Deret Maclaurin dan perluasan beberapa fungsi

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2023-12-17 05:30

Siswa matematika yang lebih tinggi harus menyadari bahwa jumlah beberapa deret pangkat yang termasuk dalam interval konvergensi dari deret yang diberikan ternyata merupakan fungsi terdiferensiasi kali yang kontinu dan tidak terbatas. Timbul pertanyaan: apakah mungkin untuk menyatakan bahwa fungsi arbitrer yang diberikan f(x) adalah jumlah dari beberapa deret pangkat? Artinya, dalam kondisi apa fungsi f(x) dapat diwakili oleh deret pangkat? Pentingnya pertanyaan ini terletak pada kenyataan bahwa adalah mungkin untuk menggantikan fungsi f(x) dengan jumlah beberapa suku pertama deret pangkat, yaitu dengan polinomial. Penggantian fungsi seperti itu dengan ekspresi yang agak sederhana - polinomial - juga nyaman saat menyelesaikan beberapa masalah analisis matematika, yaitu: saat menyelesaikan integral, saat menghitung persamaan diferensial, dll.

Telah dibuktikan bahwa untuk beberapa fungsi f(х) di mana turunan hingga (n+1), termasuk yang terakhir, dapat dihitung di lingkungan (α _{- R; x}0 _{+ R) dari beberapa titik x=rumusnya valid:}

Formula ini dinamai ilmuwan terkenal Brook Taylor. Deret yang didapat dari yang sebelumnya disebut deret Maclaurin:

Aturan yang memungkinkan perluasan dalam deret Maclaurin:

1. Tentukan turunan dari orde pertama, kedua, ketiga…
2. Hitung turunan pada x=0 sama dengan.
3. Catat deret Maclaurin untuk fungsi ini, lalu tentukan interval konvergensinya.
4. Tentukan interval (-R;R) di mana sisa rumus Maclaurin

R (x) -> 0 untuk n -> tak terhingga. Jika ada, fungsi f(x) di dalamnya harus bertepatan dengan jumlah deret Maclaurin.

Sekarang pertimbangkan deret Maclaurin untuk masing-masing fungsi.

1. Jadi, yang pertama adalah f(x)=e^x. Tentu saja, menurut fitur-fiturnya, fungsi tersebut memiliki turunan dari berbagai orde, dan f^(k)(x)=e^x, di mana k sama dengan semua bilangan asli. Substitusikan x=0. Didapatkan f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… akan terlihat seperti ini:

2. Deret Maclaurin untuk fungsi f(x)=sin x. Segera klarifikasi bahwa fungsi untuk semua yang tidak diketahui akan memiliki turunan, selain f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), dimana k sama dengan sembarang bilangan asli. Artinya, setelah melakukan perhitungan sederhana, kita dapat sampai pada kesimpulan bahwa deret f(x)=sin x akan terlihat seperti ini:}

3. Sekarang mari kita coba perhatikan fungsi f(x)=cos x. Dia untuk semua yang tidak diketahuimemiliki turunan dari urutan arbitrer, dan |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Sekali lagi, setelah melakukan beberapa perhitungan, kita mendapatkan bahwa deret untuk f(x)=cos x akan terlihat seperti ini:

Jadi, kami telah membuat daftar fungsi terpenting yang dapat diperluas dalam deret Maclaurin, tetapi mereka dilengkapi dengan deret Taylor untuk beberapa fungsi. Sekarang kita akan daftar mereka. Perlu juga dicatat bahwa deret Taylor dan Maclaurin adalah bagian penting dari praktik penyelesaian deret dalam matematika tingkat tinggi. Jadi, deret Taylor.

1. Yang pertama adalah deret untuk f-ii f(x)=ln(1+x). Seperti pada contoh sebelumnya, diberikan f (x)=ln (1 + x), kita dapat menjumlahkan deret menggunakan bentuk umum deret Maclaurin. namun, untuk fungsi ini, deret Maclaurin dapat diperoleh dengan lebih sederhana. Setelah mengintegrasikan deret geometri tertentu, kita mendapatkan deret untuk f(x)=ln(1+x) dari contoh ini:

2. Dan yang kedua, yang akan menjadi final dalam artikel kami, adalah seri untuk f (x) u003d arctg x. Untuk x yang termasuk dalam interval [-1;1], pemuaian valid:

Itu saja. Artikel ini membahas deret Taylor dan Maclaurin yang paling umum digunakan dalam matematika tingkat tinggi, khususnya, di universitas ekonomi dan teknik.