Dalam geometri, dua karakteristik penting digunakan untuk mempelajari bangun-bangun: panjang sisi-sisinya dan sudut-sudut di antaranya. Dalam hal figur spasial, sudut dihedral ditambahkan ke karakteristik ini. Mari kita pertimbangkan apa itu, dan juga jelaskan metode untuk menentukan sudut-sudut ini menggunakan contoh piramida.
Konsep sudut dihedral
Semua orang tahu bahwa dua garis yang berpotongan membentuk sudut dengan titik sudut di titik perpotongannya. Sudut ini dapat diukur dengan busur derajat, atau Anda dapat menggunakan fungsi trigonometri untuk menghitungnya. Sudut yang dibentuk oleh dua sudut siku-siku disebut linier.
Sekarang bayangkan bahwa dalam ruang tiga dimensi ada dua bidang yang berpotongan dalam garis lurus. Mereka ditunjukkan dalam gambar.
Sudut dihedral adalah sudut antara dua bidang yang berpotongan. Sama seperti linier, itu diukur dalam derajat atau radian. Jika ke salah satu titik dari garis di mana bidang-bidang berpotongan, pulihkan dua tegak lurus,berbaring di bidang-bidang ini, maka sudut di antara mereka akan menjadi dihedral yang diinginkan. Cara termudah untuk menentukan sudut ini adalah dengan menggunakan persamaan umum bidang.
Persamaan bidang dan rumus sudut di antaranya
Persamaan setiap bidang dalam ruang secara umum ditulis sebagai berikut:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Di sini x, y, z adalah koordinat titik-titik yang termasuk dalam bidang, koefisien A, B, C, D adalah beberapa bilangan yang diketahui. Kemudahan persamaan ini untuk menghitung sudut dihedral adalah bahwa persamaan tersebut secara eksplisit memuat koordinat vektor arah bidang. Kami akan menyatakannya dengan n. Lalu:
n¯=(A; B; C).
Vektor n¯ tegak lurus bidang. Sudut antara dua bidang sama dengan sudut antara vektor arahnya n1¯ dan n2¯. Diketahui dari matematika bahwa sudut yang dibentuk oleh dua vektor ditentukan secara unik dari produk skalarnya. Ini memungkinkan Anda untuk menulis rumus untuk menghitung sudut dihedral antara dua bidang:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Jika kita mengganti koordinat vektor, rumusnya akan ditulis secara eksplisit:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12) × (A22+B22 + C22))).
Tanda modulo pada pembilang digunakan untuk mendefinisikan hanya sudut lancip, karena sudut dihedral selalu lebih kecil atau sama dengan 90o.
Piramida dan sudut-sudutnya
Piramida adalah sosok yang dibentuk oleh satu n-gon dan n segitiga. Di sini n adalah bilangan bulat yang sama dengan jumlah sisi poligon yang merupakan alas piramida. Angka spasial ini adalah polihedron atau polihedron, karena terdiri dari wajah datar (sisi).
Sudut dihedral dari piramida-polihedron dapat terdiri dari dua jenis:
- antara alas dan sisi (segitiga);
- antara dua sisi.
Jika piramida dianggap teratur, maka mudah untuk menentukan nama sudutnya. Untuk melakukan ini, dengan menggunakan koordinat tiga titik yang diketahui, seseorang harus membuat persamaan bidang, dan kemudian menggunakan rumus yang diberikan pada paragraf di atas untuk sudut.
Di bawah ini kami memberikan contoh di mana kami menunjukkan bagaimana menemukan sudut dihedral di dasar piramida beraturan segi empat.
Piramida beraturan berbentuk segi empat dan sudut pada alasnya
Asumsikan bahwa sebuah piramida biasa dengan alas persegi diberikan. Panjang sisi persegi tersebut adalah a, tinggi bangun tersebut adalah h. Temukan sudut antara dasar piramida dan sisinya.
Letakkan titik asal sistem koordinat di tengah bujur sangkar. Maka koordinat titik-titiknyaA, B, C, D yang ditunjukkan pada gambar adalah:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Perhatikan bidang ACB dan ADB. Jelasnya, vektor arah n1¯ untuk bidang ACB adalah:
1¯=(0; 0; 1).
Untuk menentukan vektor arah n2¯ dari bidang ADB, lakukan sebagai berikut: temukan dua vektor arbitrer yang termasuk padanya, misalnya, AD¯ dan AB¯, kemudian hitung kerja vektornya. Hasilnya akan memberikan koordinat n2¯. Kami memiliki:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Karena perkalian dan pembagian vektor dengan suatu angka tidak mengubah arahnya, kami mengubah n2¯ yang dihasilkan, membagi koordinatnya dengan -a, kami mendapatkan:
2¯=(h; 0; a/2).
Kami telah mendefinisikan panduan vektor n1¯ dan n2¯ untuk bidang dasar ACB dan bidang samping ADB. Tetap menggunakan rumus sudut:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × h2 + a 2/4)).
Transform ekspresi yang dihasilkan dan tulis ulang seperti ini:
φ=arccos (a / (a2+ 4 × h2)).
Kami telah memperoleh rumus untuk sudut dihedral di alas untuk piramida segi empat biasa. Mengetahui tinggi bangun dan panjang sisinya, Anda dapat menghitung sudut. Misalnya, untuk piramida Cheops, yang sisi alasnya 230,4 meter, dan tinggi awalnya 146,5 meter, sudut adalah 51,8o.
Dimungkinkan juga untuk menentukan sudut dihedral untuk piramida beraturan segi empat menggunakan metode geometris. Untuk melakukan ini, cukup dengan mempertimbangkan segitiga siku-siku yang dibentuk oleh tinggi h, setengah panjang alas a/2 dan apotema segitiga sama kaki.
