Paradoks Bertrand adalah masalah dalam interpretasi klasik teori probabilitas. Joseph memperkenalkannya dalam karyanya Calcul des probabilités (1889) sebagai contoh bahwa probabilitas tidak dapat didefinisikan dengan baik jika suatu mekanisme atau metode menghasilkan variabel acak.
Pernyataan Masalah
Paradoks Bertrand adalah sebagai berikut.
Pertama, perhatikan segitiga sama sisi yang tertulis di dalam lingkaran. Dalam hal ini, diameter dipilih secara acak. Berapa probabilitas bahwa itu lebih panjang dari sisi segitiga?
Bertrand membuat tiga argumen, yang semuanya tampak benar, tetapi memberikan hasil yang berbeda.
Metode Titik Akhir Acak
Anda harus memilih dua tempat pada lingkaran dan menggambar busur yang menghubungkannya. Untuk perhitungan, paradoks probabilitas Bertrand dipertimbangkan. Penting untuk membayangkan bahwa segitiga diputar sehingga titik puncaknya bertepatan dengan salah satu ujung tali busur. Layak membayarperhatikan bahwa jika bagian lainnya berada pada busur antara dua tempat, lingkaran lebih panjang dari sisi segitiga. Panjang busur adalah sepertiga dari lingkaran, jadi peluang terambilnya tali acak lebih panjang adalah 1/3.
Metode pemilihan
Hal ini diperlukan untuk memilih jari-jari lingkaran dan titik di atasnya. Setelah itu, Anda perlu membuat akord melalui tempat ini, tegak lurus dengan diameter. Untuk menghitung paradoks yang dipertimbangkan dari teori probabilitas Bertrand, kita harus membayangkan bahwa segitiga diputar sehingga sisi tegak lurus terhadap jari-jari. Akord lebih panjang dari kaki jika titik yang dipilih lebih dekat ke pusat lingkaran. Dan dalam hal ini, sisi segitiga membagi dua jari-jari. Oleh karena itu, peluang bahwa tali busur lebih panjang dari sisi gambar di atas adalah 1/2.
Akord acak
Metode titik tengah. Penting untuk memilih tempat di lingkaran dan membuat akord dengan bagian tengah yang diberikan. Sumbu lebih panjang dari tepi segitiga bertulis, jika lokasi yang dipilih berada dalam lingkaran konsentris dengan jari-jari 1/2. Luas lingkaran yang lebih kecil adalah seperempat dari gambar yang lebih besar. Oleh karena itu, peluang sebuah akord acak lebih panjang dari sisi segitiga bertulisan dan sama dengan 1/4.
Seperti yang disajikan di atas, metode pemilihan berbeda dalam bobot yang mereka berikan pada akord tertentu, yang merupakan diameter. Dalam metode 1, setiap akord dapat dipilih dengan tepat satu cara, apakah itu diameter atau tidak.
Dalam metode 2, setiap garis lurus dapat dipilih dengan dua cara. Sedangkan akord lainnya akan dipilihhanya satu kemungkinan.
Dalam metode 3, setiap pemilihan titik tengah memiliki satu parameter. Kecuali pusat lingkaran, yang merupakan titik tengah dari semua diameter. Masalah ini dapat dihindari dengan "memerintahkan" semua pertanyaan untuk mengecualikan parameter tanpa mempengaruhi probabilitas yang dihasilkan.
Pilih metode juga dapat divisualisasikan sebagai berikut. Tali busur yang bukan diameter diidentifikasi secara unik oleh titik tengahnya. Masing-masing dari tiga metode seleksi yang disajikan di atas menghasilkan distribusi tengah yang berbeda. Dan opsi 1 dan 2 memberikan dua partisi tidak seragam yang berbeda, sedangkan metode 3 memberikan distribusi seragam.
Paradoks klasik dalam memecahkan masalah Bertrand bergantung pada metode pemilihan akord "secara acak". Ternyata jika metode pemilihan acak ditentukan sebelumnya, masalahnya memiliki solusi yang terdefinisi dengan baik. Ini karena setiap metode individu memiliki distribusi akordnya sendiri. Tiga keputusan yang ditunjukkan oleh Bertrand sesuai dengan mode seleksi yang berbeda dan, dengan tidak adanya informasi lebih lanjut, tidak ada alasan untuk mendukung satu dari yang lain. Dengan demikian, masalah yang disebutkan tidak memiliki solusi tunggal.
Contoh cara membuat jawaban umum unik adalah dengan menetapkan bahwa titik-titik ujung tali busur berjarak sama antara 0 dan c, di mana c adalah keliling lingkaran. Distribusi ini sama dengan argumen pertama Bertrand dan probabilitas unik yang dihasilkan adalah 1/3.
Paradoks Bertrand Russell ini dan keunikan klasik lainnyainterpretasi kemungkinan membenarkan formulasi yang lebih ketat. Termasuk frekuensi probabilitas dan teori Bayesian subjektivis.
Apa yang mendasari paradoks Bertrand
Dalam artikelnya tahun 1973 "The Well-posed Problem," Edwin Jaynes menawarkan solusi uniknya. Dia mencatat bahwa paradoks Bertrand didasarkan pada premis yang didasarkan pada prinsip "ketidaktahuan maksimum". Ini berarti bahwa Anda tidak boleh menggunakan informasi apa pun yang tidak disediakan dalam pernyataan masalah. Jaynes menunjukkan bahwa masalah Bertrand tidak menentukan posisi atau ukuran lingkaran. Dan berpendapat bahwa oleh karena itu setiap keputusan yang pasti dan objektif harus "tidak peduli" dengan ukuran dan posisi.
Untuk tujuan ilustrasi
Dengan asumsi bahwa semua akord ditempatkan secara acak pada lingkaran 2 cm, sekarang Anda perlu melempar sedotan dari jauh.
Kemudian Anda perlu mengambil lingkaran lain dengan diameter lebih kecil (misalnya, 1 sentimeter), yang sesuai dengan gambar yang lebih besar. Maka distribusi akord pada lingkaran yang lebih kecil ini harus sama dengan yang ada pada lingkaran maksimum. Jika angka kedua juga bergerak di dalam angka pertama, probabilitasnya, pada prinsipnya, seharusnya tidak berubah. Sangat mudah untuk melihat bahwa untuk metode 3 perubahan berikut akan terjadi: distribusi akord pada lingkaran merah kecil akan berbeda secara kualitatif dari distribusi pada lingkaran besar.
Hal yang sama terjadi untuk metode 1. Meskipun lebih sulit untuk dilihat dalam tampilan grafis.
Metode 2 adalah satu-satunyayang ternyata merupakan skala dan invarian terjemahan.
Metode nomor 3 tampaknya dapat diperluas.
Metode 1 bukan keduanya.
Namun, Janes tidak menggunakan invarian dengan mudah untuk menerima atau menolak metode ini. Ini akan meninggalkan kemungkinan bahwa ada metode lain yang tidak terdeskripsikan yang sesuai dengan aspek maknanya yang masuk akal. Jaynes menerapkan persamaan integral yang menjelaskan invarian. Untuk secara langsung menentukan distribusi probabilitas. Dalam masalahnya, persamaan integral memang memiliki solusi yang unik, dan inilah yang disebut metode radius acak kedua di atas.
Dalam makalah tahun 2015, Alon Drory berpendapat bahwa prinsip Jaynes juga dapat menghasilkan dua solusi Bertrand lainnya. Penulis meyakinkan bahwa implementasi matematis dari sifat-sifat invarians di atas tidak unik, tetapi tergantung pada prosedur pemilihan acak dasar yang seseorang putuskan untuk digunakan. Dia menunjukkan bahwa masing-masing dari tiga solusi Bertrand dapat diperoleh dengan menggunakan rotasi, penskalaan, dan invarian translasi. Pada saat yang sama, menyimpulkan bahwa prinsip Jaynes sama tunduknya pada interpretasi seperti mode ketidakpedulian itu sendiri.
Eksperimen fisik
Metode 2 adalah satu-satunya solusi yang memenuhi invarian transformasi yang ada dalam konsep fisiologis tertentu seperti mekanika statistik dan struktur gas. Juga dalam usulanEksperimen Janes melempar sedotan dari lingkaran kecil.
Namun, eksperimen praktis lainnya dapat dirancang yang memberikan jawaban menurut metode lain. Misalnya, untuk sampai pada solusi untuk metode titik akhir acak pertama, Anda dapat melampirkan penghitung ke pusat area. Dan biarkan hasil dari dua rotasi independen menyoroti tempat terakhir dari akord. Untuk sampai pada solusi metode ketiga, seseorang dapat menutupi lingkaran dengan tetes tebu, misalnya, dan menandai titik pertama di mana lalat mendarat sebagai tali tengah. Beberapa kontemplator telah membuat penelitian untuk menarik kesimpulan yang berbeda dan telah mengkonfirmasi hasilnya secara empiris.
Acara terbaru
Dalam artikelnya tahun 2007 "The Bertrand Paradox and the Indifference Principle," Nicholas Shackel berpendapat bahwa lebih dari satu abad kemudian, masalahnya masih belum terselesaikan. Dia melanjutkan untuk menyangkal prinsip ketidakpedulian. Lebih lanjut, dalam makalahnya tahun 2013, "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical," Darrell R. Robottom menunjukkan bahwa semua keputusan yang diajukan tidak ada hubungannya dengan pertanyaannya sendiri. Jadi ternyata paradoks itu akan jauh lebih sulit dipecahkan daripada yang diperkirakan sebelumnya.
Shackel menekankan bahwa selama ini banyak ilmuwan dan orang-orang yang jauh dari sains telah mencoba menyelesaikan paradoks Bertrand. Masih diatasi dengan bantuan dua pendekatan yang berbeda.
Perbedaan di mana perbedaan antara masalah non-ekuivalen dipertimbangkan, dan masalah di mana masalah selalu dianggap benar. Shackel mengutip Louis dalam bukunyaMarinoff (sebagai eksponen khas dari strategi diferensiasi) dan Edwin Jaynes (sebagai penulis teori yang dipikirkan dengan matang).
Namun, dalam karya terbaru mereka Memecahkan Masalah Kompleks, Diederik Aerts dan Massimiliano Sassoli de Bianchi percaya bahwa untuk memecahkan paradoks Bertrand, premis harus dicari dalam strategi campuran. Menurut penulis ini, langkah pertama adalah memperbaiki masalah dengan menyatakan secara jelas sifat dari entitas yang diacak. Dan hanya setelah ini selesai, masalah apa pun dapat dianggap benar. Itulah yang Janes pikirkan.
Jadi prinsip ketidaktahuan maksimum dapat digunakan untuk menyelesaikannya. Untuk tujuan ini, dan karena masalahnya tidak menentukan bagaimana akord harus dipilih, prinsipnya diterapkan bukan pada tingkat berbagai kemungkinan, tetapi pada kemungkinan yang jauh lebih dalam.
Pemilihan bagian
Bagian dari masalah ini membutuhkan perhitungan rata-rata meta atas semua cara yang mungkin, yang oleh penulis disebut mean universal. Untuk mengatasi hal tersebut, mereka menggunakan metode diskritisasi. Terinspirasi oleh apa yang sedang dilakukan dalam mendefinisikan hukum probabilitas dalam proses Wiener. Hasil mereka konsisten dengan akibat wajar numerik Jaynes, meskipun masalah yang diajukan mereka berbeda dari masalah penulis asli.
Dalam ekonomi dan perdagangan, Paradoks Bertrand, dinamai menurut penciptanya Joseph Bertrand, menggambarkan situasi di mana dua pemain (perusahaan) mencapai keseimbangan Nash. Ketika kedua perusahaan menetapkan harga sama dengan biaya marjinal(MS).
Paradoks
Bertrand didasarkan pada sebuah premis. Itu terletak pada kenyataan bahwa dalam model seperti kompetisi Cournot, peningkatan jumlah perusahaan dikaitkan dengan konvergensi harga dengan biaya marjinal. Dalam model alternatif ini, paradoks Bertrand adalah oligopoli sejumlah kecil perusahaan yang memperoleh keuntungan positif dengan membebankan harga di atas biaya.
Untuk memulainya, perlu diasumsikan bahwa dua perusahaan A dan B menjual produk yang homogen, yang masing-masing memiliki biaya produksi dan distribusi yang sama. Oleh karena itu, pembeli memilih produk hanya berdasarkan harga. Ini berarti bahwa permintaan elastis terhadap harga tak terhingga. Baik A maupun B tidak akan menetapkan harga yang lebih tinggi dari yang lain, karena itu akan menyebabkan seluruh paradoks Bertrand runtuh. Salah satu pelaku pasar akan mengalah kepada pesaingnya. Jika mereka menetapkan harga yang sama, perusahaan akan berbagi keuntungan.
Di sisi lain, jika ada perusahaan yang menurunkan harganya sedikit pun, ia akan mendapatkan seluruh pasar dan pengembalian yang jauh lebih tinggi. Karena A dan B mengetahui hal ini, mereka masing-masing akan mencoba untuk melemahkan pesaing sampai produk terjual dengan keuntungan ekonomi nol.
Pekerjaan terbaru menunjukkan bahwa mungkin ada keseimbangan tambahan dalam paradoks strategi campuran Bertrand, dengan keuntungan ekonomi positif, asalkan jumlah monopoli tidak terbatas. Untuk kasus laba akhir, ditunjukkan bahwa kenaikan positif di bawah persaingan harga tidak mungkin terjadi dalam keseimbangan campuran dan bahkan dalam kasus yang lebih umum.sistem yang berkorelasi.
Faktanya, paradoks Bertrand di bidang ekonomi jarang terlihat dalam praktik, karena produk nyata hampir selalu dibedakan dalam beberapa hal selain harga (misalnya, membayar lebih untuk sebuah label). Perusahaan memiliki batasan pada kemampuan mereka untuk memproduksi dan mendistribusikan. Inilah sebabnya mengapa dua bisnis jarang memiliki biaya yang sama.
Hasil Bertrand adalah paradoks karena jika jumlah perusahaan meningkat dari satu menjadi dua, harga turun dari monopoli menjadi kompetitif dan tetap pada tingkat yang sama dengan jumlah perusahaan yang meningkat setelahnya. Ini tidak terlalu realistis, karena pada kenyataannya, pasar dengan sedikit perusahaan dengan kekuatan pasar cenderung membebankan harga di atas biaya marjinal. Analisis empiris menunjukkan bahwa sebagian besar industri dengan dua pesaing menghasilkan keuntungan positif.
Di dunia modern, para ilmuwan mencoba menemukan solusi untuk paradoks yang lebih konsisten dengan model persaingan Cournot. Di mana dua perusahaan di pasar menghasilkan keuntungan positif yang berada di antara tingkat persaingan sempurna dan monopoli.
Beberapa alasan mengapa paradoks Bertrand tidak berhubungan langsung dengan ekonomi:
- Batas kapasitas. Terkadang perusahaan tidak memiliki kapasitas yang cukup untuk memenuhi semua permintaan. Poin ini pertama kali dikemukakan oleh Francis Edgeworth dan memunculkan model Bertrand-Edgeworth.
- Harga bilangan bulat. Harga di atas MC tidak termasuk karena satu perusahaan dapat melemahkan perusahaan lain secara acak.sebagian kecil. Jika harga diskrit (misalnya, mereka harus mengambil nilai integer), maka satu perusahaan harus memotong yang lain dengan setidaknya satu rubel. Ini menyiratkan bahwa nilai mata uang kecil berada di atas MC. Jika perusahaan lain menetapkan harga lebih tinggi, perusahaan lain dapat menurunkannya dan merebut seluruh pasar, paradoks Bertrand justru terletak di sini. Itu tidak akan memberinya keuntungan. Bisnis ini akan lebih memilih untuk berbagi penjualan 50/50 dengan perusahaan lain dan menerima pendapatan yang benar-benar positif.
- Diferensiasi produk. Jika produk dari perusahaan yang berbeda berbeda satu sama lain, maka konsumen mungkin tidak sepenuhnya beralih ke produk dengan harga yang lebih rendah.
- Kompetisi dinamis. Interaksi berulang atau persaingan harga yang berulang dapat menyebabkan keseimbangan nilai.
- Lebih banyak item untuk jumlah yang lebih tinggi. Ini mengikuti dari interaksi berulang. Jika satu perusahaan menetapkan harganya sedikit lebih tinggi, ia masih akan mendapatkan jumlah pembelian yang kira-kira sama, tetapi lebih banyak keuntungan per item. Oleh karena itu, perusahaan lain akan meningkatkan markup, dll. (Hanya di replay, sebaliknya dinamika berjalan ke arah lain).
Oligopoli
Jika dua perusahaan dapat menyepakati suatu harga, adalah kepentingan jangka panjang mereka untuk mempertahankan perjanjian: pendapatan pengurangan nilai kurang dari dua kali pendapatan dari kepatuhan terhadap perjanjian dan hanya berlangsung sampai perusahaan lain memotongnya harga sendiri.
Teoriprobabilitas (seperti matematika lainnya) sebenarnya adalah penemuan baru. Dan perkembangannya tidak mulus. Upaya pertama untuk memformalkan kalkulus probabilitas dilakukan oleh Marquis de Laplace, yang mengusulkan untuk mendefinisikan konsep sebagai rasio jumlah peristiwa yang mengarah pada hasil.
Ini, tentu saja, hanya masuk akal jika jumlah semua kejadian yang mungkin terbatas. Selain itu, semua kejadian memiliki kemungkinan yang sama.
Jadi, pada saat itu, konsep-konsep ini tampaknya tidak memiliki dasar yang kuat. Upaya untuk memperluas definisi kasus jumlah tak terbatas peristiwa telah menyebabkan kesulitan yang lebih besar. Paradoks Bertrand adalah salah satu penemuan yang membuat matematikawan waspada terhadap seluruh konsep probabilitas.
