Garis dan bidang adalah dua elemen geometris terpenting yang dapat digunakan untuk membuat bentuk berbeda dalam ruang 2D dan 3D. Perhatikan cara mencari jarak antara garis sejajar dan bidang sejajar.
Tugas matematika garis lurus
Dari mata kuliah geometri sekolah diketahui bahwa dalam sistem koordinat persegi panjang dua dimensi, sebuah garis dapat ditentukan dalam bentuk berikut:
y=kx + b.
Di mana k dan b adalah angka (parameter). Bentuk tertulis untuk menyatakan garis pada bidang adalah bidang yang sejajar dengan sumbu z dalam ruang tiga dimensi. Mengingat hal ini, dalam artikel ini, untuk penetapan matematis garis lurus, kami akan menggunakan bentuk yang lebih nyaman dan universal - vektor.
Asumsikan bahwa garis kita sejajar dengan beberapa vektor u¯(a, b, c) dan melalui titik P(x0, y0, z0). Dalam hal ini, dalam bentuk vektor, persamaannya akan direpresentasikan sebagai berikut:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + (a, b, c).
Di sini adalah bilangan apa saja. Jika kita menyatakan koordinat secara eksplisit dengan memperluas ekspresi tertulis, maka kita akan mendapatkan bentuk parametrik dari penulisan garis lurus.
Lebih mudah untuk bekerja dengan persamaan vektor ketika memecahkan berbagai masalah di mana perlu untuk menentukan jarak antara garis paralel.
Garis dan jarak antara mereka
Masuk akal untuk berbicara tentang jarak antar garis hanya jika mereka sejajar (dalam kasus tiga dimensi, ada juga jarak bukan nol antara garis miring). Jika garis-garis tersebut berpotongan, maka jelas bahwa mereka berada pada jarak nol satu sama lain.
Jarak antara garis sejajar adalah panjang garis tegak lurus yang menghubungkannya. Untuk menentukan indikator ini, cukup memilih titik sembarang pada salah satu garis dan menjatuhkan tegak lurus darinya ke garis lainnya.
Mari kita jelaskan secara singkat prosedur untuk mencari jarak yang diinginkan. Misalkan kita mengetahui persamaan vektor dua garis, yang disajikan dalam bentuk umum berikut:
(x, y, z)=P + u¯;
(x, y, z)=Q + v¯.
Buatlah jajar genjang pada garis-garis ini sehingga salah satu sisinya adalah PQ, dan sisi lainnya, misalnya, u. Jelas, tinggi gambar ini, yang ditarik dari titik P, adalah panjang tegak lurus yang diperlukan. Untuk menemukannya, Anda dapat menerapkan sederhana berikut:rumus:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Karena jarak antara garis lurus adalah panjang segmen tegak lurus di antara mereka, maka sesuai dengan ekspresi tertulis, cukup untuk menemukan modulus dari produk vektor PQ¯ dan u¯ dan membagi hasilnya dengan panjang vektor u¯.
Contoh tugas untuk menentukan jarak antara garis lurus
Dua garis lurus diberikan oleh persamaan vektor berikut:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + (-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + (2, -1, -3).
Dari ekspresi tertulis jelas bahwa kita memiliki dua garis sejajar. Memang, jika kita mengalikan dengan -1 koordinat vektor arah garis pertama, kita mendapatkan koordinat vektor arah garis kedua, yang menunjukkan paralelismenya.
Jarak antara garis lurus akan dihitung menggunakan rumus yang tertulis di paragraf artikel sebelumnya. Kami memiliki:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Kemudian kita dapatkan:
|u¯|=14cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=(90/14)=2.535 cm.
Perhatikan bahwa alih-alih titik P dan Q, titik mana pun yang termasuk dalam garis ini benar-benar dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah. Dalam hal ini, kita akan mendapatkan jarak yang sama d.
Menyetel bidang dalam geometri
Pertanyaan tentang jarak antara garis dibahas di atas secara rinci. Sekarang mari kita tunjukkan cara mencari jarak antara bidang sejajar.
Semua orang mewakili apa itu pesawat. Menurut definisi matematika, elemen geometris yang ditentukan adalah kumpulan titik. Selain itu, jika Anda menyusun semua vektor yang mungkin menggunakan titik-titik ini, maka semuanya akan tegak lurus terhadap satu vektor tunggal. Yang terakhir ini biasanya disebut normal ke pesawat.
Untuk menentukan persamaan bidang dalam ruang tiga dimensi, bentuk umum persamaan yang paling sering digunakan. Tampilannya seperti ini:
Ax + By + Cz + D=0.
Di mana huruf kapital Latin adalah beberapa angka. Lebih mudah menggunakan persamaan bidang semacam ini karena koordinat vektor normal diberikan secara eksplisit di dalamnya. Mereka adalah A, B, C.
Sangat mudah untuk melihat bahwa dua bidang sejajar hanya jika normalnya sejajar.
Bagaimana mencari jarak antara dua bidang sejajar ?
Untuk menentukan jarak yang ditentukan, Anda harus memahami dengan jelas apa yang dipertaruhkan. Jarak antara bidang yang sejajar satu sama lain dipahami sebagai panjang segmen yang tegak lurus terhadapnya. Ujung segmen ini milik pesawat.
Algoritme untuk memecahkan masalah seperti itu sederhana. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan koordinat titik mana pun yang termasuk dalam salah satu dari dua bidang. Kemudian, Anda harus menggunakan rumus ini:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Karena jarak adalah nilai positif, tanda modulus ada di pembilangnya. Rumus tertulis bersifat universal, karena memungkinkan Anda menghitung jarak dari bidang ke elemen geometris apa pun. Cukup mengetahui koordinat satu titik elemen ini.
Demi kelengkapan, kami mencatat bahwa jika normal dua pesawat tidak sejajar satu sama lain, maka pesawat tersebut akan berpotongan. Jarak antara mereka akan menjadi nol.
Soal penentuan jarak antar pesawat
Diketahui bahwa dua bidang diberikan oleh ekspresi berikut:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Hal ini diperlukan untuk membuktikan bahwa bidang-bidang itu sejajar, dan juga untuk menentukan jarak di antara mereka.
Untuk menjawab bagian pertama dari soal, Anda perlu membuat persamaan pertama ke bentuk umum. Perhatikan bahwa itu diberikan dalam apa yang disebut bentuk persamaan dalam segmen. Kalikan bagian kiri dan kanannya dengan 15 dan pindahkan semua suku ke satu sisi persamaan, kita mendapatkan:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Mari tuliskan koordinat dua vektor normal bidang:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Dapat dilihat bahwa jika n2¯ dikalikan 5, maka kita akan mendapatkan koordinat n1¯ persis. Jadi, bidang yang dipertimbangkan adalahparalel.
Untuk menghitung jarak antara bidang paralel, pilih titik sembarang dari yang pertama dan gunakan rumus di atas. Sebagai contoh, mari kita ambil titik (0, 0, 1) yang termasuk dalam bidang pertama. Maka kita dapatkan:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
Jarak yang diinginkan adalah 31 mm.
Jarak antara bidang dan garis
Pengetahuan teoretis yang diberikan juga memungkinkan kita untuk memecahkan masalah penentuan jarak antara garis lurus dan bidang. Telah disebutkan di atas bahwa rumus yang berlaku untuk perhitungan antar pesawat adalah universal. Hal ini juga dapat digunakan untuk memecahkan masalah. Untuk melakukan ini, cukup pilih titik mana pun yang termasuk dalam garis yang diberikan.
Masalah utama dalam menentukan jarak antara elemen geometris yang dipertimbangkan adalah bukti paralelismenya (jika tidak, maka d=0). Paralelisme mudah dibuktikan jika Anda menghitung produk skalar dari normal dan vektor arah garis. Jika elemen yang dipertimbangkan sejajar, maka hasil kali ini akan sama dengan nol.
