Prisma heksagonal dan karakteristik utamanya

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2024-01-02 17:49

Geometri spasial adalah ilmu yang mempelajari prisma. Karakteristik penting mereka adalah volume yang terkandung di dalamnya, luas permukaan dan jumlah elemen penyusunnya. Dalam artikel ini, kami akan mempertimbangkan semua properti ini untuk prisma heksagonal.

Prisma mana yang sedang kita bicarakan?

Prisma segi enam adalah bangun datar yang dibentuk oleh dua poligon dengan enam sisi dan enam sudut, dan enam jajaran genjang yang menghubungkan segi enam yang ditandai menjadi satu formasi geometris.

Gambar tersebut menunjukkan contoh prisma ini.

Segi enam yang ditandai dengan warna merah disebut alas gambar. Jelas, jumlah basisnya sama dengan dua, dan keduanya identik. Sisi-sisi prisma yang berwarna kuning kehijauan disebut sisi-sisinya. Dalam gambar mereka diwakili oleh kotak, tetapi secara umum mereka adalah jajaran genjang.

Prisma segi enam bisa miring dan lurus. Dalam kasus pertama, sudut antara alas dan sisi tidak lurus, pada kasus kedua sama dengan 90o. Juga, prisma ini bisa benar dan salah. heksagonal biasaprisma harus lurus dan memiliki segi enam beraturan di alasnya. Prisma di atas pada gambar memenuhi persyaratan ini, sehingga disebut benar. Selanjutnya dalam artikel ini kita hanya akan mempelajari sifat-sifatnya saja, sebagai kasus umum.

Elemen

Untuk prisma apa pun, elemen utamanya adalah tepi, wajah, dan simpul. Prisma heksagonal tidak terkecuali. Gambar di atas memungkinkan Anda untuk menghitung jumlah elemen ini. Jadi, kita mendapatkan 8 wajah atau sisi (dua alas dan enam jajar genjang lateral), jumlah simpul adalah 12 (6 simpul untuk setiap alas), jumlah tepi prisma heksagonal adalah 18 (enam lateral dan 12 untuk alas).

Pada tahun 1750-an, Leonhard Euler (ahli matematika Swiss) menetapkan untuk semua polihedra, yang mencakup prisma, hubungan matematis antara jumlah elemen yang ditunjukkan. Hubungan ini terlihat seperti:

jumlah tepi=jumlah wajah + jumlah simpul - 2.

Angka di atas memenuhi rumus ini.

Diagonal prisma

Semua diagonal prisma heksagonal dapat dibagi menjadi dua jenis:

• mereka yang terletak di bidang wajahnya;
• mereka yang termasuk dalam seluruh volume gambar.

Gambar di bawah menunjukkan semua diagonal ini.

Dapat dilihat bahwa D₁ adalah diagonal sisi, D₂ dan D₃ adalah diagonal seluruh prisma, D₄ dan D_{5 - diagonal alas.}

Panjang diagonal sisi-sisinya sama panjang. Sangat mudah untuk menghitungnya menggunakan teorema Pythagoras yang terkenal. Misalkan a adalah panjang sisi segi enam, b panjang sisinya. Maka panjang diagonalnya:

D₁=(a² + b^2).

Diagonal D₄ juga mudah ditentukan. Jika kita ingat bahwa segi enam beraturan cocok dengan lingkaran dengan jari-jari a, maka D_{4 adalah diameter lingkaran ini, yaitu, kita mendapatkan rumus berikut:}

D_4=2a.

Diagonal D₅basis agak sulit ditemukan. Untuk melakukan ini, pertimbangkan segitiga sama sisi ABC (lihat Gambar.). Baginya AB=BC=a, sudut ABC adalah 120^{o. Jika kita menurunkan tinggi dari sudut ini (juga akan menjadi garis bagi dan median), maka setengah dari alas AC akan sama dengan:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

Sisi AC adalah diagonal dari D_{5, jadi kita dapatkan:}

D_5=AC=3a.

Sekarang tinggal mencari diagonal D₂dan D_{3dari prisma heksagonal beraturan. Untuk melakukan ini, Anda perlu melihat bahwa mereka adalah sisi miring dari segitiga siku-siku yang sesuai. Menggunakan teorema Pythagoras, kita mendapatkan:}

D₂=(D₄²+ b^2)=(4a2^{+ b}2^);

D₃=(D₅²+ b^2)=(3a2^{+ b}2^).

Jadi, diagonal terbesar untuk semua nilai a dan b adalahD_2.

Luas permukaan

Untuk memahami apa yang dipertaruhkan, cara termudah adalah dengan mempertimbangkan perkembangan prisma ini. Hal ini ditunjukkan pada gambar.

Dapat dilihat bahwa untuk menentukan luas semua sisi gambar yang ditinjau, perlu menghitung luas segi empat dan luas segi enam secara terpisah, kemudian dikalikan dengan bilangan bulat yang sesuai sama dengan jumlah masing-masing n-gon dalam prisma, dan tambahkan hasilnya. Segi enam 2, persegi panjang 6.

Untuk luas persegi panjang kita peroleh:

S_1=ab.

Maka luas permukaan lateralnya adalah:

S_2=6ab.

Untuk menentukan luas segi enam, cara termudah adalah menggunakan rumus yang sesuai, yang terlihat seperti:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Mengganti angka n sama dengan 6 ke dalam ekspresi ini, kita mendapatkan luas satu segi enam:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Ungkapan ini harus dikalikan dua untuk mendapatkan luas alas prisma:

S_os=3√3a^2.

Tinggal menambahkan S_os dan S_{2 untuk mendapatkan total luas permukaan gambar:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Volume prisma

Setelah rumus untukluas alas heksagonal, menghitung volume yang terdapat pada prisma yang bersangkutan semudah mengupas buah pir. Untuk melakukan ini, Anda hanya perlu mengalikan luas satu alas (segi enam) dengan tinggi gambar, yang panjangnya sama dengan panjang tepi samping. Kami mendapatkan rumus:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Perhatikan bahwa hasil kali alas dan tinggi memberikan nilai volume mutlak prisma apa pun, termasuk prisma miring. Namun, dalam kasus terakhir, perhitungan tinggi menjadi rumit, karena tidak lagi sama dengan panjang rusuk samping. Untuk prisma segi enam beraturan, nilai volumenya merupakan fungsi dari dua variabel: sisi a dan b.