Apa ini - sebuah kerucut? Pengertian, sifat, rumus dan contoh penyelesaiannya

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Terakhir diubah: 2024-01-02 17:49

Kerucut adalah salah satu figur spasial rotasi, karakteristik dan sifat yang dipelajari oleh stereometri. Pada artikel ini, kita akan mendefinisikan gambar ini dan mempertimbangkan rumus dasar yang menghubungkan parameter linier kerucut dengan luas permukaan dan volumenya.

Apa itu kerucut?

Dari sudut pandang geometri, kita berbicara tentang sosok spasial, yang dibentuk oleh serangkaian segmen lurus yang menghubungkan titik tertentu dalam ruang dengan semua titik kurva datar yang halus. Kurva ini bisa berupa lingkaran atau elips. Gambar di bawah menunjukkan sebuah kerucut.

Gambar yang disajikan tidak memiliki volume, karena dinding permukaannya memiliki ketebalan yang sangat kecil. Namun, jika diisi dengan suatu zat dan dibatasi dari atas bukan oleh kurva, tetapi oleh bangun datar, misalnya lingkaran, maka kita akan mendapatkan benda volumetrik padat, yang juga biasa disebut kerucut.

Bentuk kerucut sering ditemukan dalam kehidupan. Jadi ada es krim cone atau kerucut lalu lintas bergaris hitam dan oranye yang diletakkan di jalan untuk menarik perhatian peserta lalu lintas.

Elemen kerucut dan jenisnya

Karena kerucut bukan polihedron, jumlah elemen yang membentuknya tidak sebanyak polihedra. Dalam geometri, kerucut umum terdiri dari elemen-elemen berikut:

• basis, kurva pembatasnya disebut directrix, atau generatrix;
• permukaan lateral, yang merupakan kumpulan semua titik segmen garis lurus (generatrices) yang menghubungkan titik puncak dan titik-titik kurva pemandu;
• vertex, yang merupakan titik potong dari generasi.

Perhatikan bahwa titik sudut tidak boleh terletak pada bidang alasnya, karena dalam hal ini kerucut mengalami degenerasi menjadi bangun datar.

Jika kita menggambar segmen tegak lurus dari atas ke alas, kita akan mendapatkan tinggi gambar tersebut. Jika alas terakhir berpotongan di pusat geometrik, maka itu adalah kerucut lurus. Jika tegak lurus tidak bertepatan dengan pusat geometrik alas, maka bangun tersebut akan miring.

Kerucut lurus dan miring ditunjukkan pada gambar. Di sini, tinggi dan jari-jari alas kerucut masing-masing dilambangkan dengan h dan r. Garis yang menghubungkan bagian atas gambar dan pusat geometrik alasnya adalah sumbu kerucut. Dari gambar dapat diketahui bahwa untuk bangun datar, tinggi terletak pada sumbu ini, dan untuk bangun miring, tinggi membentuk sudut dengan sumbu. Sumbu kerucut ditunjukkan oleh huruf a.

Kerucut lurus dengan alas bulat

Mungkin, kerucut ini adalah yang paling umum dari kelas gambar yang dipertimbangkan. Terdiri dari lingkaran dan sisipermukaan. Tidak sulit untuk mendapatkannya dengan metode geometris. Untuk melakukan ini, ambil segitiga siku-siku dan putar di sekitar sumbu yang bertepatan dengan salah satu kaki. Jelas, kaki ini akan menjadi tinggi gambar, dan panjang kaki kedua segitiga membentuk jari-jari alas kerucut. Diagram di bawah menunjukkan skema yang dijelaskan untuk mendapatkan angka rotasi yang dimaksud.

Segitiga yang digambarkan dapat diputar di sekitar kaki lain, yang akan menghasilkan kerucut dengan jari-jari alas yang lebih besar dan ketinggian yang lebih rendah dari yang pertama.

Untuk menentukan dengan jelas semua parameter kerucut lurus bulat, kita harus mengetahui dua karakteristik liniernya. Di antara mereka, jari-jari r, tinggi h atau panjang generatrix g dibedakan. Semua besaran ini adalah panjang sisi segitiga siku-siku yang dipertimbangkan, oleh karena itu, teorema Pythagoras valid untuk hubungannya:

g²=r²+ h^2.

Luas permukaan

Saat mempelajari permukaan bangun tiga dimensi, akan lebih mudah untuk menggunakan pengembangannya pada bidang datar. Kerucut tidak terkecuali. Untuk kerucut bulat, pengembangannya ditunjukkan di bawah ini.

Kita melihat bahwa pembukaan gambar terdiri dari dua bagian:

1. Lingkaran yang membentuk alas kerucut.
2. Sektor lingkaran, yang merupakan permukaan kerucut dari gambar.

Luas lingkaran mudah ditemukan, dan rumus yang sesuai diketahui oleh setiap siswa. Berbicara tentang sektor melingkar, kami mencatat bahwaadalah bagian dari lingkaran dengan jari-jari g (panjang generatrix kerucut). Panjang busur sektor ini sama dengan keliling alasnya. Parameter ini memungkinkan untuk menentukan areanya dengan jelas. Rumus yang sesuai adalah:

S=pir2+ pirg.

Suku pertama dan kedua dalam ekspresi masing-masing adalah kerucut alas dan permukaan samping luas.

Jika panjang generator g tidak diketahui, tetapi tinggi h dari gambar diberikan, maka rumusnya dapat ditulis ulang sebagai:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Volume gambar

Jika kita mengambil piramida lurus dan menambah jumlah sisi alasnya hingga tak terhingga, maka bentuk alasnya akan cenderung lingkaran, dan permukaan sisi piramida akan mendekati permukaan kerucut. Pertimbangan ini memungkinkan kita untuk menggunakan rumus volume piramida saat menghitung nilai yang sama untuk kerucut. Volume kerucut dapat dicari dengan rumus:

V=1/3hS_o.

Rumus ini selalu benar, berapa pun alas kerucutnya, memiliki luas S_{o. Selain itu, rumus tersebut juga berlaku untuk kerucut miring.}

Karena kita sedang mempelajari sifat-sifat bangun datar dengan alas bulat, kita dapat menggunakan persamaan berikut untuk menentukan volumenya:

V=1/3hpir2.

Rumusnya jelas.

Soal mencari luas permukaan dan volume

Biarkan kerucut yang jari-jarinya 10 cm, dan panjang generatrix adalah 20lihat Perlu menentukan volume dan luas permukaan untuk bentuk ini.

Untuk menghitung luas S bisa langsung menggunakan rumus yang tertulis di atas. Kami memiliki:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

Untuk menentukan volume, Anda perlu mengetahui tinggi h gambar. Kami menghitungnya menggunakan hubungan antara parameter linier kerucut. Kami mendapatkan:

h=(g²- r²)=(20²- 10^{2) 17, 32 cm.}

Sekarang Anda dapat menggunakan rumus untuk V:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83cm}3^.

Perhatikan bahwa volume kerucut bundar adalah sepertiga dari silinder tempat ia berada.