Sistem angka - apa itu? Bahkan tanpa mengetahui jawaban atas pertanyaan ini, kita masing-masing tanpa sadar menggunakan sistem bilangan dalam kehidupan kita dan tidak curiga. Itu benar, jamak! Artinya, bukan satu, tetapi beberapa. Sebelum memberikan contoh sistem bilangan bukan posisi, mari kita pahami dulu soal ini, mari kita bahas juga tentang sistem posisi.
Faktur Diperlukan
Sejak zaman kuno, orang memiliki kebutuhan untuk menghitung, yaitu, mereka secara intuitif menyadari bahwa mereka perlu entah bagaimana mengekspresikan visi kuantitatif tentang hal-hal dan peristiwa. Otak menyarankan bahwa perlu menggunakan benda untuk berhitung. Jari selalu yang paling nyaman, dan ini bisa dimengerti, karena selalu tersedia (dengan pengecualian langka).
Jadi perwakilan ras manusia kuno harus menekuk jari mereka dalam arti harfiah - untuk menunjukkan jumlah mamut yang terbunuh, misalnya. Elemen-elemen akun tersebut belum memiliki nama, tetapi hanya gambaran visual, perbandingan.
Sistem nomor posisi modern
Sistem bilangan adalah suatu cara (cara) untuk menyatakan nilai dan besaran kuantitatif dengan menggunakan tanda (simbol atau huruf) tertentu.
Perlu memahami apa itu posisi dan non-posisi dalam berhitung sebelum memberikan contoh sistem bilangan non-posisi. Ada banyak sistem nomor posisional. Sekarang berikut ini digunakan dalam berbagai bidang pengetahuan: biner (hanya mencakup dua elemen penting: 0 dan 1), heksadesimal (jumlah karakter - 6), oktal (karakter - 8), duodesimal (dua belas karakter), heksadesimal (termasuk enam belas karakter). Selain itu, setiap baris karakter dalam sistem dimulai dari nol. Teknologi komputer modern didasarkan pada penggunaan kode biner - sistem bilangan posisi biner.
Sistem bilangan desimal
Positionality adalah keberadaan posisi signifikan ke berbagai tingkat, di mana tanda-tanda nomor berada. Hal ini paling baik dapat ditunjukkan dengan menggunakan contoh sistem bilangan desimal. Toh kita sudah terbiasa menggunakannya sejak kecil. Ada sepuluh tanda dalam sistem ini: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ambil angka 327. Ini memiliki tiga tanda: 3, 2, 7. Masing-masing terletak di posisinya sendiri (tempat). Tujuh mengambil posisi yang disediakan untuk nilai tunggal (satuan), dua - puluhan, dan tiga - ratusan. Karena jumlahnya tiga digit, maka hanya ada tiga posisi di dalamnya.
Berdasarkan hal di atas, inibilangan desimal tiga angka dapat digambarkan sebagai berikut: tiga ratus, dua puluhan dan tujuh satuan. Selain itu, signifikansi (kepentingan) posisi dihitung dari kiri ke kanan, dari posisi lemah (satu) ke posisi yang lebih kuat (ratusan).
Kami merasa sangat nyaman dengan sistem angka posisi desimal. Kami memiliki sepuluh jari di tangan kami, dan jari yang sama di kaki kami. Lima tambah lima - jadi, berkat jari, kita dengan mudah membayangkan selusin sejak kecil. Itulah mengapa mudah bagi anak-anak untuk mempelajari tabel perkalian untuk lima dan sepuluh. Dan juga sangat mudah untuk mempelajari cara menghitung uang kertas, yang paling sering kelipatan (yaitu, dibagi tanpa sisa) dengan lima dan sepuluh.
Sistem bilangan posisional lainnya
Mengejutkan banyak orang, harus dikatakan bahwa tidak hanya dalam sistem penghitungan desimal, otak kita digunakan untuk melakukan beberapa perhitungan. Sampai saat ini, umat manusia telah menggunakan sistem bilangan enam dan dua desimal. Artinya, dalam sistem seperti itu hanya ada enam karakter (dalam heksadesimal): 0, 1, 2, 3, 4, 5. Dalam duodesimal ada dua belas di antaranya: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, di mana A - menunjukkan angka 10, B - angka 11 (karena tandanya harus satu).
Hakim sendiri. Kita menghitung waktu dalam enam, bukan? Satu jam adalah enam puluh menit (enam puluhan), satu hari adalah dua puluh empat jam (dua kali dua belas), satu tahun adalah dua belas bulan, dan seterusnya… Semua interval waktu dengan mudah masuk ke dalam deret enam dan dua desimal. Tapi kami sudah sangat terbiasa sehingga kami bahkan tidak memikirkannya saat menghitung waktu.
Sistem bilangan non-posisi. Unary
Hal ini diperlukan untuk mendefinisikan apa itu - sistem nomor non-posisional. Ini adalah sistem tanda di mana tidak ada posisi untuk tanda angka, atau prinsip "membaca" angka tidak bergantung pada posisinya. Ini juga memiliki aturan sendiri untuk menulis atau menghitung.
Mari berikan contoh sistem bilangan nonposisional. Mari kita kembali ke zaman kuno. Orang-orang membutuhkan akun dan menemukan penemuan paling sederhana - simpul. Sistem nomor non-posisional adalah nodular. Satu barang (kantong beras, banteng, tumpukan jerami, dll.) dihitung, misalnya, saat membeli atau menjual, dan diikat pada seutas tali.
Akibatnya, banyak simpul yang dibuat pada tali sebanyak kantong beras yang dibeli (sebagai contoh). Tapi bisa juga lekukan pada tongkat kayu, pada lempengan batu, dll. Sistem bilangan seperti itu dikenal sebagai nodular. Dia memiliki nama kedua - unary, atau single ("uno" dalam bahasa Latin berarti "satu").
Jelas bahwa sistem bilangan ini tidak berdasarkan posisi. Lagi pula, posisi seperti apa yang bisa kita bicarakan ketika itu (posisi) hanya satu! Anehnya, di beberapa bagian Bumi, sistem bilangan non-posisi unary masih digunakan.
Juga, sistem nomor non-posisional meliputi:
- Roman (huruf digunakan untuk menulis angka - karakter Latin);
- Mesir kuno (mirip dengan Romawi, simbol juga digunakan);
- alphabetic (huruf alfabet yang digunakan);
- Babilonia (huruf paku - digunakan langsung danterbalik "irisan");
- Yunani (juga disebut sebagai alfabet).
Sistem Angka Romawi
Kekaisaran Romawi kuno, serta ilmu pengetahuannya, sangat maju. Bangsa Romawi memberi dunia banyak penemuan ilmu pengetahuan dan seni yang berguna, termasuk sistem penghitungan mereka. Dua ratus tahun yang lalu, angka Romawi digunakan untuk menunjukkan jumlah dalam dokumen bisnis (sehingga pemalsuan dapat dihindari).
Penomoran Romawi adalah contoh sistem bilangan non-posisi, yang kita kenal sekarang. Juga, sistem Romawi digunakan secara aktif, tetapi tidak untuk perhitungan matematis, tetapi untuk tindakan yang terfokus secara sempit. Misalnya, dengan bantuan angka Romawi, merupakan kebiasaan untuk menunjuk tanggal sejarah, abad, jumlah volume, bagian dan bab dalam publikasi buku. Tanda-tanda Romawi sering digunakan untuk menghias dial arloji. Dan juga penomoran Romawi adalah contoh dari sistem bilangan non-posisi.
Orang Romawi menunjukkan angka dengan huruf Latin. Selain itu, mereka menuliskan angka menurut aturan tertentu. Ada daftar simbol kunci dalam sistem angka Romawi, yang dengannya semua angka ditulis tanpa kecuali.
| Bilangan (desimal) | Angka Romawi (huruf dari alfabet Latin) |
| 1 | Aku |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Aturan untuk menyusun angka
Angka yang diperlukan diperoleh dengan menambahkan tanda (huruf Latin) dan menghitung jumlahnya. Mari kita pertimbangkan bagaimana tanda-tanda ditulis secara simbolis dalam sistem Romawi dan bagaimana seharusnya "dibaca". Mari daftar hukum utama pembentukan bilangan dalam sistem bilangan non-posisi Romawi.
- Angka empat - IV, terdiri dari dua karakter (I, V - satu dan lima). Itu diperoleh dengan mengurangi tanda yang lebih kecil dari yang lebih besar jika ke kiri. Ketika tanda yang lebih kecil terletak di sebelah kanan, Anda perlu menambahkan, maka Anda mendapatkan nomor enam - VI.
- Hal ini diperlukan untuk menambahkan dua tanda identik di samping satu sama lain. Contoh: SS adalah 200 (C adalah 100), atau XX adalah 20.
- Jika tanda pertama suatu bilangan lebih kecil dari yang kedua, maka karakter ketiga pada baris ini dapat berupa karakter yang nilainya genap lebih kecil dari yang pertama. Untuk menghindari kebingungan, berikut adalah contohnya: CDX - 410 (dalam desimal).
- Beberapa bilangan besar dapat direpresentasikan dengan cara yang berbeda, yang merupakan salah satu kelemahan sistem penghitungan Romawi. Berikut adalah beberapa contohnya: MVM (Romawi)=1000 + (1000 - 5)=1995 (desimal) atau MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. Dan bukan itu saja.
Trik aritmatika
Sistem bilangan non-posisi terkadang merupakan seperangkat aturan yang rumit untuk pembentukan angka, pemrosesannya (tindakan pada mereka). Operasi aritmatika dalam sistem bilangan non-posisi tidak mudahuntuk orang-orang modern. Kami tidak iri pada matematikawan Romawi kuno!
Contoh penambahan. Mari kita coba menjumlahkan dua angka: XIX + XXVI=XXXV, tugas ini dilakukan dalam dua langkah:
- Pertama - ambil dan tambahkan pecahan kecil dari angka: IX + VI=XV (I setelah V dan I sebelum X saling "menghancurkan").
- Kedua - menambahkan pecahan besar dari dua angka: X + XX=XXX.
Pengurangan agak lebih rumit. Bilangan yang akan direduksi harus dibagi menjadi unsur-unsur penyusunnya, kemudian karakter yang digandakan harus direduksi menjadi bilangan yang direduksi dan dikurangkan. Kurangi 263 dari 500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Perkalian angka Romawi. Omong-omong, perlu disebutkan bahwa orang Romawi tidak memiliki tanda-tanda operasi aritmatika, mereka hanya menandainya dengan kata-kata.
Angka kelipatan harus dikalikan dengan masing-masing simbol pengganda, menghasilkan beberapa produk yang harus ditambahkan. Ini adalah bagaimana polinomial dikalikan.
Untuk pembagian, proses dalam sistem angka Romawi ini adalah yang paling sulit. Sempoa Romawi kuno digunakan di sini. Untuk bekerja dengannya, orang-orang dilatih secara khusus (dan tidak setiap orang berhasil menguasai ilmu semacam itu).
Tentang kelemahan sistem non-posisi
Seperti disebutkan di atas, sistem nomor non-posisional memiliki kekurangan, ketidaknyamanan dalam penggunaan. Unary cukup sederhana untuk penghitungan sederhana, tetapi untuk perhitungan aritmatika dan kompleks, tidakcukup baik.
Dalam bahasa Romawi tidak ada aturan yang seragam untuk pembentukan bilangan besar dan timbul kebingungan, dan juga sangat sulit untuk membuat perhitungan di dalamnya. Juga, angka terbesar yang bisa ditulis oleh orang Romawi kuno dengan metode mereka adalah 100.000.
