Geometri adalah cabang matematika yang mempelajari struktur dalam ruang dan hubungan di antara mereka. Pada gilirannya, itu juga terdiri dari bagian, dan salah satunya adalah stereometri. Ini memberikan studi tentang sifat-sifat angka volumetrik yang terletak di ruang angkasa: kubus, piramida, bola, kerucut, silinder, dll.
Kerucut adalah benda dalam ruang Euclidean yang membatasi permukaan kerucut dan bidang tempat ujung generatornya berada. Pembentukannya terjadi dalam proses rotasi segitiga siku-siku di sekitar salah satu kakinya, oleh karena itu ia termasuk dalam badan revolusi.
Komponen kerucut
Jenis kerucut berikut dibedakan: miring (atau miring) dan lurus. Miring adalah yang sumbunya berpotongan dengan pusat alasnya tidak tegak lurus. Karena alasan ini, ketinggian kerucut seperti itu tidak bertepatan dengan sumbu, karena itu adalah segmen yang diturunkan dari bagian atas tubuh ke bidangnya.dasar pada 90°.
Kerucut itu, yang sumbunya tegak lurus dengan alasnya, disebut kerucut lurus. Sumbu dan tinggi pada benda geometris tersebut bertepatan karena titik di dalamnya terletak di atas pusat diameter alas.
Kerucut terdiri dari elemen-elemen berikut:
- Lingkaran yang menjadi alasnya.
- Sisi.
- Sebuah titik yang tidak terletak pada bidang alas, disebut puncak kerucut.
- Segmen yang menghubungkan titik-titik lingkaran alas benda geometris dan puncaknya.
Semua segmen ini adalah turunan dari kerucut. Mereka cenderung ke dasar tubuh geometris, dan dalam kasus kerucut kanan, proyeksi mereka sama, karena titiknya berjarak sama dari titik-titik lingkaran dasar. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa dalam kerucut biasa (lurus), generatornya sama, yaitu memiliki panjang yang sama dan membentuk sudut yang sama dengan sumbu (atau tinggi) dan alas.
Karena dalam benda revolusi miring (atau miring) titiknya dipindahkan relatif terhadap pusat bidang alas, generator pada benda tersebut memiliki panjang dan proyeksi yang berbeda, karena masing-masing dari mereka berada pada jarak yang berbeda dari setiap dua titik lingkaran dasar. Selain itu, sudut antara mereka dan tinggi kerucut juga akan berbeda.
Panjang generator di kerucut kanan
Seperti yang telah ditulis sebelumnya, ketinggian pada benda revolusi geometris lurus tegak lurus terhadap bidang alasnya. Jadi, generatrix, tinggi, dan jari-jari alas membuat segitiga siku-siku pada kerucut.
Yaitu, mengetahui jari-jari alas dan tinggi, menggunakan rumus dari teorema Pythagoras, Anda dapat menghitung panjang generatrix, yang akan sama dengan jumlah kuadrat jari-jari alas dan tinggi:
l2 =r2+ h2 atau l=r 2 + h2
di mana l adalah generatrix;
r – radius;
h – tinggi.
Generatif dalam kerucut miring
Berdasarkan fakta bahwa dalam kerucut miring atau miring generator tidak memiliki panjang yang sama, tidak mungkin untuk menghitungnya tanpa konstruksi dan perhitungan tambahan.
Pertama-tama, Anda perlu mengetahui tinggi, panjang sumbu, dan jari-jari alas.
Memiliki data ini, Anda dapat menghitung bagian jari-jari yang terletak di antara sumbu dan tinggi, menggunakan rumus dari teorema Pythagoras:
r1=k2 - h2
di mana r1 adalah bagian dari jari-jari antara sumbu dan tinggi;
k – panjang poros;
h – tinggi.
Sebagai hasil dari menambahkan jari-jari (r) dan bagiannya yang terletak di antara sumbu dan tinggi (r1), Anda dapat mengetahui seluruh sisi kanan segitiga yang dibentuk oleh generatrix kerucut, bagian tinggi dan diameternya:
R=r + r1
di mana R adalah kaki segitiga yang dibentuk oleh tinggi, generatrix, dan bagian dari diameter alas;
r – radius dasar;
r1 – bagian dari jari-jari antara sumbu dan tinggi.
Menggunakan rumus yang sama dari teorema Pythagoras, Anda dapat menemukan panjang generatrix kerucut:
l=h2+ R2
atau, tanpa menghitung R secara terpisah, gabungkan kedua rumus menjadi satu:
l=h2 + (r + r1)2.
Meskipun kerucut lurus atau miring dan jenis data input apa, semua metode untuk menemukan panjang generatrix selalu mengarah pada satu hasil - penggunaan teorema Pythagoras.
Bagian kerucut
Bagian aksial kerucut adalah bidang yang melalui sumbu atau ketinggiannya. Dalam kerucut siku-siku, bagian seperti itu adalah segitiga sama kaki, di mana tinggi segitiga adalah tinggi badan, sisi-sisinya adalah generator, dan alasnya adalah diameter alas. Pada benda geometris sama sisi, penampang aksialnya adalah segitiga sama sisi, karena pada kerucut ini diameter alas dan generatornya sama.
Bidang bagian aksial pada kerucut lurus adalah bidang simetrinya. Alasan untuk ini adalah bahwa bagian atasnya berada di atas pusat alasnya, yaitu, bidang bagian aksial membagi kerucut menjadi dua bagian yang identik.
Karena ketinggian dan sumbu tidak cocok pada benda padat miring, bidang bagian aksial mungkin tidak termasuk tingginya. Jika dimungkinkan untuk membangun satu set bagian aksial dalam kerucut seperti itu, karena hanya satu kondisi yang harus diperhatikan untuk ini - itu harus melewati hanya melalui sumbu, maka hanya satu bagian aksial dari pesawat, yang akan menjadi milik ketinggian kerucut ini, dapat ditarik, karena jumlah kondisi meningkat, dan, seperti diketahui, dua garis (bersama-sama) dapat dimiliki olehhanya satu pesawat.
Area bagian
Bagian aksial kerucut yang disebutkan sebelumnya adalah segitiga. Berdasarkan ini, luasnya dapat dihitung menggunakan rumus luas segitiga:
S=1/2dh atau S=1/22rh
dimana S adalah luas penampang;
d – diameter alas;
r – radius;
h – tinggi.
Dalam kerucut miring, atau miring, bagian sepanjang sumbu juga segitiga, jadi luas penampang di dalamnya dihitung dengan cara yang sama.
Volume
Karena kerucut adalah bangun ruang tiga dimensi, kita dapat menghitung volumenya. Volume kerucut adalah angka yang mencirikan benda ini dalam satuan volume, yaitu, dalam m3. Perhitungannya tidak tergantung pada apakah lurus atau miring (miring), karena rumus untuk kedua jenis benda ini tidak berbeda.
Seperti yang dinyatakan sebelumnya, pembentukan kerucut siku-siku terjadi karena rotasi segitiga siku-siku di sepanjang salah satu kakinya. Kerucut miring atau miring dibentuk secara berbeda, karena tingginya bergeser dari pusat bidang dasar tubuh. Namun, perbedaan struktur tersebut tidak mempengaruhi metode penghitungan volumenya.
Penghitungan volume
Rumus volume kerucut terlihat seperti ini:
V=1/3 hr2
dimana V adalah volume kerucut;
h – tinggi;
r – radius;
π - konstanta sama dengan 3, 14.
Untuk menghitung volume kerucut, Anda harus memiliki data tentang tinggi dan jari-jari alasnya.
Untuk menghitung tinggi suatu benda, Anda perlu mengetahui jari-jari alas dan panjang generatrixnya. Karena jari-jari, tinggi, dan generatrix digabungkan menjadi segitiga siku-siku, tinggi dapat dihitung menggunakan rumus dari teorema Pythagoras (a2+ b2=c 2 atau dalam kasus kami h2+ r2=l2, di mana l - generatrix). Dalam hal ini, tinggi akan dihitung dengan mengekstrak akar kuadrat dari selisih antara kuadrat sisi miring dan kaki lainnya:
a=c2- b2
Artinya, tinggi kerucut akan sama dengan nilai yang diperoleh setelah mengekstrak akar kuadrat dari selisih antara kuadrat panjang generatrix dan kuadrat jari-jari alas:
h=l2 - r2
Menghitung tinggi menggunakan metode ini dan mengetahui jari-jari alasnya, Anda dapat menghitung volume kerucut. Dalam hal ini, generatrix memainkan peran penting, karena berfungsi sebagai elemen tambahan dalam perhitungan.
Demikian pula, jika Anda mengetahui tinggi badan dan panjang generatriksnya, Anda dapat menemukan jari-jari alasnya dengan mengekstrak akar kuadrat dari selisih kuadrat generatriks dan kuadrat tinggi:
r=l2 - h2
Kemudian, dengan menggunakan rumus yang sama seperti di atas, hitung volume kerucut.
Volume kerucut miring
Karena rumus volume kerucut sama untuk semua jenis benda revolusi, perbedaan dalam perhitungannya adalah pencarian ketinggian.
Untuk mengetahui tinggi kerucut miring, data input harus mencakup panjang generatrix, jari-jari alas dan jarak antara pusatalas dan perpotongan tinggi benda dengan bidang alasnya. Mengetahui hal ini, Anda dapat dengan mudah menghitung bagian dari diameter alas, yang akan menjadi alas segitiga siku-siku (dibentuk oleh tinggi, generatrix, dan bidang alas). Kemudian, kembali menggunakan teorema Pythagoras, hitung tinggi kerucut, dan selanjutnya volumenya.
