Setiap siswa pernah mendengar tentang kerucut bulat dan membayangkan seperti apa sosok tiga dimensi ini. Artikel ini menjelaskan perkembangan kerucut, memberikan formula yang menjelaskan karakteristiknya, dan menjelaskan cara membuatnya menggunakan kompas, busur derajat, dan penggaris.
Kerucut lingkaran dalam geometri
Mari kita berikan definisi geometris dari gambar ini. Kerucut bulat adalah permukaan yang dibentuk oleh segmen garis lurus yang menghubungkan semua titik lingkaran tertentu dengan satu titik dalam ruang. Titik tunggal ini tidak boleh termasuk dalam bidang di mana lingkaran itu berada. Jika kita mengambil lingkaran, bukan lingkaran, maka metode ini juga mengarah ke kerucut.
Lingkaran disebut alas gambar, kelilingnya adalah directrix. Segmen yang menghubungkan titik dengan direktriks disebut pembangkit atau generator, dan titik perpotongannya adalah titik sudut kerucut.
Kerucut bulat bisa lurus dan miring. Kedua angka tersebut ditunjukkan pada gambar di bawah ini.
Perbedaan keduanya adalah: jika garis tegak lurus dari atas kerucut jatuh tepat ke pusat lingkaran, maka kerucut akan lurus. Baginya, tegak lurus, yang disebut ketinggian gambar, adalah bagian dari sumbunya. Dalam kasus kerucut miring, tinggi dan sumbu membentuk sudut lancip.
Karena kesederhanaan dan simetri gambar, selanjutnya kita akan mempertimbangkan sifat-sifat kerucut siku-siku dengan alas bulat.
Mendapatkan bentuk menggunakan rotasi
Sebelum melanjutkan untuk mempertimbangkan perkembangan permukaan kerucut, penting untuk mengetahui bagaimana gambar spasial ini dapat diperoleh dengan menggunakan rotasi.
Misalkan kita memiliki segitiga siku-siku dengan sisi a, b, c. Dua yang pertama adalah kaki, c adalah sisi miring. Mari kita letakkan segitiga di kaki a dan mulai memutarnya di sekitar kaki b. Sisi miring c kemudian akan menggambarkan permukaan kerucut. Teknik kerucut sederhana ini ditunjukkan pada diagram di bawah ini.
Jelas, kaki a akan menjadi jari-jari alas gambar, kaki b akan menjadi tingginya, dan sisi miring c sesuai dengan generatrix kerucut kanan bulat.
Tampilan perkembangan kerucut
Seperti yang Anda duga, kerucut dibentuk oleh dua jenis permukaan. Salah satunya adalah lingkaran alas datar. Misalkan memiliki radius r. Permukaan kedua adalah lateral dan disebut kerucut. Biarkan generatornya sama dengan g.
Jika kita memiliki kerucut kertas, maka kita dapat mengambil gunting dan memotong alasnya. Kemudian, permukaan kerucut harus dipotongsepanjang generatrix apa pun dan menyebarkannya di pesawat. Dengan cara ini, kami memperoleh perkembangan permukaan lateral kerucut. Kedua permukaan, bersama dengan kerucut aslinya, ditunjukkan pada diagram di bawah ini.
Lingkaran dasar digambarkan di kanan bawah. Permukaan kerucut yang tidak dilipat ditampilkan di tengah. Ternyata itu sesuai dengan beberapa sektor lingkaran lingkaran, jari-jarinya sama dengan panjang generatrix g.
Sapuan sudut dan area
Sekarang kita mendapatkan rumus yang, dengan menggunakan parameter yang diketahui g dan r, memungkinkan kita menghitung luas dan sudut kerucut.
Jelas, busur dari sektor lingkaran yang ditunjukkan pada gambar di atas memiliki panjang yang sama dengan keliling alasnya, yaitu:
l=2pir.
Jika seluruh lingkaran dengan jari-jari g dibuat, maka panjangnya adalah:
L=2pig.
Karena panjang L sama dengan 2pi radian, maka sudut tempat busur l berada dapat ditentukan dari proporsi yang sesuai:
L==>2pi;
l==>.
Maka sudut yang tidak diketahui akan sama dengan:
φ=2pil/L.
Mengganti ekspresi untuk panjang l dan L, kita sampai pada rumus untuk sudut perkembangan permukaan lateral kerucut:
φ=2pir/g.
Sudut di sini dinyatakan dalam radian.
Untuk menentukan luas Sbdari sektor melingkar, kita akan menggunakan nilai yang ditemukan. Kami membuat satu proporsi lagi, hanya untuk area. Kami memiliki:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Dari mana untuk menyatakan Sb, lalu substitusikan nilai sudut. Kami mendapatkan:
Sb=g2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Untuk luas permukaan kerucut, kami telah memperoleh rumus yang cukup kompak. Nilai Sb sama dengan hasil kali tiga faktor: pi, jari-jari gambar dan generatrixnya.
Maka luas seluruh permukaan gambar akan sama dengan jumlah Sb dan So (melingkar daerah dasar). Kami mendapatkan rumus:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Membuat sapuan kerucut di atas kertas
Untuk menyelesaikan tugas ini, Anda memerlukan selembar kertas, pensil, busur derajat, penggaris, dan kompas.
Pertama-tama, mari kita menggambar segitiga siku-siku dengan sisi 3 cm, 4 cm dan 5 cm, putarannya di sekitar kaki 3 cm akan menghasilkan kerucut yang diinginkan. Angka tersebut memiliki r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Membuat sapuan akan dimulai dengan menggambar lingkaran berjari-jari r dengan kompas. Panjangnya akan sama dengan 6pi cm Sekarang di sebelahnya kita akan menggambar lingkaran lain, tetapi dengan jari-jari g. Panjangnya akan sesuai dengan 10pi cm Sekarang kita perlu memotong sektor melingkar dari lingkaran besar. Sudutnya adalah:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Sekarang kita sisihkan sudut ini dengan busur derajat pada lingkaran dengan jari-jari g dan menggambar dua jari-jari yang akan membatasi sektor lingkaran.
JadiJadi, kami telah membangun pengembangan kerucut dengan parameter radius, tinggi, dan generatrix yang ditentukan.
Contoh penyelesaian masalah geometri
Diberikan kerucut lurus berbentuk bulat. Diketahui bahwa sudut sapuan lateralnya adalah 120o. Jari-jari dan generatrix gambar ini perlu dicari, jika diketahui tinggi h kerucut adalah 10 cm.
Tugasnya tidak sulit jika kita ingat bahwa kerucut bundar adalah bangun dari rotasi segitiga siku-siku. Dari segitiga ini mengikuti hubungan yang jelas antara tinggi, jari-jari dan generatrix. Mari kita tulis rumus yang sesuai:
g2=h2+ r2.
Ungkapan kedua yang digunakan saat menyelesaikan adalah rumus sudut:
φ=2pir/g.
Jadi, kita memiliki dua persamaan yang menghubungkan dua besaran yang tidak diketahui (r dan g).
Ekspresikan g dari rumus kedua dan substitusikan hasilnya ke rumus pertama, kita mendapatkan:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Sudut=120o dalam radian adalah 2pi/3. Kami mengganti nilai ini, kami mendapatkan rumus akhir untuk r dan g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Tinggal substitusikan nilai tinggi dan dapatkan jawaban dari soal soal: r 3,54 cm, g 10,61 cm.
