimbangkannya lebih detail.
Saya ingin memulai dengan pencipta teori. Seperti disebutkan di atas, ada dua di antaranya, yaitu Pierre Fermat dan Blaise Pascal. Merekalah yang termasuk orang pertama yang mencoba menghitung hasil suatu peristiwa dengan menggunakan rumus dan perhitungan matematis. Secara keseluruhan, dasar-dasar ilmu ini muncul sediniAbad Pertengahan. Saat itu, berbagai pemikir dan ilmuwan mencoba menganalisis perjudian, seperti roulette, dadu, dan sebagainya, sehingga membentuk pola dan persentase penurunan angka tertentu. Fondasinya diletakkan pada abad ketujuh belas oleh para ilmuwan yang disebutkan di atas.
Pada awalnya, pekerjaan mereka tidak dapat dikaitkan dengan pencapaian besar di bidang ini, karena semua yang mereka lakukan hanyalah fakta empiris, dan eksperimen diatur secara visual, tanpa menggunakan rumus. Seiring waktu, ternyata mencapai hasil yang luar biasa, yang muncul sebagai hasil dari mengamati lemparan dadu. Alat inilah yang membantu mendapatkan rumus pertama yang dapat dipahami.
Rekanan
Mustahil untuk tidak menyebut orang seperti Christian Huygens, dalam proses mempelajari topik yang disebut "teori probabilitas" (probabilitas suatu peristiwa dibahas secara tepat dalam ilmu ini). Orang ini sangat menarik. Dia, seperti para ilmuwan yang disajikan di atas, mencoba menurunkan keteraturan peristiwa acak dalam bentuk rumus matematika. Patut dicatat bahwa dia tidak melakukan ini bersama dengan Pascal dan Fermat, yaitu, semua karyanya sama sekali tidak bersinggungan dengan pikiran-pikiran ini. Huygens menurunkan konsep dasar teori probabilitas.
Fakta yang menarik adalah bahwa karyanya keluar jauh sebelum hasil karya para pionir, atau lebih tepatnya, dua puluh tahun sebelumnya. Di antara konsep yang ditunjuk, yang paling terkenal adalah:
- konsep peluang sebagai besaran peluang;
- harapan untuk diskritkasus;
- teorema perkalian dan penjumlahan peluang.
Juga tidak mungkin untuk tidak mengingat Jacob Bernoulli, yang juga memberikan kontribusi signifikan untuk mempelajari masalah ini. Melakukan tes sendiri, independen dari siapa pun, ia berhasil menyajikan bukti hukum bilangan besar. Pada gilirannya, para ilmuwan Poisson dan Laplace, yang bekerja pada awal abad kesembilan belas, mampu membuktikan teorema aslinya. Sejak saat inilah teori probabilitas mulai digunakan untuk menganalisis kesalahan dalam pengamatan. Ilmuwan Rusia, atau lebih tepatnya Markov, Chebyshev dan Dyapunov, juga tidak dapat melewati ilmu ini. Berdasarkan pekerjaan yang dilakukan oleh para jenius besar, mereka menetapkan subjek ini sebagai cabang matematika. Angka-angka ini sudah bekerja pada akhir abad kesembilan belas, dan berkat kontribusi mereka, fenomena seperti:
- hukum bilangan besar;
- Teori rantai Markov;
- teorema limit pusat.
Jadi, dengan sejarah lahirnya ilmu pengetahuan dan dengan orang-orang utama yang mempengaruhinya, semuanya kurang lebih jelas. Sekarang saatnya untuk mengkonkretkan semua fakta.
Konsep dasar
Sebelum menyentuh hukum dan teorema, ada baiknya mempelajari konsep dasar teori probabilitas. Acara mengambil peran utama di dalamnya. Topik ini cukup banyak, tetapi tanpa itu tidak mungkin untuk memahami yang lainnya.
Suatu peristiwa dalam teori probabilitas adalah himpunan hasil dari suatu eksperimen. Tidak banyak konsep tentang fenomena ini. Jadi, ilmuwan Lotman,bekerja di bidang ini, mengatakan bahwa dalam hal ini kita berbicara tentang sesuatu yang "terjadi, meskipun mungkin tidak terjadi."
Peristiwa acak (teori probabilitas memberikan perhatian khusus pada mereka) adalah konsep yang menyiratkan secara mutlak setiap fenomena yang memiliki kemampuan untuk terjadi. Atau, sebaliknya, skenario ini mungkin tidak terjadi ketika banyak kondisi terpenuhi. Perlu juga diketahui bahwa peristiwa acaklah yang menangkap seluruh volume fenomena yang telah terjadi. Teori probabilitas menunjukkan bahwa semua kondisi dapat diulang terus-menerus. Perilaku merekalah yang disebut "pengalaman" atau "ujian".
Peristiwa tertentu adalah peristiwa yang 100% terjadi dalam tes yang diberikan. Oleh karena itu, peristiwa yang tidak mungkin adalah peristiwa yang tidak akan terjadi.
Kombinasi sepasang aksi (biasanya kasus A dan kasus B) adalah fenomena yang terjadi secara bersamaan. Mereka ditunjuk sebagai AB.
Jumlah pasangan kejadian A dan B adalah C, dengan kata lain jika paling sedikit salah satunya terjadi (A atau B), maka akan diperoleh C. Rumus dari fenomena yang dijelaskan ditulis sebagai berikut: C=A + B.
Kejadian terputus dalam teori probabilitas menyiratkan bahwa dua kasus saling eksklusif. Mereka tidak pernah bisa terjadi pada saat yang bersamaan. Peristiwa gabungan dalam teori probabilitas adalah antipodenya. Artinya jika A terjadi, maka tidak mengganggu B.
Peristiwa yang berlawanan (teori probabilitas membahasnya dengan sangat rinci) mudah dipahami. Yang terbaik adalah berurusan dengan mereka sebagai perbandingan. Mereka hampir sama dengandan peristiwa yang tidak sesuai dalam teori probabilitas. Tapi perbedaan mereka terletak pada kenyataan bahwa salah satu dari banyak fenomena itu pasti terjadi.
Peristiwa yang setara adalah tindakan yang kemungkinannya sama. Untuk membuatnya lebih jelas, kita dapat membayangkan pelemparan sebuah koin: jatuhnya salah satu sisinya sama kemungkinannya dengan jatuhnya sisi lainnya.
Acara yang menguntungkan lebih mudah dilihat dengan sebuah contoh. Katakanlah ada episode B dan episode A. Yang pertama adalah pelemparan dadu dengan munculnya angka ganjil, dan yang kedua adalah munculnya angka lima pada dadu. Kemudian ternyata A menyukai B.
Peristiwa independen dalam teori probabilitas diproyeksikan hanya pada dua atau lebih kasus dan menyiratkan independensi tindakan apa pun dari yang lain. Misalnya, A adalah hilangnya ekor ketika sebuah koin dilempar, dan B adalah penarikan dongkrak dari geladak. Mereka adalah peristiwa independen dalam teori probabilitas. Dengan momen ini menjadi lebih jelas.
Kejadian tergantung dalam teori probabilitas juga hanya dapat diterima untuk himpunannya. Mereka menyiratkan ketergantungan satu sama lain, yaitu, fenomena B hanya dapat terjadi jika A telah terjadi atau, sebaliknya, belum terjadi, ketika ini adalah kondisi utama untuk B.
Hasil dari percobaan acak yang terdiri dari satu komponen adalah kejadian dasar. Teori probabilitas menjelaskan bahwa ini adalah fenomena yang hanya terjadi sekali.
Rumus dasar
Jadi, konsep "peristiwa", "teori probabilitas",definisi istilah dasar ilmu ini juga diberikan. Sekarang saatnya berkenalan langsung dengan rumus-rumus penting. Ekspresi ini secara matematis mengkonfirmasi semua konsep utama dalam subjek yang sulit seperti teori probabilitas. Probabilitas suatu peristiwa juga memainkan peran besar di sini.
Lebih baik mulai dengan rumus dasar kombinatorik. Dan sebelum melanjutkan ke mereka, ada baiknya mempertimbangkan apa itu.
Kombinatorika pada dasarnya adalah cabang matematika, yang berkaitan dengan studi sejumlah besar bilangan bulat, serta berbagai permutasi dari bilangan itu sendiri dan elemennya, berbagai data, dll., yang mengarah pada munculnya sejumlah kombinasi. Selain teori probabilitas, cabang ini penting untuk statistik, ilmu komputer, dan kriptografi.
Jadi sekarang kita dapat beralih ke penyajian rumus itu sendiri dan mendefinisikannya.
Yang pertama akan menjadi ekspresi untuk jumlah permutasi, terlihat seperti ini:
P_n=n (n - 1) (n - 2)…3 2 1=n!
Persamaan hanya berlaku jika elemen berbeda hanya dalam urutannya.
Sekarang rumus penempatan akan dipertimbangkan, tampilannya seperti ini:
A_n^m=n (n - 1) (n-2) … (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Ungkapan ini tidak hanya berlaku untuk urutan elemen, tetapi juga untuk komposisinya.
Persamaan ketiga dari kombinatorik, dan juga yang terakhir, disebut rumus jumlah kombinasi:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Kombinasi adalah pilihan yang tidak berurutan, dan aturan ini berlaku untuknya.
Ternyata mudah untuk mengetahui rumus kombinatorik, sekarang kita dapat beralih ke definisi klasik tentang probabilitas. Ekspresi ini terlihat seperti ini:
P(A)=m: n.
Dalam rumus ini, m adalah jumlah kondisi yang mendukung kejadian A, dan n adalah jumlah semua hasil elementer dan kemungkinan yang sama.
Ada banyak ekspresi, artikel tidak akan mencakup semuanya, tetapi yang paling penting akan disinggung, seperti, misalnya, probabilitas jumlah peristiwa:
P(A + B)=P(A) + P(B) - teorema ini hanya untuk menambahkan kejadian yang tidak kompatibel;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - dan ini hanya untuk menambahkan yang kompatibel.
Probabilitas menghasilkan acara:
P(A B)=P(A) P(B) – teorema ini untuk kejadian bebas;
(P(A B)=P(A) P(B∣A); P(A B)=P(A) P(A∣B)) - dan ini untuk pecandu
Formula acara mengakhiri daftar. Teori probabilitas memberi tahu kita tentang teorema Bayes, yang terlihat seperti ini:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
Dalam rumus ini, H1, H2, …, H adalah kumpulan hipotesis lengkap.
Mari kita berhenti di sini, kemudian contoh penerapan rumus untuk memecahkan masalah tertentu dari latihan akan dipertimbangkan.
Contoh
Jika Anda mempelajari bagian mana pun dengan cermatmatematika, itu tidak dilakukan tanpa latihan dan solusi sampel. Begitu juga teori probabilitas: peristiwa, contoh di sini adalah komponen integral yang mengkonfirmasi perhitungan ilmiah.
Rumus bilangan permutasi
Katakanlah ada tiga puluh kartu dalam setumpuk kartu, dimulai dengan nilai nominal satu. Pertanyaan selanjutnya. Ada berapa cara untuk menyusun tumpukan sehingga kartu dengan nilai nominal satu dan dua tidak bersebelahan?
Tugas telah ditetapkan, sekarang mari kita lanjutkan untuk menyelesaikannya. Pertama kamu perlu menentukan jumlah permutasi dari tiga puluh elemen, untuk ini kita ambil rumus di atas, ternyata P_30=30!.
Berdasarkan aturan ini, kita akan mengetahui berapa banyak opsi yang ada untuk melipat dek dengan cara yang berbeda, tetapi kita perlu menguranginya dengan kartu pertama dan kedua berikutnya. Untuk melakukan ini, mari kita mulai dengan opsi ketika yang pertama berada di atas yang kedua. Ternyata kartu pertama dapat mengambil dua puluh sembilan tempat - dari yang pertama hingga yang kedua puluh sembilan, dan kartu kedua dari yang kedua hingga yang ketiga puluh, ternyata dua puluh sembilan tempat untuk sepasang kartu. Pada gilirannya, sisanya dapat mengambil dua puluh delapan tempat, dan dalam urutan apa pun. Artinya, untuk permutasi dua puluh delapan kartu, ada dua puluh delapan opsi P_28=28!
Akibatnya, ternyata jika kita mempertimbangkan solusi ketika kartu pertama lebih dari yang kedua, ada 29 28 kemungkinan tambahan!=29!
Menggunakan metode yang sama, Anda perlu menghitung jumlah opsi yang berlebihan untuk kasus ketika kartu pertama berada di bawah yang kedua. Ternyata juga 29 28!=29!
Berikutnya ada 2 29 opsi tambahan!, sementara ada 30 cara yang diperlukan untuk membangun dek! - 2 29!. Tinggal menghitung saja.
30!=29! 30; 30!-2⋅29!=29! (30 - 2)=29! 28
Sekarang Anda perlu mengalikan semua angka dari satu hingga dua puluh sembilan, lalu pada akhirnya kalikan semuanya dengan 28. Jawabannya adalah 2, 4757335 10〗^32
Solusi dari contoh. Rumus Nomor Penempatan
Dalam masalah ini, Anda perlu mencari tahu berapa banyak cara untuk meletakkan lima belas volume di satu rak, tetapi dengan syarat ada tiga puluh volume secara total.
Masalah ini memiliki solusi yang sedikit lebih mudah daripada yang sebelumnya. Menggunakan rumus yang sudah diketahui, perlu untuk menghitung jumlah total lokasi dari tiga puluh volume lima belas.
A_30^15=30 29 28⋅… (30 - 15 + 1)=30 29 28 … 16=202 843 204 931 727 360 000
Jawabannya masing-masing adalah 202 843 204 931 727 360 000.
Sekarang mari kita ambil tugas yang sedikit lebih sulit. Anda perlu mencari tahu berapa banyak cara untuk mengatur tiga puluh buku di dua rak buku, asalkan hanya lima belas volume yang dapat berada di satu rak.
Sebelum memulai solusi, saya ingin mengklarifikasi bahwa beberapa masalah diselesaikan dengan beberapa cara, jadi ada dua cara dalam cara ini, tetapi rumus yang sama digunakan di keduanya.
Dalam soal ini, Anda dapat mengambil jawaban dari yang sebelumnya, karena di sana kami menghitung berapa kali Anda dapat mengisi rak dengan lima belas buku untuk-berbeda. Ternyata A_30^15=30 29 28 … (30 - 15 + 1)=30 29 28 …⋅ 16.
Kita akan menghitung rak kedua menggunakan rumus permutasi, karena di dalamnya terdapat lima belas buku, sedangkan yang tersisa hanya lima belas. Gunakan rumus P_15=15!.
Ternyata totalnya adalah A_30^15 P_15 cara, tetapi, selain itu, produk dari semua angka dari tiga puluh hingga enam belas harus dikalikan dengan produk angka dari satu hingga lima belas, sebagai hasilnya, perkalian semua bilangan dari satu sampai tiga puluh, jadi jawabannya adalah 30!
Tetapi masalah ini dapat diselesaikan dengan cara yang berbeda - lebih mudah. Untuk melakukan ini, Anda dapat membayangkan bahwa ada satu rak untuk tiga puluh buku. Semuanya ditempatkan di pesawat ini, tetapi karena kondisinya mengharuskan ada dua rak, kami memotong satu panjang menjadi dua, ternyata masing-masing dua lima belas. Dari sini ternyata pilihan penempatannya bisa P_30=30!.
Solusi dari contoh. Rumus bilangan kombinasi
Sekarang kita akan mempertimbangkan varian dari masalah ketiga dari kombinatorik. Anda perlu mencari tahu berapa banyak cara untuk menyusun lima belas buku, asalkan Anda harus memilih dari tiga puluh yang benar-benar identik.
Untuk penyelesaiannya tentu saja akan diterapkan rumus jumlah kombinasi. Dari kondisi itu menjadi jelas bahwa urutan lima belas buku yang identik itu tidak penting. Oleh karena itu, awalnya Anda perlu mencari jumlah kombinasi dari tiga puluh buku dari lima belas.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: lima belas !=155 117 520
Itu saja. Menggunakan formula ini, dalam waktu sesingkat mungkinselesaikan soal seperti itu, jawabannya berturut-turut adalah 155 117 520.
Solusi dari contoh. Definisi klasik dari probabilitas
Dengan rumus di atas, Anda dapat menemukan jawaban untuk masalah sederhana. Tetapi akan membantu untuk melihat dan mengikuti tindakan secara visual.
Diberikan dalam soal bahwa ada sepuluh bola yang benar-benar identik di dalam guci. Dari jumlah tersebut, empat berwarna kuning dan enam berwarna biru. Satu bola diambil dari guci. Anda perlu mencari tahu kemungkinan mendapatkan warna biru.
Untuk memecahkan masalah, perlu untuk menetapkan mendapatkan bola biru sebagai peristiwa A. Pengalaman ini dapat memiliki sepuluh hasil, yang, pada gilirannya, adalah dasar dan sama-sama mungkin. Pada saat yang sama, dari sepuluh, enam menguntungkan untuk peristiwa A. Kami menyelesaikannya sesuai dengan rumus:
P(A)=6: 10=0, 6
Dengan menerapkan rumus ini, kami menemukan bahwa peluang terambilnya bola biru adalah 0,6.
Solusi dari contoh. Peluang jumlah kejadian
Sekarang varian akan disajikan, yang diselesaikan menggunakan rumus probabilitas jumlah peristiwa. Jadi, dengan syarat ada dua kotak, kotak pertama berisi satu bola abu-abu dan lima bola putih, dan kotak kedua berisi delapan bola abu-abu dan empat bola putih. Alhasil, salah satunya diambil dari kotak pertama dan kedua. Kamu harus mencari tahu berapa peluang bola yang kamu dapat berwarna abu-abu dan putih.
Untuk mengatasi masalah ini, Anda perlu memberi label peristiwa.
- Jadi, A - ambil bola abu-abu dari kotak pertama: P(A)=1/6.
- A’ – ambil juga bola putih dari kotak pertama: P(A')=5/6.
- B – bola abu-abu telah dikeluarkan dari kotak kedua: P(B)=2/3.
- B’ – ambil bola abu-abu dari kotak kedua: P(B')=1/3.
Sesuai dengan kondisi masalahnya, salah satu fenomena harus terjadi: AB' atau A'B. Dengan menggunakan rumus, kita mendapatkan: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Sekarang rumus perkalian probabilitas telah digunakan. Selanjutnya, untuk mengetahui jawabannya, Anda perlu menerapkan persamaan untuk penambahannya:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=18/11.
Inilah cara, menggunakan rumus, Anda dapat menyelesaikan masalah serupa.
Hasil
Artikel ini memberikan informasi tentang topik "Teori Probabilitas", di mana probabilitas suatu peristiwa memainkan peran penting. Tentu saja, tidak semuanya diperhitungkan, tetapi, berdasarkan teks yang disajikan, seseorang secara teoritis dapat berkenalan dengan bagian matematika ini. Ilmu yang dimaksud dapat bermanfaat tidak hanya dalam pekerjaan profesional, tetapi juga dalam kehidupan sehari-hari. Dengan bantuannya, Anda dapat menghitung kemungkinan apa pun dari peristiwa apa pun.
Teks ini juga menyentuh tanggal-tanggal penting dalam sejarah pembentukan teori probabilitas sebagai ilmu pengetahuan, dan nama-nama orang yang karyanya diinvestasikan di dalamnya. Ini adalah bagaimana rasa ingin tahu manusia mengarah pada fakta bahwa orang belajar menghitung bahkan peristiwa acak. Dulu mereka hanya tertarik, tetapi hari ini semua orang sudah tahu tentang itu. Dan tidak ada yang akan mengatakan apa yang menanti kita di masa depan, penemuan brilian apa lagi yang terkait dengan teori yang sedang dipertimbangkan akan dibuat. Tapi satu hal yang pasti - penelitian tidak berhenti!
