Bentuk geometris ini mengelilingi kita di mana-mana. Poligon cembung bisa alami, seperti sarang lebah, atau buatan (buatan manusia). Angka-angka ini digunakan dalam produksi berbagai jenis pelapis, dalam lukisan, arsitektur, dekorasi, dll. Poligon cembung memiliki sifat bahwa semua titiknya berada pada sisi yang sama dari garis lurus yang melalui sepasang simpul yang berdekatan dari bangun geometris ini. Ada juga definisi lain. Suatu poligon disebut cembung jika terletak pada satu setengah bidang terhadap sembarang garis lurus yang salah satu sisinya.
Poligon cembung
Dalam pelajaran geometri dasar, hanya poligon sederhana yang selalu dipertimbangkan. Untuk memahami semua sifat seperti itubentuk geometris, perlu untuk memahami sifatnya. Untuk memulainya, harus dipahami bahwa garis apa pun disebut tertutup, yang ujungnya bertepatan. Selain itu, sosok yang dibentuk olehnya dapat memiliki berbagai konfigurasi. Poligon adalah garis putus-putus tertutup sederhana, di mana tautan tetangga tidak terletak pada garis lurus yang sama. Tautan dan simpulnya masing-masing adalah sisi dan simpul dari bangun geometri ini. Sebuah polyline sederhana tidak boleh memiliki self-intersection.
Simpul poligon disebut bertetangga jika simpul tersebut mewakili ujung salah satu sisinya. Sosok geometris yang memiliki jumlah simpul ke-n, dan karenanya jumlah sisi ke-n, disebut n-gon. Garis putus-putus itu sendiri disebut batas atau kontur dari sosok geometris ini. Sebuah bidang poligonal atau poligon datar disebut bagian ujung dari setiap bidang yang dibatasi olehnya. Sisi yang berdekatan dari sosok geometris ini disebut segmen garis putus-putus yang berasal dari satu titik. Mereka tidak akan bertetangga jika mereka berasal dari simpul poligon yang berbeda.
Definisi lain dari poligon cembung
Dalam geometri dasar, ada beberapa definisi ekuivalen yang menunjukkan poligon mana yang disebut cembung. Semua pernyataan ini sama-sama benar. Sebuah poligon dianggap cembung jika:
• setiap segmen yang menghubungkan dua titik di dalamnya terletak seluruhnya di dalamnya;
• di dalamnyasemua diagonalnya terletak;
• setiap sudut internal tidak melebihi 180°.
Sebuah poligon selalu membagi bidang menjadi 2 bagian. Salah satunya terbatas (dapat dilingkupi dalam lingkaran), dan yang lainnya tidak terbatas. Yang pertama disebut daerah dalam, dan yang kedua adalah daerah luar dari bangun geometri ini. Poligon ini adalah persimpangan (dengan kata lain, komponen umum) dari beberapa setengah bidang. Selain itu, setiap segmen yang berakhir pada titik-titik yang termasuk dalam poligon sepenuhnya miliknya.
Varietas poligon cembung
Definisi poligon cembung tidak menunjukkan bahwa poligon itu banyak jenisnya. Dan masing-masing memiliki kriteria tertentu. Jadi, poligon cembung yang memiliki sudut interior 180° disebut cembung lemah. Sosok geometris cembung yang memiliki tiga simpul disebut segitiga, empat - segi empat, lima - segi lima, dll. Setiap n-gon cembung memenuhi persyaratan penting berikut: n harus sama dengan atau lebih besar dari 3. Masing-masing dari segitiga itu cembung. Sosok geometris jenis ini, di mana semua simpul terletak pada lingkaran yang sama, disebut tertulis dalam lingkaran. Poligon cembung disebut berbatas jika semua sisinya di dekat lingkaran menyentuhnya. Dua poligon dikatakan sama hanya jika mereka dapat ditumpangkan oleh superposisi. Poligon bidang disebut bidang poligonal.(bagian dari bidang), yang dibatasi oleh gambar geometris ini.
Poligon cembung beraturan
Poligon beraturan adalah bentuk geometris dengan sudut dan sisi yang sama. Di dalamnya ada titik 0, yang berada pada jarak yang sama dari masing-masing simpulnya. Itu disebut pusat sosok geometris ini. Ruas yang menghubungkan pusat dengan simpul bangun geometri ini disebut apotema, dan ruas yang menghubungkan titik 0 dengan sisi disebut jari-jari.
Segi empat beraturan adalah persegi. Segitiga sama sisi disebut segitiga sama sisi. Untuk gambar seperti itu, ada aturan berikut: setiap sudut poligon cembung adalah 180°(n-2)/ n, di mana n adalah jumlah simpul dari bangun geometri cembung ini.
Luas poligon beraturan ditentukan oleh rumus:
S=ph, di mana p adalah setengah jumlah semua sisi poligon yang diberikan dan h adalah panjang apotema.
Sifat poligon cembung
Poligon cembung memiliki sifat tertentu. Jadi, segmen yang menghubungkan 2 titik mana pun dari sosok geometris semacam itu harus terletak di dalamnya. Bukti:
Asumsikan bahwa P adalah poligon cembung yang diberikan. Kami mengambil 2 titik arbitrer, misalnya, A, B, yang termasuk dalam P. Menurut definisi poligon cembung yang ada, titik-titik ini terletak di sisi garis yang sama, yang berisi sisi mana pun dari P. Oleh karena itu, AB juga memiliki sifat ini dan terkandung dalam P. Poligon cembung selalu dapat dibagi menjadi beberapa segitiga dengan benar-benar semua diagonal yang ditarik dari salah satu simpulnya.
Sudut bentuk geometri cembung
Sudut poligon cembung adalah sudut yang dibentuk oleh sisi-sisinya. Sudut internal terletak di wilayah bagian dalam dari sosok geometris yang diberikan. Sudut yang dibentuk oleh sisi-sisinya yang bertemu pada satu titik sudut disebut sudut poligon cembung. Sudut yang berdekatan dengan sudut dalam dari bangun geometri tertentu disebut sudut luar. Setiap sudut poligon cembung yang terletak di dalamnya adalah:
180 ° - x, di mana x adalah nilai sudut luar. Rumus sederhana ini berfungsi untuk semua bentuk geometris jenis ini.
Secara umum, untuk sudut luar ada aturan berikut: setiap sudut poligon cembung sama dengan selisih antara 180° dan nilai sudut dalam. Itu dapat memiliki nilai mulai dari -180 ° hingga 180 °. Oleh karena itu, jika sudut dalam adalah 120°, sudut luarnya akan menjadi 60°.
Jumlah sudut poligon cembung
Jumlah sudut dalam poligon cembung ditentukan oleh rumus:
180 °(n-2), di mana n adalah jumlah simpul dari n-gon.
Jumlah sudut poligon cembung cukup mudah untuk dihitung. Pertimbangkan sosok geometris seperti itu. Untuk menentukan jumlah sudut di dalam poligon cembung, perlumenghubungkan salah satu simpulnya ke simpul lainnya. Sebagai hasil dari tindakan ini, segitiga (n-2) diperoleh. Kita tahu bahwa jumlah sudut setiap segitiga selalu 180°. Karena jumlahnya dalam poligon apa pun adalah (n-2), jumlah sudut dalam dari bangun tersebut adalah 180° x (n-2).
Jumlah sudut poligon cembung, yaitu dua sudut dalam dan luar bersebelahan, untuk bangun geometri cembung yang diberikan akan selalu sama dengan 180°. Berdasarkan ini, Anda dapat menentukan jumlah semua sudutnya:
180 x n.
Jumlah sudut dalam adalah 180°(n-2). Berdasarkan ini, jumlah semua sudut luar gambar ini ditentukan oleh rumus:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Jumlah sudut luar setiap poligon cembung akan selalu 360° (berapa pun jumlah sisinya).
Sudut luar poligon cembung umumnya diwakili oleh perbedaan antara 180° dan nilai sudut dalam.
Sifat lain dari poligon cembung
Selain sifat dasar bentuk geometris ini, mereka memiliki sifat lain yang muncul saat memanipulasinya. Jadi, salah satu poligon dapat dibagi menjadi beberapa n-gon cembung. Untuk melakukan ini, perlu untuk melanjutkan setiap sisinya dan memotong sosok geometris ini di sepanjang garis lurus ini. Hal ini juga memungkinkan untuk membagi poligon menjadi beberapa bagian cembung sedemikian rupa sehingga simpul dari masing-masing potongan bertepatan dengan semua simpulnya. Dari sosok geometris seperti itu, segitiga dapat dibuat dengan sangat sederhana dengan menggambar semuadiagonal dari satu titik. Dengan demikian, poligon apa pun pada akhirnya dapat dibagi menjadi sejumlah segitiga tertentu, yang ternyata sangat berguna dalam menyelesaikan berbagai masalah yang terkait dengan bentuk geometris tersebut.
Keliling poligon cembung
Segmen garis putus-putus, yang disebut sisi poligon, paling sering dilambangkan dengan huruf berikut: ab, bc, cd, de, ea. Ini adalah sisi bangun geometris dengan simpul a, b, c, d, e. Jumlah panjang semua sisi poligon cembung ini disebut kelilingnya.
Lingkaran poligon
Poligon cembung dapat ditulisi dan dibatasi. Lingkaran yang menyentuh semua sisi sosok geometris ini disebut tertulis di dalamnya. Poligon semacam itu disebut dibatasi. Pusat lingkaran yang tertulis dalam poligon adalah titik potong garis-bagi semua sudut dalam bangun geometri tertentu. Luas poligon tersebut adalah:
S=pr, di mana r adalah jari-jari lingkaran tertulis dan p adalah semiperimeter poligon yang diberikan.
Lingkaran yang berisi simpul poligon disebut berbatas mengelilinginya. Selain itu, sosok geometris cembung ini disebut tertulis. Pusat lingkaran, yang dibatasi oleh poligon semacam itu, adalah titik potong dari apa yang disebut garis-bagi tegak lurus semua sisi.
Diagonal bangun geometri cembung
Diagonal poligon cembung adalah ruas-ruas yangmenghubungkan simpul yang tidak berdekatan. Masing-masing terletak di dalam sosok geometris ini. Jumlah diagonal dari n-gon tersebut ditentukan oleh rumus:
N=n (n – 3)/ 2.
Jumlah diagonal poligon cembung memainkan peran penting dalam geometri dasar. Jumlah segitiga (K) yang memungkinkan untuk membagi setiap poligon cembung dihitung dengan rumus berikut:
K=n – 2.
Jumlah diagonal poligon cembung selalu bergantung pada jumlah simpulnya.
Dekomposisi poligon cembung
Dalam beberapa kasus, untuk menyelesaikan masalah geometris, poligon cembung perlu dibagi menjadi beberapa segitiga dengan diagonal yang tidak berpotongan. Masalah ini dapat diselesaikan dengan menurunkan rumus tertentu.
Definisi soal: mari kita panggil partisi yang tepat dari n-gon cembung menjadi beberapa segitiga dengan diagonal yang berpotongan hanya di simpul dari bangun geometris ini.
Solusi: Misalkan 1, 2, 3 …, Pn adalah simpul dari n-gon ini. Angka Xn adalah jumlah partisinya. Mari kita perhatikan dengan cermat diagonal yang diperoleh dari gambar geometris Pi Pn. Di salah satu partisi biasa P1 Pn milik segitiga tertentu P1 Pi Pn, yang memiliki 1<i<n. Berangkat dari ini dan dengan asumsi bahwa i=2, 3, 4 …, n-1, kita mendapatkan (n-2) grup dari partisi ini, yang mencakup semua kemungkinan kasus tertentu.
Biarkan i=2 menjadi satu grup dari partisi beraturan, selalu mengandung diagonal 2 Pn. Jumlah partisi yang masuk sama dengan jumlah partisi(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Dengan kata lain, sama dengan Xn-1.
Jika i=3, maka kelompok partisi yang lain ini akan selalu berisi diagonal 3 1 dan 3 Pn. Dalam hal ini, jumlah partisi reguler yang terdapat dalam grup ini akan bertepatan dengan jumlah partisi (n-2)-gon P3 P4 … Pn. Dengan kata lain, itu akan sama dengan Xn-2.
Biarkan i=4, maka di antara segitiga-segitiga itu pasti akan ada sebuah partisi beraturan yang berisi segitiga P1 P4 Pn, di mana segi empat P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn akan berdampingan. Banyaknya partisi beraturan dari segi empat tersebut adalah X4, dan jumlah partisi dari (n-3)-gon adalah Xn-3. Berdasarkan hal di atas, kita dapat mengatakan bahwa jumlah total partisi yang benar yang terdapat dalam grup ini adalah Xn-3 X4. Grup lain dengan i=4, 5, 6, 7… akan berisi Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … partisi reguler.
Biarkan i=n-2, maka jumlah split yang benar pada grup ini akan sama dengan jumlah split pada grup di mana i=2 (dengan kata lain sama dengan Xn-1).
Karena X1=X2=0, X3=1, X4=2…, maka banyaknya semua partisi poligon cembung adalah:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Contoh:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Jumlah partisi yang benar berpotongan dengan satu diagonal di dalam
Saat memeriksa kasus khusus, seseorang dapat tiba diasumsi bahwa jumlah diagonal n-gon cembung sama dengan hasil kali semua partisi pada gambar ini dengan (n-3).
Bukti asumsi ini: bayangkan bahwa P1n=Xn(n-3), maka setiap n-gon dapat dibagi menjadi (n-2)-segitiga. Selain itu, (n-3)-segiempat dapat terdiri dari mereka. Seiring dengan ini, setiap segi empat akan memiliki diagonal. Karena dua diagonal dapat digambar dalam bangun datar geometri cembung ini, ini berarti bahwa diagonal tambahan (n-3) dapat digambar pada sembarang (n-3)-segiempat. Berdasarkan hal ini, kita dapat menyimpulkan bahwa dalam setiap partisi reguler dimungkinkan untuk menggambar (n-3)-diagonal yang memenuhi kondisi masalah ini.
Luas poligon cembung
Seringkali, ketika memecahkan berbagai masalah geometri dasar, perlu untuk menentukan luas poligon cembung. Asumsikan bahwa (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n adalah barisan koordinat semua simpul bertetangga dari poligon yang tidak berpotongan sendiri. Dalam hal ini, luasnya dihitung menggunakan rumus berikut:
S=(∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), di mana (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
