Banyak, dihadapkan dengan konsep "teori probabilitas", takut, berpikir bahwa ini adalah sesuatu yang luar biasa, sangat kompleks. Tapi itu benar-benar tidak terlalu tragis. Hari ini kita akan mempertimbangkan konsep dasar teori probabilitas, mempelajari cara menyelesaikan masalah menggunakan contoh spesifik.
Ilmu
Apa yang dipelajari oleh cabang matematika seperti "teori probabilitas"? Ini mencatat pola peristiwa dan kuantitas acak. Untuk pertama kalinya, para ilmuwan menjadi tertarik pada masalah ini pada abad kedelapan belas, ketika mereka mempelajari perjudian. Konsep dasar teori probabilitas adalah suatu kejadian. Ini adalah setiap fakta yang dipastikan oleh pengalaman atau pengamatan. Tapi apa itu pengalaman? Konsep dasar lain dari teori probabilitas. Artinya komposisi keadaan ini tidak diciptakan secara kebetulan, tetapi untuk tujuan tertentu. Adapun observasi, di sini peneliti sendiri tidak berpartisipasi dalam eksperimen, tetapi hanya menjadi saksi dari peristiwa ini, ia tidak mempengaruhi apa yang terjadi dengan cara apapun.
Acara
Kami mempelajari bahwa konsep dasar teori probabilitas adalah suatu peristiwa, tetapi tidak mempertimbangkan klasifikasinya. Semuanya dibagi ke dalam kategori berikut:
- Terpercaya.
- Mustahil.
- Acak.
Tidak masalahjenis peristiwa apa yang diamati atau diciptakan selama pengalaman, semuanya tunduk pada klasifikasi ini. Kami menawarkan untuk berkenalan dengan masing-masing spesies secara terpisah.
Acara tertentu
Ini adalah keadaan sebelum serangkaian tindakan yang diperlukan telah diambil. Untuk lebih memahami esensi, lebih baik memberikan beberapa contoh. Fisika, kimia, ekonomi, dan matematika yang lebih tinggi tunduk pada hukum ini. Teori probabilitas mencakup konsep penting seperti peristiwa tertentu. Berikut beberapa contohnya:
- Kami bekerja dan mendapatkan imbalan berupa upah.
- Kami lulus ujian dengan baik, lulus kompetisi, untuk ini kami menerima hadiah berupa masuk ke lembaga pendidikan.
- Kami menginvestasikan uang di bank, kami akan mendapatkannya kembali jika perlu.
Acara seperti itu dapat diandalkan. Jika kita telah memenuhi semua persyaratan yang diperlukan, maka kita pasti akan mendapatkan hasil yang diharapkan.
Acara yang tidak mungkin
Sekarang kita sedang mempertimbangkan elemen teori probabilitas. Kami mengusulkan untuk beralih ke penjelasan tentang jenis peristiwa berikutnya, yaitu yang tidak mungkin. Pertama, mari kita tentukan aturan yang paling penting - probabilitas suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol.
Anda tidak dapat menyimpang dari kata-kata ini saat memecahkan masalah. Untuk memperjelas, berikut adalah contoh peristiwa tersebut:
- Air membeku di plus sepuluh (tidak mungkin).
- Kekurangan listrik sama sekali tidak mempengaruhi produksi (tidak mungkin seperti contoh sebelumnya).
Contoh lainnyaTidak layak dikutip, karena yang dijelaskan di atas sangat jelas mencerminkan esensi dari kategori ini. Peristiwa mustahil tidak akan pernah terjadi selama pengalaman dalam keadaan apa pun.
Acara acak
Mempelajari elemen teori probabilitas, perhatian khusus harus diberikan pada jenis peristiwa khusus ini. Itulah yang sedang dipelajari oleh sains. Sebagai hasil dari pengalaman, sesuatu mungkin atau mungkin tidak terjadi. Selain itu, tes dapat diulang dalam jumlah yang tidak terbatas. Contoh nyata adalah:
- Melempar koin adalah pengalaman, atau ujian, heading adalah sebuah peristiwa.
- Mengambil bola secara membabi buta dari tas adalah ujian, menangkap bola merah adalah acara dan seterusnya.
Contoh semacam itu bisa tidak terbatas, tetapi, secara umum, esensinya harus jelas. Untuk meringkas dan mensistematisasikan pengetahuan yang diperoleh tentang peristiwa, tabel diberikan. Teori probabilitas hanya mempelajari tipe terakhir dari semua yang disajikan.
| judul | definisi | contoh |
| Terpercaya | Event yang terjadi dengan jaminan 100% dalam kondisi tertentu. | Masuk ke lembaga pendidikan dengan ujian masuk yang bagus. |
| Mustahil | Peristiwa yang tidak akan pernah terjadi dalam keadaan apa pun. | Salju turun pada suhu plus tiga puluh derajat Celcius. |
| Acak | Kejadian yang mungkin atau mungkin tidak terjadi selama percobaan/pengujian. | Hit atau miss saat melempar bola basket ke ring. |
Hukum
Teori peluang adalah ilmu yang mempelajari kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Seperti yang lain, ia memiliki beberapa aturan. Ada hukum teori probabilitas berikut:
- Konvergensi barisan variabel acak.
- Hukum bilangan besar.
Saat menghitung kemungkinan kompleks, Anda dapat menggunakan kompleks kejadian sederhana untuk mencapai hasil dengan cara yang lebih mudah dan lebih cepat. Perhatikan bahwa hukum teori probabilitas mudah dibuktikan dengan bantuan beberapa teorema. Mari kita mulai dengan hukum pertama.
Konvergensi barisan variabel acak
Perhatikan bahwa ada beberapa jenis konvergensi:
- Urutan variabel acak konvergen dalam probabilitas.
- Hampir tidak mungkin.
- Konvergensi RMS.
- Konvergensi dalam distribusi.
Jadi, dengan cepat, sangat sulit untuk mencapai dasarnya. Berikut adalah beberapa definisi untuk membantu Anda memahami topik ini. Mari kita mulai dengan tampilan pertama. Suatu barisan dikatakan konvergen dalam peluang jika kondisi berikut terpenuhi: n cenderung tak hingga, bilangan yang cenderung lebih besar dari nol dan mendekati satu.
Pergi ke tampilan berikutnya, hampir pasti. Mereka mengatakan itubarisan tersebut hampir pasti konvergen ke variabel acak dengan n cenderung tak hingga dan P cenderung mendekati nilai satu.
Tipe selanjutnya adalah konvergensi root-mean-square. Saat menggunakan konvergensi SC, studi tentang proses acak vektor direduksi menjadi studi tentang proses acak koordinatnya.
Tipe terakhir tetap ada, mari kita lihat sekilas untuk melanjutkan langsung ke pemecahan masalah. Konvergensi distribusi memiliki nama lain - "lemah", kami akan menjelaskan alasannya di bawah ini. Konvergensi lemah adalah konvergensi fungsi distribusi pada semua titik kontinuitas fungsi distribusi limit.
Pastikan untuk memenuhi janji: konvergensi lemah berbeda dari semua hal di atas karena variabel acak tidak didefinisikan pada ruang probabilitas. Hal ini dimungkinkan karena kondisi dibentuk secara eksklusif menggunakan fungsi distribusi.
Hukum bilangan besar
Pembantu yang sangat baik dalam membuktikan hukum ini adalah teorema teori probabilitas, seperti:
- Pertidaksamaan Chebyshev.
- Teorema Chebyshev.
- Teorema Umum Chebyshev.
- Teorema Markov.
Jika kita mempertimbangkan semua teorema ini, maka pertanyaan ini mungkin berlarut-larut selama beberapa lusin lembar. Tugas utama kita adalah menerapkan teori probabilitas dalam praktik. Kami mengundang Anda untuk melakukan ini sekarang. Tapi sebelum itu, mari kita pertimbangkan aksioma teori probabilitas, mereka akan menjadi asisten utama dalam memecahkan masalah.
Aksioma
Kami sudah bertemu yang pertama ketika kami berbicara tentang peristiwa yang mustahil. Mari kita ingat: probabilitas suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol. Kami memberikan contoh yang sangat jelas dan mudah diingat: salju turun pada suhu udara tiga puluh derajat Celcius.
Yang kedua terdengar seperti ini: peristiwa yang dapat diandalkan terjadi dengan probabilitas sama dengan satu. Sekarang mari kita tunjukkan bagaimana menulisnya menggunakan bahasa matematika: P(B)=1.
Ketiga: Sebuah peristiwa acak mungkin atau mungkin tidak terjadi, tetapi kemungkinan selalu berkisar dari nol hingga satu. Semakin dekat nilainya dengan satu, semakin besar peluangnya; jika nilainya mendekati nol, probabilitasnya sangat rendah. Mari kita tulis ini dalam bahasa matematika: 0<Р(С)<1.
Mari kita perhatikan aksioma terakhir, keempat, yang berbunyi seperti ini: peluang jumlah dua peristiwa sama dengan jumlah peluangnya. Kami menulis dalam bahasa matematika: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Aksioma teori probabilitas adalah aturan paling sederhana yang mudah diingat. Mari kita coba memecahkan beberapa masalah, berdasarkan pengetahuan yang sudah didapat.
Tiket lotere
Pertama, perhatikan contoh paling sederhana - lotere. Bayangkan Anda membeli satu tiket lotre untuk keberuntungan. Berapa probabilitas Anda akan memenangkan setidaknya dua puluh rubel? Secara total, seribu tiket berpartisipasi dalam sirkulasi, salah satunya memiliki hadiah lima ratus rubel, sepuluh seratus rubel, lima puluh dua puluh rubel, dan seratus lima. Masalah dalam teori probabilitas didasarkan pada penemuan kemungkinansemoga berhasil. Sekarang bersama-sama kita akan menganalisis solusi dari tugas yang disajikan di atas.
Jika kita menyatakan dengan huruf A kemenangan lima ratus rubel, maka peluang mendapatkan A adalah 0,001. Bagaimana kita mendapatkannya? Anda hanya perlu membagi jumlah tiket "beruntung" dengan jumlah totalnya (dalam hal ini: 1/1000).
B adalah kemenangan seratus rubel, kemungkinannya adalah 0,01. Sekarang kami bertindak sesuai dengan prinsip yang sama seperti pada tindakan sebelumnya (10/1000)
C - kemenangan sama dengan dua puluh rubel. Cari peluangnya, sama dengan 0,05.
Tiket lainnya tidak menarik bagi kami, karena dana hadiahnya kurang dari yang ditentukan dalam ketentuan. Mari kita terapkan aksioma keempat: Probabilitas memenangkan setidaknya dua puluh rubel adalah P(A)+P(B)+P(C). Huruf P menunjukkan kemungkinan terjadinya peristiwa ini, kami telah menemukannya di langkah sebelumnya. Tinggal menambahkan data yang diperlukan, dalam jawaban kita mendapatkan 0, 061. Angka ini akan menjadi jawaban untuk pertanyaan tugas.
Dek kartu
Masalah teori probabilitas bisa lebih kompleks, misalnya, ambil tugas berikut. Di depan Anda ada setumpuk tiga puluh enam kartu. Tugas kamu adalah menggambar dua kartu secara berurutan tanpa mencampur tumpukan, kartu pertama dan kedua harus as, suit tidak masalah.
Pertama, mari kita cari peluang kartu pertama adalah kartu As, untuk ini kita bagi empat dengan tiga puluh enam. Mereka mengesampingkannya. Kami mengambil kartu kedua, itu akan menjadi kartu as dengan probabilitas tiga tiga puluh lima. Peluang kejadian kedua tergantung pada kartu mana yang kita ambil terlebih dahulu, yang kita minatiapakah itu kartu as atau bukan. Oleh karena itu kejadian B bergantung pada kejadian A.
Langkah selanjutnya adalah mencari probabilitas implementasi simultan, yaitu, kita mengalikan A dan B. Produk mereka ditemukan sebagai berikut: probabilitas satu peristiwa dikalikan dengan probabilitas bersyarat yang lain, yang kita hitung, dengan asumsi bahwa peristiwa pertama terjadi, yaitu, dengan kartu pertama kita mendapatkan kartu as.
Untuk memperjelas semuanya, mari kita beri penunjukan pada elemen seperti probabilitas bersyarat dari suatu peristiwa. Ini dihitung dengan asumsi bahwa peristiwa A telah terjadi. Dihitung sebagai berikut: P(B/A).
Lanjutkan memecahkan masalah kita: P(AB)=P(A)P(B/A) atau P (AB)=P(B)P(A/B). Probabilitasnya adalah (4/36)((3/35)/(4/36). Hitung dengan pembulatan ke ratusan. Kita mendapatkan: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Peluang terambil dua kartu As berturut-turut adalah sembilan perseratus. Nilainya sangat kecil, sehingga kemungkinan terjadinya peristiwa tersebut sangat kecil.
Lupa nomor
Kami mengusulkan untuk menganalisis beberapa opsi lagi untuk tugas-tugas yang dipelajari oleh teori probabilitas. Anda telah melihat contoh penyelesaian beberapa di antaranya di artikel ini, mari kita coba selesaikan masalah berikut: bocah itu lupa digit terakhir nomor telepon temannya, tetapi karena panggilan itu sangat penting, dia mulai memutar semuanya secara bergantian. Kita perlu menghitung probabilitas bahwa dia akan menelepon tidak lebih dari tiga kali. Penyelesaian masalah adalah yang paling sederhana jika aturan, hukum, dan aksioma teori probabilitas diketahui.
Sebelum menontonsolusinya, coba selesaikan sendiri. Kita tahu bahwa digit terakhir bisa dari nol hingga sembilan, yaitu ada sepuluh nilai total. Peluang mendapatkan yang benar adalah 1/10.
Selanjutnya, kita perlu mempertimbangkan opsi untuk asal kejadian, misalkan anak laki-laki itu menebak dengan benar dan segera mencetak yang benar, probabilitas kejadian tersebut adalah 1/10. Opsi kedua: panggilan pertama meleset, dan yang kedua tepat sasaran. Kami menghitung probabilitas peristiwa seperti itu: kalikan 9/10 dengan 1/9, sebagai hasilnya kami juga mendapatkan 1/10. Opsi ketiga: panggilan pertama dan kedua ternyata di alamat yang salah, hanya dari yang ketiga bocah itu sampai di tempat yang diinginkannya. Kami menghitung probabilitas peristiwa seperti itu: kami mengalikan 9/10 dengan 8/9 dan dengan 1/8, kami mendapatkan 1/10 sebagai hasilnya. Sesuai dengan kondisi masalahnya, kami tidak tertarik dengan opsi lain, jadi kami tinggal menjumlahkan hasilnya, sehingga kami memiliki 3/10. Jawaban: Peluang anak laki-laki itu menelepon tidak lebih dari tiga kali adalah 0,3.
Kartu dengan angka
Ada sembilan kartu di depan Anda, di mana masing-masing kartu tertulis angka dari satu hingga sembilan, angkanya tidak diulang. Mereka ditempatkan dalam kotak dan dicampur secara menyeluruh. Anda perlu menghitung probabilitas bahwa
- akan muncul angka genap;
- dua digit.
Sebelum melanjutkan ke solusi, mari kita tentukan bahwa m adalah jumlah kasus yang berhasil, dan n adalah jumlah opsi. Tentukan peluang munculnya bilangan genap. Tidak akan sulit untuk menghitung bahwa ada empat angka genap, ini akan menjadi m kami, ada sembilan opsi total, yaitu, m=9. Maka kemungkinansama dengan 0, 44, atau 4/9.
Pertimbangkan kasus kedua: jumlah opsi adalah sembilan, dan tidak ada hasil yang berhasil sama sekali, yaitu, m sama dengan nol. Probabilitas bahwa kartu yang diambil akan berisi angka dua digit juga nol.
