Parameter linier khas dari piramida apa pun adalah panjang sisi alasnya, tinggi, tepi samping, dan apotemanya. Namun demikian, ada karakteristik lain yang terkait dengan parameter yang dicatat - ini adalah sudut dihedral. Pertimbangkan dalam artikel apa itu dan bagaimana menemukannya.
Piramida figur spasial
Setiap siswa memiliki ide bagus tentang apa yang dipertaruhkan ketika mendengar kata "piramida". Ini dapat dibangun secara geometris sebagai berikut: pilih poligon tertentu, lalu perbaiki titik dalam ruang dan hubungkan ke setiap sudut poligon. Sosok tiga dimensi yang dihasilkan akan menjadi piramida tipe arbitrer. Poligon yang membentuknya disebut alas, dan titik yang menghubungkan semua sudutnya adalah titik sudut gambar. Gambar di bawah ini secara skematis menunjukkan piramida segi lima.
Dapat dilihat bahwa permukaannya tidak hanya dibentuk oleh segi lima, tetapi juga oleh lima segitiga. Secara umum, jumlah segitiga ini akan sama dengan jumlahsisi alas poligonal.
Sudut dihedral pada gambar
Ketika masalah geometri dipertimbangkan pada bidang, setiap sudut dibentuk oleh dua garis lurus, atau segmen yang berpotongan. Di ruang angkasa, sudut dihedral ditambahkan ke sudut linier ini, yang dibentuk oleh perpotongan dua bidang.
Jika definisi sudut dalam ruang diterapkan pada gambar yang dimaksud, maka kita dapat mengatakan bahwa ada dua jenis sudut dihedral:
- Di dasar piramida. Ini dibentuk oleh bidang alas dan salah satu sisi wajah (segitiga). Ini berarti bahwa sudut alas piramida adalah n, di mana n adalah jumlah sisi poligon.
- Antara sisi (segitiga). Jumlah sudut dihedral ini juga n buah.
Perhatikan bahwa tipe pertama dari sudut yang dipertimbangkan dibangun di tepi alas, tipe kedua - di tepi samping.
Bagaimana cara menghitung sudut sebuah piramida?
Sudut linier dari sudut dihedral adalah ukuran yang terakhir. Tidak mudah untuk menghitungnya, karena wajah piramida, tidak seperti wajah prisma, tidak berpotongan tegak lurus dalam kasus umum. Paling dapat diandalkan untuk menghitung nilai sudut dihedral menggunakan persamaan bidang dalam bentuk umum.
Dalam ruang tiga dimensi, sebuah pesawat diberikan oleh ekspresi berikut:
Ax + By + Cz + D=0
Di mana A, B, C, D adalah beberapa bilangan real. Kemudahan persamaan ini adalah bahwa tiga angka pertama yang ditandai adalah koordinat vektor,yang tegak lurus terhadap bidang yang diberikan, yaitu:
n¯=[A; B; C]
Jika koordinat tiga titik yang termasuk dalam bidang diketahui, maka dengan mengambil produk vektor dari dua vektor yang dibangun di atas titik-titik ini, diperoleh koordinat n¯. Vektor n¯ disebut panduan untuk pesawat.
Menurut definisi, sudut dihedral yang dibentuk oleh perpotongan dua bidang sama dengan sudut linier antara vektor arahnya. Misalkan kita memiliki dua bidang yang vektor normalnya sama:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2]
Untuk menghitung sudut di antara mereka, Anda dapat menggunakan properti produk skalar, maka rumus yang sesuai menjadi:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Atau dalam bentuk koordinat:
φ=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12)√(A22 + B22+ C22)))
Mari kita tunjukkan cara menggunakan metode di atas untuk menghitung sudut dihedral saat menyelesaikan masalah geometris.
Sudut piramida segi empat beraturan
Asumsikan ada limas beraturan, yang alasnya adalah persegi dengan sisi 10 cm. Tinggi bangun adalah12 cm Perlu untuk menghitung berapa sudut dihedral di dasar piramida dan sisi-sisinya.
Karena gambar yang diberikan dalam kondisi masalah benar, yaitu memiliki simetri tinggi, maka semua sudut di alasnya sama besar. Sudut-sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi muka juga sama. Untuk menghitung sudut dihedral yang diperlukan, kami menemukan vektor arah untuk alas dan dua bidang samping. Nyatakan panjang sisi alas dengan huruf a, dan tinggi h.
Gambar di atas menunjukkan piramida beraturan segi empat. Tulislah koordinat titik A, B, C dan D sesuai dengan sistem koordinat yang dimasukkan:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
Sekarang kita menemukan vektor arah untuk bidang alas ABC dan kedua sisi ABD dan BCD sesuai dengan metode yang dijelaskan pada paragraf di atas:
Untuk ABC:
AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
Untuk ABD:
AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
Untuk BCD:
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
Sekarang tinggal menerapkan rumus yang sesuai untuk sudut dan mengganti nilai sisi dan tinggi dari pernyataan masalah:
Sudut antara ABC danABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2+ a2/4)))=arccos(a/(2√(h2 + a2 /4)))=67, 38o
Sudut antara ABD dan BDC:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a 2/4)))=81, 49o
Kami menghitung nilai sudut yang diperlukan untuk menemukan kondisi masalah. Rumus yang diperoleh dalam memecahkan masalah dapat digunakan untuk menentukan sudut dihedral piramida beraturan segi empat dengan nilai a dan h apa pun.
Sudut piramida beraturan segitiga
Gambar di bawah menunjukkan sebuah piramida yang alasnya merupakan segitiga beraturan. Diketahui sudut dihedral antara sisi-sisinya siku-siku. Perlu untuk menghitung luas alas jika diketahui bahwa tinggi gambar adalah 15 cm.
Sudut dihedral sama dengan 90o dilambangkan sebagai ABC pada gambar. Anda dapat memecahkan masalah menggunakan metode di atas, tetapi dalam hal ini kami akan melakukannya lebih mudah. Mari kita tunjukkan sisi segitiga a, tinggi gambar - h, apotema - hb dan sisinyatulang rusuk - b. Sekarang Anda dapat menulis rumus berikut:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
Karena dua sisi segitiga pada piramida adalah sama, maka sisi AB dan CB sama besar dan merupakan kaki segitiga ABC. Mari kita nyatakan panjangnya dengan x, maka:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
Menyamakan luas sisi segitiga dan mengganti apotema ke dalam ekspresi yang sesuai, kita mendapatkan:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
Luas segitiga sama sisi dihitung sebagai berikut:
S=3/4a2=3√3/2h2
Substitusi nilai tinggi dari kondisi soal, kita mendapatkan jawaban: S=584, 567 cm2.
